GIỚI HẠN DÃY SỐ... “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại.. Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào giới hạn ∆y / ∆x Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
-TOÁN 1 – HỌC KỲ 1
BÀI 1: DÃY SỐ GIỚI
HẠN DÃY SỐ
Trang 2NỘI DUNG
-
DÃY SỐ
DÃY CON
DÃY SỐ
ĐIỆU, BỊ CHẶN
KẸP
Trang 3KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG –
ĐẠI HỌC)
-
-Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào
giới hạn ∆y / ∆x
Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung
Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình
Độ dài đường cong = lim độ dài
đường gấp khúc nội tiếp
Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim
S hình chữ nhật
Giới
hạn:
số hàm hạn
Giới
số dãy hạn
Giới
Trang 4DÃY SỐ THỰC
-
-Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến ∞: x 1 , x 2 … x n … ⇒ Dãy số {x n } n ≥ 1 (hoặc từ 0 đến VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy ∞: x 0 , x 1 … x n … → {x n } n ≥ 0 ) số chẵn: 2, 4, 6 … Câu hỏi: Tìm số hạng cuối
cùng của 1 dãy số?
Thông thường, dãy số được xác định theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n
VD:
Dãy
{ }
+
→
+
=
≥
1 4
3 , 3
2 , 2
1
n n
n x
n n
{ } ( )x n = { −1 n n}n≥0 → {0, −1, 2 ( ) (−1 n−1 n −1)} x n-1 : số
hạng thứ n của {x n } n ≥
0 !
Trang 5CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG
THỨ n
-
-VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {x, n } n≥ 1 :
8
1 , 4
1
,
2
1
/
4
3 , 3
2 ,
2
1
b c /1,3,5,
1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trị & vẫn vô hạn phần tử 2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát?
số nguyên dương N* VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 … → R. ⇒ x n
= n 2 ⇒ f(x) = x 2
ĐS
:
n
a
2
1
1
1
+
− +
n
n
b n c / 2n −1
Maple: > n^2 $n = 1 5; > array( [ [n, n^2]$ n = 1 5 ]);
Trang 6DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU
-
-{x n} TĂNG: x n ≤ x n+1 ∀ n ≥ 1 Tổng quát: x n
≤ x n+1 ∀ n ≥ N 0
n
x
a = + + + 1 : → +1 −
2
1 1
{x n} GIẢM: x n ≥ x n+1 ∀ n ≥ 1 Tổng quát: x n
≥ x n+1 ∀ n ≥ N 0
n
n n
x
x n
n
2
1
−
−
: 4 3
3
2 /
−
−
=
n
n x
4 3
3
2
f x
x x
f tính xét
SỐ HÀM
giống
bthức
−
−
=
→
Trang 7DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON
-
-{ } < < < = ∞
∞
→ k
k k
n
x
k , , , lim ,
{x n} ⇒ Dãy
con
VD:
Dãy
→
− −
5
4 , 4
3 , 3
2 , 2 1
{x n} bị chặn trên: x n ≤ M ∀ n ≥ 1 Tổng quát: x n ≤ M ∀ n ≥ N 0
Dãy bị chặn trên lẫn dưới: gọi chung
{x n} bị chặn dưới: x n ≥ m ∀ n ≥ 1 Tổng quát: x n ≥ m ∀ n ≥ N 0
VD: Xét tính bị chặn
của các dãy
{ } c { ( ) n}
b n
a / 12 / 3n / −1 n
a/ Bị chặn Trên: 1, Dưới: 0 b/ Dưới: 0 c/ K0
bị chặn trên, dưới
con {x 2n – 1 } & {x 2n }
Dãy con
↓
− −
↑
5
4 , 3
2
&
: 4
3 , 2
1
Trang 8GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ
CHỊU”
-
-Lập bảng giá trị 2 dãy số sau Quan
sát và rút ra kết luận
1
/
+
=
n
n x
a n ( )
1
1
/
+
−
=
n
n y
b n n
5 0.835 -0.835
10 0.910 0.910
15 0.940 -0.940
20 0.950 0.950
25 0.960 -0.960
30 0.970 0.970
cụ thể nào!
Định nghĩa (“dễ chịu”):
bằng a ⇔ x n ≈ a khi n đủ
: 2
sin
2 3
n n
n
n
n −
+
∞
→
0 /
a b /1 2 1
/
c d / ∞
Trang 9GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT
CHẼ
-
-Có ghạn: Hội tụ K0
(hoặc lim
kỳ
Dãy {x n} hội tụ
về a ⇔ ∀ ε >⇔0, ∃ N0 ∈ N : x n − a < ε ∀ n ≥ N0
0
0 : ,
0 ∃ N a − ≤ x n ≤ a + ∀ n ≥ N
>
∀
hạn hữu
:
lim x n a
n =
∞
→
a
ε
−
a a +ε
1
x
1000
x
0
N
x
1
0 +
N
x
ngữ ε – N 0 ):
x n “rất gần” a, n đủ lớn ⇔ ∀ε > 0 ∃ N 0 : |
x n – a | < ε ∀ n ≥ N 0
VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/
b/ Với lim vừa đoán & ε = 10 -2 ,
10 c/ Chứng minh chặt -3 ⇒ N 0 = ?
chẽ (a)
1 1
+
∞
→ n
n
n
Đoán"
"
?
