đề thi toán cao cấp tích phân

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

GIẢI ĐỀ ÔN TẬP TOÁN 2

Ngày 16 tháng 06 năm 2015

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2015

5 arctan

(x + 2)

√5

+∞

−∞

=

= √15

π

2 +

π2



= √π

5.

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

+∞

P n=1

un, với un =

1/n Z 0

n2 + 1.

n2 + 1.

1n

Ngoài ra

n√n

n2 + 1.

1n

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

+∞

P n=1

x2n2n + 1

2n + 1 1

n→+∞

−→ 1 = ρ ⇒ R = 1

ρ = 1.Tại X = 1 ta có chuỗi

+∞

P

n=1

1 2n + 1 phân kỳ theo tiêu chuẩn

Tìm tổng của chuỗi lượng giác

Nếu chuỗi lũy thừa có tổng hữu hạn

Tìm tổng của chuỗi lượng giác

Nếu chuỗi lũy thừa có tổng hữu hạn

Xét chuỗi lũy thừa



2 + i sin

x2



2 cos x

2

+ i x2

2 sin x.

X

n=2

 1

n − 1 − 1

n + 1



k − 1 − 1

k + 1



= 12

Với z = eix = −1 ⇒ cos x + i sin x = −1 ⇒



1 − 1

2 cos x − x sin x

,

∀x ∈ (−π, π]

x2 + y
dx + (x + 2y ) dy = 0Nghiệm của phương trình này là

y00+ 3y0 + 2y = 2x + 3 + 6excos 2x

y00 + 3y0 + 2y = 0

Phương trình đặc trưng k2 + 3k + 2 = 0 có 2

nghiệm phân biệt k1 = −1, k2 = −2

ytn = C1e−x + C2e−2x

y00+ 3y0 + 2y = 2x + 3 + 6excos 2x

y00 + 3y0 + 2y = 0

Phương trình đặc trưng k2 + 3k + 2 = 0 có 2

nghiệm phân biệt k1 = −1, k2 = −2

ytn = C1e−x + C2e−2x

Bước 3 Tìm nghiệm riêng y r1 của phương trình

y00 + 3y0+ 2y = 2x + 3

Nghiệm riêng có dạng y r1 = xs.e0x.(Ax + B) Vì α = 0

⇒ yr1 = x

Bước 3 Tìm nghiệm riêng y r 2 của phương trình

y00+ 3y0 + 2y = 6e x cos 2x

Nghiệm riêng có dạng yr2 = x s e x (C cos 2x + D sin 2x ) Vì 1 + 2i

biến độc lập của hàm số x

Ta có x = x(u, v ) Do đó, theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

dx = xu0du + xv0dv Với u = z, v = y ta có

biến độc lập của hàm số x

Ta có x = x(u, v ) Do đó, theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

dx = xu0du + xv0dv Với u = z, v = y ta có

Câu 6

Tìm hình nón có diện tích mặt bên không đổi S

sao cho thể tích của nó là lớn nhất?

Gọi R là bán kính đáy của hình nón, ` là cạnh bêncủa hình nón Khi đó, diện tích mặt bên của hìnhnón là

= 1

3Rp

S2 − π2R4

V0(R) = 1

3

p

π√

3 ⇒ V00(R) < 0Kết luận: Hình nón thỏa yêu cầu đề bài là hìnhnón có bán kính đáy R =

rS

π√3

 1 + a cos x

1 − a cos x

, x 6= π

2,2a, x = π

2

fa0(x , a) = 2

1 − a2cos2x

f (x , a) và fa0(x, a) liên tục trên miền hình chữ nhật

1 − a2

Vậy I0(a) = √ π

1 − a2 ⇒ I (a) = π arcsin a + C Cho ε → 0, ta có I (a) = π arcsin a + C đúng vớimọi |a| < 1 Mặt khác,

Do đó,

J(a) = d

daB(a, 1−a) =

dda

2π2

27 .

Câu 8

Cho P(x, y ) = sin y

y − 2e−xsin x , Q(x , y ) = cos y + 2e

−x cos x

y Tìm hàm h(x , y ) = yg (x ),

g (0) = 1 sao cho biểu thức

h(x , y )P(x , y )dx + h(x , y )Q(x , y )dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y ) nào đó Với h(x, y ) vừa tìm, tính tích phân I =

Để biểu thức h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y ) nào đó thì

Áp dụng công thức tính tích phân không phụ thuộc vào đường đi, ta có

Cách 1: tham số hóa đường cong C

Đường cong C có hướng cùng chiều kim đồng hồnếu nhìn từ gốc tọa độ O nên có hướng ngượcchiều kim đồng hồ nếu như đứng trên đỉnh của tia

Oz nhìn xuống Do đó, phương trình của đườngcong C là

Hoàn lưu của trường véc tơ −→F là

I = Z

I = Z

Có 2 cách để tính tích phân mặt loại 2: đưa về tích phân mặt loại 1 hoặc tính trực tiếp bằng cách chiếu

x2 + y2 + z2 = 4.

Thông lượng của trường véc tơ −→F là I =

Áp dụng công thức Gauss-Ostrogradski lúc này không được, vì miền

Ω chứa điểm O(0, 0, 0) mà tại đó các hàm P, Q, R và Px0, Qy0, Rz0không liên tục.