hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 1.. 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ
Trang 1hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Cho hàm số y= − +x3 3x2+ 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để phương trình x3 − 3x2 = m3 − 3m2 có ba nghiệm phân biệt
• PT x3 − 3x2 = m3 − 3m2 ⇔− +x3 3x2 + = − 1 m3 + 3m2 + 1 Đặt k= −m3+ 3m2+ 1
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y k=
Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔1 < <k 5 ⇔m∈ − ( 1;3)\ 0;2}{
Câu 2. Cho hàm số y x= 3− 3x2+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x x m
x
1
−
• Ta có x x m (x x ) x m x
x
1
− Do đó số nghiệm của phương trình
bằng số giao điểm của y=(x2− 2x− 2) x− 1, ( ')C và đường thẳng y m x= , ≠ 1.
f x khi x
= − − − = − < nên ( )C' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.=
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1= qua Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
m < –2 m = –2 –2 < m < 0 m ≥ 0
vô nghiệm 2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt
Câu 3. Cho hàm số y x= 4− 5x2+ 4 có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để phương trình x4− 5x2+ = 4 log12m có 6 nghiệm
• Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm ⇔ m m 94 4
4
Câu 4. Cho hàm số: y x= 4− 2x2+ 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4− 2x2+ + 1 log2m= 0 (m > 0)
• x4− 2x2+ + 1 log2m= 0 ⇔ x4− 2x2+ = − 1 log2m (*)
+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y x= 4− 2x2+ 1 và y= − log2m
+ Từ đồ thị suy ra:
0
2
< < m 1
2
2 < < m 1= m 1>
2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm
Câu 5. Cho hàm số y f x= ( ) 8 = x4− 9x2+ 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Trang 75
Trang 2Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
8cos − 9cos + = 0 với x [0; ]∈ π
• Xét phương trình: 8cos 4x− 9cos 2x m+ = 0 với x [0; ]∈ π (1)
Đặt t= cosx , phương trình (1) trở thành: 8t4 − 9t2 + =m 0 (2)
Vì x [0; ]∈ π nên t [ 1;1]∈ − , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có: (2) ⇔ 8t4− 9t2+ = − 1 1 m (3)
Gọi (C 1 ): y= 8t4− 9t2+ 1 với t [ 1;1]∈ − và (d): y= − 1 m Phương trình (3) là phương trình
hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (d)
Chú ý rằng (C 1 ) giống như đồ thị (C) trong miền − ≤ ≤ 1 x 1.
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
m 0< m 0= 0 < <m 1 1 m 81
32
32
32
>
vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm
Câu 6. Cho hàm số y x
x
3 4 2
−
=
− (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 0;2
3
π
:
sin + cos = sin + cos )
• Xét phương trình: sin 6x+ cos 6x m (= sin 4x+ cos ) 4x (*)
1 sin 2 1 sin 2
⇔4 3sin 2 − 2 x= 2 (2 sin 2 )m − 2 x (1) Đặt t= sin 2 2 x Với x 0;2
3
π
thì t∈[ ]0;1 Khi đó (1) trở thành: m t
t
3 4 2
2
−
=
− với t∈ 0;1
Nhận xét : với mỗi t∈ 0;1 ta có : x t x t
sin2 sin2 sin2
=
Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2
3
π
∈ ÷÷⇒ ∈ ÷
Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) 2m y 3 1 2m 7
< ≤ ÷⇔ < ≤
2 < ≤ 10.
Câu 7. Cho hàm số y x
x
1 1
+
=
− 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x m
x
1 1
+
=
−
• Số nghiệm của x m
x
1 1
+
=
− bằng số giao điểm của đồ thị (C′): y x
x
1 1
+
=
− và y m.= Dựa vào đồ thị ta suy ra được:
m< − 1;m> 1 m= − 1 − < ≤ 1 m 1
Trang 76