10
1 1
0
1
=
≥
⇒
=
≤
− +
−
N n
n
n ε
Trang 10GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ
-
-0
,
n = ∞ ⇔ ∀ ∃ ∈ > ∀ ≥
∞
(lôgich) mệnh đề hội tụ
Hội
tụ:
0
0
R
a∈ ∀ > ∃ ∈ n − < ∀ ≥
ε
∃
∈
∀ a R, 0: N0 N n N0 đểx n a
Phân
kỳ:
0
, (
n = ∞ ⇔ ∀ ∃ ∈ < ∀ ≥
∞
Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = định nghĩa!
Trang 11TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
-
≥
≥
=
≠
=
±
=
±
⇒
∃
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
0 lim
&
0 lim
lim
0 lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
, lim
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
n n
n n
n n
n
n n
n n
x x
x x
y y
x y
x
y x
y x
y x
n
: ĐK
: ĐK
lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v…) = Tổng (hiệu … ) lim
lim x n = a ⇔ Mọi dãy con của {x n}
a
x
k
n
∞
→ lim
Dãy {x n} phân
kỳ của ∃ hai dãy con hội tụ {x n}
Trang 12GIỚI HẠN CƠ BẢN
-
-
=
⇒
<
<
∞
=
⇒
>
∞
→
∞
→
0 lim
1 0
lim 1
n n
n n
a a
a a
=
⇒
<
∞
=
⇒
>
∞
→
∞
→
0 lim
0
lim 0
α
α
α
α
n
n
n
n
Hàm mũ:
Lũy
thừa:
∞
=
∞
→
2
lim
a
n / lim 1 2 = lim 1 = 0
∞
→
−
∞
b
n n
VD: (Tổng cấp
số nhân)
+ + + +
∞
1 4
1 2
1 1
:
2 2
1 1
1
=
−
n + q + q + + q
∞
lim
Tổng
quát:
Hdẫ
q q
q
n n
−
−
= +
+
1
1 1
1
Số
e:
a n
n
n
n
a e
+
=
+
∞
→
∞
∞
→
n
n n
Hay gặp:
0 3
1 lim
&
2 lim
∞
=
∞
→
∞
→
n n
n n
c
Trang 13NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN
-
-Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới hạn cơ bản & thay vào
VD: Tính giới
1
2
2
−
+
∞
→ n
n
n n
n 4 2 5
2 5
3 lim
⋅ +
−
⋅
∞
∞
n
Giả
i:
0
2 1
lim 1
1 lim 2
1 1
1
2 lim
1
1
2
2
2 2
2 2
2
2
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
n n
n
n
n n
n
n
n n
n
( )
( )
3 2
5 4 5
5 2 3
5 lim 5
2 4
2 5
3
+
−
=
⋅ +
−
⋅
∞
→
∞
n n
n n
n
n n
n
1 1 1
1 lim
1
1 lim
1
− +
=
− +
−
−
=
−
−
∞
→
∞
→
∞
n
n n
n
n n
n
Thực
tế:
: 1
1
2 lim 1
1
2
2 2
2
−
+
→
−
+
∞
→
∞
x n
n
x
Lôpitan …
Trang 14GIỚI HẠN KẸP
-
{y n}, {z n}
=
=
≥
∀
≤
≤
∞
→
∞
N n
z y
x
n n
n n
n n
n
lim lim
0
a y
y n
n
n
∃
⇒
∞
→
∞
→ & lim lim
n n
n y z
x ≤ ≤
a
Hệ quả (hay
sử dụng):
0 lim
0 lim
&
∞
→
∞
n n
x
VD:
1
sin
+
∞
→ n
n
n
n
n
n n
∞
→
1000 lim
n
n n
n!
lim
∞
→
VD
:
n
n n
∞
→
lim
0
1 2
1
!
⋅
⋅
=
<
n n
n n
n n
n
n
0 1
1
sin
+
≤ +
≤
n
n n
n
n
2000:
0 2
1
1000
≤
<
n n
n
Cô si:
1
1
1 1
1
n
n
n n
n
n n
Trang 15TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS
-
Weirstrass:
Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
đơn điệu & bị chặn
VD: Chứng minh tồn tại
giới hạn (số e)
n
n n
+
∞
→
1 1 lim
Giải: Dãy
1 1
1 1 1
1 1
1
1
+
+
≤
+
⇔
+
+
≤
+
n n
n
n n
n
Bđt
Côsi:
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
+
+
= +
+
+
= +
+ +
+
≤
⋅
+
+
n n
n
n n
n n
n
n
Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công
Khanh, trang 18 – 19
Trang 16TỔNG KẾT
-
-Các kỹ thuật chứng minh
dãy hội tụ
Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2 dãy con có lim khác nhau hoặc tối thiểu một dãy con không có giới hạn
Giải |x n− a| ≤ ε
chất 3 dãy kẹp
(giảm & chặn dưới)
các giới hạn cơ bản
BT: Sách giáo khoa & Bổ sung
(xem trên web)
Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/ (n+1), n=infinity)