đạo hàm dao ham toán cao cấp

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN,

ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

H ÀM SỐ z = f (x,y),x = x(t),y = y(t)(t ∈ (a,b))

Cho hàm số z = f (x,y) khả vi trên D,

sao cho (x(t), y(t)) ∈ D. Khi đó đạo hàm của

Đạo hàm của hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x,y), x = x(t),y = y(t)(t ∈ (a,b))

dz dt

H ÌNH : Đường congx = sin2t,y = cost.

Đạo hàm của hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x,y), x = x(t),y = y(t)(t ∈ (a,b))

H ÀM SỐ z = f (u,v),u = u(x,y),v = v(x,y)

Cho hàm số z = f (u,v) có đạo hàm riêng liên

theo x, y được tính theo công thức

H ÌNH : Đạo hàm riêng của hàm sốz = f (u,v), trong đóu = u(x,y),v = v(x,y)

Đạo hàm của hàm hợp Hàm số z = f (u,v), u = u(x,y),v = v(x,y)

= (2uv − v2) sin y + (u2− 2uv).y(− sin x) =

= (2x siny.y cos x − y2 cos2x) sin y−

−(x2 sin2y − 2.x.siny.y.cosx).y.sinx.

= (2uv − v2) sin y + (u2− 2uv).y(− sin x) =

= (2x siny.y cos x − y2 cos2x) sin y−

−(x2 sin2y − 2.x.siny.y.cosx).y.sinx.

∂y = f u0.u0y + f v0.v y0 =

= (2x siny.y cos x − y2 cos2x).x cos y+

+(x2 sin2y − 2.x.siny.y.cosx).cosx.

H ÌNH : Đường đẳng trị của hàm nhiệt độT (x, y)

H ÌNH : Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng

Ý nghĩa hình học: đạo hàm theo hướng là

z = f (x,y) theo hướng của véc tơ→−u

Đạo hàm theo hướng Định nghĩa

(a2+ b2= 1) của hàm số z = f (x,y) tại điểm

ĐỊNH NGHĨA 2.1

(a2+ b2= 1) của hàm số z = f (x,y) tại điểm

Đạo hàm theo hướng Định nghĩa

hướng của véc-tơ đơn vị u = (a,b),(a2+ b2= 1)

ĐỊNH LÝ 2.1

hướng của véc-tơ đơn vị u = (a,b),(a2+ b2= 1)

Khi đó

f−→u0 (x, y) = f x0(x, y).a + f y0(x, y).b (3)

g(h) = f (x0+ ha, y0 + hb),

Đạo hàm theo hướng Định nghĩa

Đạo hàm theo hướng Định nghĩa

Đạo hàm theo hướng Định nghĩa

VÍ DỤ 2.1

Tìm đạo hàm theo hướng của véc-tơ đơn vị

−

→u tạo với tia Ox góc θ = π

6 tại điểm(1, 2) của hàm số f (x, y) = x3− 3xy + 4y2

H ÌNH : Véc tơ đơn vịu

VÍ DỤ 2.1

Tìm đạo hàm theo hướng của véc-tơ đơn vị

−

→u tạo với tia Ox góc θ = π

6 tại điểm(1, 2) của hàm số f (x, y) = x3− 3xy + 4y2

H ÌNH : Véc tơ đơn vịu

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 17 / 39

2 + (−3.1 + 8.2).1

2 = 13 − 3p3

2

ĐỊNH NGHĨA 2.2

hàm số f được xác định như sau

∇f (x, y) =

³

f x0(x, y), f y0(x, y)´ (4)

Đạo hàm theo hướng Véc-tơ Gradient

Đạo hàm theo hướng Véc-tơ Gradient

22+ 52,

5p

22+ 52

¶

⇒ f v0(2, −1) =< ∇f (2,−1),u >= p32

29·

22+ 52,

5p

22+ 52

¶

⇒ f v0(2, −1) =< ∇f (2,−1),u >= p32

29·

Đạo hàm theo hướng Véc-tơ Gradient

Cho hàm ba biến f (x, y, z). Khi đó véc-tơ

ĐỊNH NGHĨA 2.3

Cho hàm ba biến f (x, y, z). Khi đó véc-tơ

Đạo hàm theo hướng Véc-tơ Gradient

VÍ DỤ 2.4

Tìm đạo hàm theo hướng véc-tơ v = (1,2,−1)

của hàm số f (x, y, z) = x sinyz tại điểm(1, 3, 0)

f x0= sin yz, f y0= xz cos yz, f z0= xy cos yz

1 2 + 22+ (−1)2

,p 2

1 2 + 22+ (−1)2

, −1 p

1 2 + 22+ (−1)2

!

⇒ f v0(1, 3, 0) =< ∇f (1,3,0),u >= −r 3

2·

VÍ DỤ 2.4

Tìm đạo hàm theo hướng véc-tơ v = (1,2,−1)

của hàm số f (x, y, z) = x sinyz tại điểm(1, 3, 0)

f x0= sin yz, f y0= xz cos yz, f z0= xy cos yz

1 2 + 22+ (−1)2

,p 2

1 2 + 22+ (−1)2

, −1 p

1 2 + 22+ (−1)2

!

⇒ f v0(1, 3, 0) =< ∇f (1,3,0),u >= −r 3

2·

Đạo hàm theo hướng Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng

GTLN VÀ GTNN CỦA ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Cho f là hàm khả vi hai biến hoặc ba biến.

f→−0

u =< ∇f , u >= |∇f |.|u| cos θ = |∇f | cos θ.

Đạo hàm theo hướng Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng

GTLN VÀ GTNN CỦA ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Cho f là hàm khả vi hai biến hoặc ba biến.

f→−0

u =< ∇f , u >= |∇f |.|u| cos θ = |∇f | cos θ.

GTLN VÀ GTNN CỦA ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Cho f là hàm khả vi hai biến hoặc ba biến.

f→−0

u =< ∇f , u >= |∇f |.|u| cos θ = |∇f | cos θ.

Đạo hàm theo hướng Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng

VÍ DỤ 2.5

Cho f (x, y) = xe y

1 Tìm đạo hàm theo hướng véc tơ −→PQ tại

điểmP(2, 0) với Q(12, 2)

f đạt giá trị lớn nhất tại điểm P(2, 0). Tìm giá trị lớn nhất đó.

VÍ DỤ 2.5

Cho f (x, y) = xe y

1 Tìm đạo hàm theo hướng véc tơ −→PQ tại điểmP(2, 0) với Q(12, 2)

f đạt giá trị lớn nhất tại điểm P(2, 0). Tìm giá trị lớn nhất đó.

Đạo hàm theo hướng Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng

PQ = (−32, 2) ⇒ −→u =µ −3/2

5/2 ,

25/2

¶

=µ −3

5 ,

45

¶

f x0= e y , f y0= xe y

⇒ ∇f (2, 0) = (f x0(2, 0), f y0(2, 0)) = (1,2)

Vậy f→−0

u(2, 0) = 1

−

→v ∇f (2, 0) = (1, 2).

1 −→

PQ = (−32, 2) ⇒ −→u =µ −3/2

5/2 ,

25/2

¶

=µ −3

5 ,

45

¶

f x0= e y , f y0= xe y

⇒ ∇f (2, 0) = (f x0(2, 0), f y0(2, 0)) = (1,2)

Vậy f→−0

u(2, 0) = 1

−

→v ∇f (2, 0) = (1, 2).

Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm của hàm ẩn xác định bởi F(x,y) = 0

hàm khả vi thì lấy đạo hàm hai vế của

Giả sử phương trình F(x, y) = 0 xác định hàm

hàm khả vi thì lấy đạo hàm hai vế của

Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm của hàm ẩn xác định bởi F(x,y) = 0

Đ ẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI

F(x, y, z) = 0

Cho hàm số z = f (x,y) được xác định bởi

phương trình F(x, y, z) = 0. Nếu f , F là những hàm khả vi và F z0 6= 0 thì ta có

Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm riêng của hàm ẩn xác định bởi F(x,y,z) = 0

y2+ 2xz

z2+ 2xy·

y2+ 2xz

z2+ 2xy·

H ÌNH : Mặt phẳng tiếp diện với mặt congz = f (x,y)được xác định bởi

F(x, y, z) = 0

Đạo hàm của hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện và phương trình pháp tuyến

Vì C thuộc Snên F(x(t), y(t), z(t)) = 0.

ĐỊNH LÝ 3.3

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp diện và được xác định như sau

Đạo hàm của hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện và phương trình pháp tuyến

VÍ DỤ 3.3

Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện,

phương trình pháp tuyến tại điểm (−2,1,−3)

VÍ DỤ 3.3

Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện,

phương trình pháp tuyến tại điểm (−2,1,−3)

1 Phương trình mặt phẳng tiếp diện

Thực hành MatLab Tính véc tơ gradient

M AT L AB : T ÍNH VÉC TƠ GRADIENT

thì ta phải khai báosyms x y (đối với hàm hai biến)

tại điểm(x0, y0) làsubs(nabla, [x, y], [x0, y0]).

tại điểm(x0, y0, z0 ) làsubs(nabla, [x, y, z], [x0, y0, z0 ]).

M AT L AB : T ÍNH VÉC TƠ GRADIENT

thì ta phải khai báosyms x y (đối với hàm hai biến)

tại điểm(x0, y0) làsubs(nabla, [x, y], [x0, y0]).

tại điểm(x0, y0, z0 ) làsubs(nabla, [x, y, z], [x0, y0, z0 ]).

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI