chuỗi số chuoi so toán cao cấp

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

CHUỖI SỐ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 K HÁI NIỆM CHUỖI SỐ

2 C HUỖI KHÔNG ÂM

3 C HUỖI CÓ DẤU TÙY Ý

4 S Ơ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI

5 D ẤU HIỆU A BEL , D IRICHLET

a n được gọi là hội tụ , nếu tồn tại

n=1 Khi đó, S được gọi là tổng của chuỗi số +∞ P

n=0

a n

V Í DỤ 1.2

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số +∞ P

n=0

q n , q ∈ R.Nếu chuỗi hội tụ hãy tính tổng của nó.

Chú ý Điều kiện lim

n→+∞ a n = 0 không phải là điều kiện

đủ để chuỗi +∞ P a n hội tụ

V Í DỤ 1.4

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi +∞ P

n=1

1 p

n = 0 Tuy nhiên chuỗi phân kỳ

n phân kỳ.

Đ ỊNH LÝ 1.2

Chuỗi số +∞ P

n=1

a n hội tụ khi và chỉ khi với mọi

∀ε > 0 tồn tại số N = N(ε) sao cho với mọi

Với ε > 0 cho trước, ta cần tìm số N = N(ε)

|S n+p − S n | < ε.

− cos(n + 3)x

(n + 2)(n + 3) − −

cos(n + p)x (n + p − 1)(n + p) −

|S n+p − S n | < 2

n < 2

N < 2 2/ ε = ε. Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy

chuỗi đã cho hội tụ.

2. Dãy các tổng riêng của chuỗi không âm

Đ ỊNH LÝ 2.1

Cho f (x) là hàm liên tục, không âm, đơn điệu giảm

trên khoảng [1, +∞) Khi đó chuỗi +∞ P

n=1

f (n) và tích phân suy rộng loại một

+∞

Z

1

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Từ định nghĩa của chuỗi và dấu hiệu tích

n α ln β n hội tụ nếu α > 1 hoặc nếu

α = 1,β > 1 và phân kỳ nếu α < 1 hoặc nếu

α = 1,β É 1.

Chú ý Trường hợp D = 1ta chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ Ví dụ chuỗi

Đ ỊNH LÝ 2.5 (T IÊU CHUẨN D’ A LEMBERT MỞ RỘNG )

Chuỗi +∞ P

n=1

a n , thỏa điều kiện a n > 0, n Ê n 0

1 Nếu tồn tạiq ∈ (0,1) sao cho với mọi số tự nhiên n Ê n 0 luôn có a n+1

Nếu α = e thì D = 1. Do đó, theo dấu hiệu

D’Alambert chưa kết luận được Tuy nhiên,

Chú ý Trường hợp C = 1ta chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ Ví dụ chuỗi

V Í DỤ 2.9

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi +∞ P

n=1

n 5 µ 3n + 2 4n + 3

T IÊU CHUẨN C AUCHY MỞ RỘNG

Đ ỊNH LÝ 2.7

Chuỗi +∞ P

n=1

a n , thỏa điều kiện a n > 0, n Ê n 0

1 Nều tồn tạiq < 1 sao cho với mọi số tự

(2n)!! .

1

2n + 1

= (2n + 1) 2 (2n + 2)(2n + 3)

D n < 1 và lim

n→+∞ D n = 1 ⇒ không dùng được tiêu chuẩn D’Alambert.

C HÚ Ý

Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert và

Cauchy để khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của

lim

n→+∞ a n = 0 ⇔ lim

n→+∞ |a n | = 0

Đ ỊNH NGHĨA 3.3

Chuỗi +∞ P

n=1 (−1) n a n , (a n Ê 0, ∀n hoặc a n É 0, ∀n) được gọi là chuỗi đan dấu

Đ ỊNH LÝ 3.2

Cho chuỗi đan dấu +∞ P

n=1 (−1) n a n thỏa điều kiện

V Í DỤ 4.1

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi +∞ P

n=1

(−1) n+1 p

phân kỳ do không thỏa

mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ

2n + 1

¶ n

hội tụ theo tiêu chuẩn

Cauchy

D ẤU HIỆU A BEL -D IRICHLET

D ẤU HIỆU A BEL

V Í DỤ 5.1

Chứng minh rằng, nếu dãy n a n o ∞

n=1 không tăng và hội tụ về 0 thì chuỗi +∞ P

µ cos 3 α

2 − cos 5 α

2

¶ + +

+ 1

2

µ cos (2n − 1)α

a n sin n α hội tụ theo dấu hiệu

n arctan n hội tụ theo dấu

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE