đề thi toán cao cấp tich phân giai_de_kiem_tra

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 2 LẦN 3

Ngày 12 tháng 06 năm 2015

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2015





Bước 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2

Từ (1), nếu λ = 0 thì (1) vô lý Do đó, λ 6= 0 và x = 5

2λ.

Từ (2) ta có y = 4

2λ.

Từ (1), nếu λ = 0 thì (1) vô lý Do đó, λ 6= 0 và x = 5

2λ.4

Thay x , y vào phương trình (3), ta được

25

√412

5

√

41,

4

√41

ứng với λ =

√412

ứng với λ = −

√41

 ứng với λ =

√ 41

! dxdy + L00yy √5

!

dy 2 =

2λdx2+ 2λdy2 = √

41(dx2+ dy2) > 0 Do đó tại P 1 hàm f (x, y ) đạt cực tiểu có điều kiện.

 ứng với λ = −

√ 41

! dxdy +

!

dy 2 = 2λdx 2 + 2λdy 2 =

−√41(dx2+ dy2) < 0 Do đó tại P2 hàm f (x, y ) đạt cực đại có điều kiện.

Tìm điểm dừng trên biên của D, có nghĩa là cực

Thay x , y vào (3) ta được

Thay x , y vào (3) ta được

0

= π

4,

14

πsin 3π/4



2

+∞

0 = √π

2

Miền D1 được giới hạn bởi  −1 6 x 6 1

Miền D 2 được giới hạn bởi  −1 6 x 6 1

Câu 7

Tính I =

Z

C

(x + y )dx + (2x − z)dy + ydz, trong

x − y + z = 1 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn

từ phía z dương

Giao tuyến của 2 mặt z2 + 2xy = 0,

Cách 1: tham số hóa đường cong

I =

2π

Z

0

[(cos ϕ + 1 + sin ϕ − 1)(− sin ϕ)+

+(2 + 2 cos ϕ − sin ϕ + cos ϕ + 1) cos ϕ++(−1 + sin ϕ)(sin ϕ + cos ϕ)]d ϕ =

Sử dụng công thức Stokes

Với S là mặt phẳng x − y + z = 1 bị cắt bởi mặt cong

z2 + 2xy = 0, theo công thức Stoke thì S có pháp véc tơ hướng lên trên nên pháp véc tơ đơn vị của S là

 Hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn Dxy : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 1 Khi đó,

S : z = p1 − x2 − y2 Hình chiếu của S lên mặtphẳng Oxy là

điểm A(0, 1) đến điểm B(0, −1) theo chiều ngượcchiều kim đồng hồ.

Cách 1: Áp dụng công thức Green

Vì C là đường cong chưa kín nên ta thêm vào

Áp dụng công thức Green, ta được

Tham số hóa đường cong

Phương trình tham số của đường cong C

3

Câu 10

h(x , y )P(x , y )dx + h(x, y )Q(x , y )dy là vi phântoàn phần của hàm u(x , y ) nào đó Với h(x , y )vừa tìm, tính tích phân

I =

Z

C

[h(x, y )P(x , y )dx + h(x , y )Q(x , y )dy ],

trong đó C là phần đường cong:

3)

Để biểu thức h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y ) nào đó thì

Áp dụng công thức tính tích phân không phụ thuộc vào đường đi, ta có

Z

1

(y3 + 4y + 2)dy

2 √ 3

 π/2

0

= 512.

Vậy hình chiếu của S1 xuống mặt phẳng Oxz là

Dxz : −1 6 x 6 1, −1 6 z 6 1 Diện tích phần mặt trụ cần tìm là

Câu 14

Tính I =

Z Z

S

trong đó S là phần phía ngoài của mặt

Câu 14

Tính I =

Z Z

S

trong đó S là phần phía ngoài của mặt