Các phép biến hình trong bài toán hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH Chúng tôi ghi tên dưới đây: vào việc tạo “ Các phép biến hình trong bài toán hàm số”

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH

Chúng tôi ghi tên dưới đây:

vào việc tạo

“ Các phép biến hình trong bài toán hàm số”

Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán

II Nội dung sáng kiến

1 Giải pháp cũ thường làm

Kiểm tra đánh giá là khâu không thể thiếu trong quá trình dạy học Hoạt động nàykhông chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuấtnhững phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệuquả giáo dục

Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giá trongdạy học môn Toán cần có những thay đổi Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm trađánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia

đề thi môn Toán đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đãđược thực hiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế Vì vậy, từ kìthi THPT Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm Việc thay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũngnhư học sinh Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, cònvới học sinh đó là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cầnphải chú ý đến cả những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi.Cũng vì những thay đổi đó mà rất nhiều các nội dung trước đây không hề hoặc rất ítxuất hiện trong đề thi, mà điểm hình là các phép biến hình Học sinh cũng như giáo viênkhi nghiên cứu nội dung này thường là các bài toán hình học thuần túy như việc tìm ảnhcủa: điểm, đường thẳng, đường tròn, elip Khi gặp các dạng toán khác liên quan đến phépbiến hình thì học sinh rất lúng túng trong việc tìm ra cơ sở lý luận để giải quyết bài toán.Ngay cả giáo viên khi giảng cho học sinh về nội dung này cũng khó khăn.

Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy, với mong muốn xây dựng một tài liệu với đầy đủ cơ

sở lý thuyết và các dạng bài tập nhằm hỗ trợ cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảngdạy và học tập nội dung này, chúng tôi đã viết sáng kiến “Các phép biến hình trong bàitoán hàm số và đồ thị”

Mục đích chính của Sáng kiến này là đưa cái nhìn của các phép biến hình vào các bàitoán hàm số Nhằm có một tài liệu ôn luyện chất lượng cho giáo viên và học sinh Cũng gópphần giúp cho giáo viên và học sinh việc áp dụng một nội dung vào giải quyết các nội dungkhác trong chương trình

2 Giải pháp cải tiến

Trình bày các định nghĩ, tính chất, biểu thức tọa độ của các phép biến hình

2.1.3 Tổng quan về ứng dụng của các phép biến hình

2.2 Giải pháp mới

Trong phần giải pháp mới cũng là nội dung chính của sáng kiến được tác giả trình bàytrong bốn chương:

Chương II: Phép tịnh tiến

Chương III: Phép đối xứng

Chương IV: Phép quay

III Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

1 Hiệu quả kinh tế:

Các nội dung viết trong sáng kiến này là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và họcsinh Học sinh có thể dùng tài liệu này để tham khảo về các vấn đề liên quan đến các phépbiến hình, hàm số và đồ thị Giáo viên có thể dùng tài liệu này phục vụ công tác giảng dạy

và ra đề kiểm tra cũng như đề thi thử Nội dung sáng kiến cũng là một tài liệu tham khảogiá trị khoảng 40.000đ (phô tô), phù hợp với nhiều đối tượng học sinh

Tại THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm, tài liệu đã được sử dụng để giảng dạy

và học tập cho toàn bộ giáo viên Toán – Tin trong nhà trường Và toàn bộ học sinh khối

11 và 12 với khoảng 1000 học sinh Không riêng gì áp dụng cho năm học 2018 – 2019, Sángkiến này sẽ tiếp tục được chỉnh sửa và bổ sung để áp dụng vào những năm học tiếp theo.Nếu được áp dụng và nhân rộng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệmđược số tiền rất lớn và là sản phẩm tri thức có giá trị

2 Hiệu quả xã hội:

- Đối với học sinh, phụ huynh và xã hội: Tạo được tâm lí tự tin cho phụ huynh và họcsinh trước mỗi kì thi quan trọng Học sinh có thể giải được các bài tập trắc nghiệm liênquan đến hàm số sử dụng phép biến hình trong các đề thi và đề kiểm tra

- Đối với nhà trường THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm: Sau khi áp dụng sángkiến này tại nhà trường thu được kết quả tốt, tạo được sự tin tưởng chuyên môn của nhómtoán nhà trường Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạyhọc đạt hiệu quả cao Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy của nhà trường Trongnhững năm gần đây trường THPT Bình Minh, THPT Ngô Thì Nhậm đã có những tiến bộvượt bậc về kết quả thi Học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia

- Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến này tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổimới phương pháp giảng dạy, đặc biệt là trong bộ môn toán trường THPT Bình Minh vàTHPT Ngô Thì Nhậm Nội dung Sáng kiến này là tài liệu tham khảo có thể áp dụng chotất cả các trường THPT trong toàn tỉnh (27 trường THPT) Đặc biệt là cho các đối tượnghọc sinh ôn thi HSG, THPT Quốc gia Là một chuyên đề giảng dạy hiệu quả cho giáo viên

IV Điều kiện và khả năng áp dụng

1 Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:

Rộng rãi đối với tất cả các trường trung học phổ thông

Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc giacho học sinh, mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh Vì vậy vấn

đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều hơnnữa Mà nội dung chuyên đề phép biến hình cũng như các bài toán đồ thị hàm số liên quanđến phép biến hình là một dung trước đây ít được chú ý và khan hiếm tài liệu Chính vì thếnhiều học sinh cảm thấy khó khăn khi tiếp cận để giải quyết nội dung này Và khó khăn vớigiáo viên trong công việc soạn đề kiểm tra và đề thi Do đó, việc áp dụng sáng kiến này vàotrong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan Vấn đề không chỉ còn nằm ở khả năng truyềnđạt của thầy cô giáo mà cần có sự cố gắng của cả nhà trường, giáo viên và học sinh

2 Điều kiện áp dụng sáng kiến:

Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần:

+ Đưa ra thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến với các thầy cô giáo trong tổ chuyênmôn về các vấn đề liên quan đến sáng kiến từ đó rút kinh nghiệm.

+ Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong sángkiến cho phù hợp

+ Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải quyếtcác bài tập về nhà Cũng như các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút

+ Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung vàosáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật vàhoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.

Bình Minh, ngày 21 tháng 4 năm 2019

(Ký và ghi rõ họ tên)

Đinh Hồng Chinh

Dương Xuân Lợi

SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

1 Lịch sử hình thành

Hình 1.1: Euclide Hình 1.2: Bellavitis (1803-1880)

Từ thế kỉ III TCN đến thế kỉ XVIII, với hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhàtoán học như: Euclide (sống khoảng 330-275 trước Công nguyên), Desargues (1591-1661),Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newtơn (1642-1737) phép biến hình vẫn chỉxuất hiện như một công cụ ngầm ẩn đề chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hìnhnày sang hình kia, được sử dụng để giải một số bài toán Phép biến hình chỉ được sử dụngnhư một thuật ngữ mô tả chứ không phải là một đối tượng nghiên cứu toán học

Vào cuối thế kỉ XVIII, phép biến hình đã trở thành một đối tượng nghiên cứu của toánhọc Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” được Bellavitis (1803-1880) trình bày trong lý thuyết về các hình của ông và sau đó được một số nhà toán họckhác bổ sung thêm Ở giai đoạn này gắn liền quan niệm xem hình là một tập hợp điểm màhình học giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm đó Có thể nóicác phương pháp do các nhà toán học phát minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng

về hình, nó cho phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn theo từngđiểm

Đến cuối thể kỉ XIX, phép biến hình không chỉ được sử dụng như công cụ để dựng hìnhhay tính chất của hình nữa Khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời từ vấn dề sắp xếp

7

các tính chất bất biến của các phép biến hình Và những khái niệm tính chất đó đã đượcđưa vào chương trình THPT.

2 Kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1 Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác địnhđược một điểm duy nhất M0 của mặt phẳng, điểm M0 gọi là ảnh của điểm M qua phép biếnhình đó

Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F thì

Định lí 2 Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của phép vị tự V tỉ số

• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng và độ dài được nhân lên với k

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k

• Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R

• Biến góc thành góc bằng nó

Định nghĩa 4 Hai hình đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thànhhình kia

3 Tổng quan về ứng dụng

Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn cuộc sống

Phép biến hình là một công cụ để giải toán hình học như trong các bài toán:

• Giải một số bài toán dựng hình

• Giải một số bài toán về tìm tập hợp điểm

• Dựa vào tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiếtquần áo,

• Ứng dụng trong hội họa, mỹ thuật( hình vẽ hoa văn có tâm đối xứng)

• Chế tạo ra sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm,

• Tạo ra đồ dùng: Đèn trần, chén đĩa, mâm tròn,

• Chế tạo các chi tiết máy (bánh răng, bánh xe, )

• Để phóng to nhỏ các đồ vật

Ký hiệu: T#»v.

Định lí 3 Nếu phép tịnh tiến biến 2 điểm M và N thành 2 điểm M0và N0thì M0N0 = M N

Ý nghĩa của định lý 1: “Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách 2 điểm bất kì”.Định lí 4 Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn vịtrí của 3 điểm đó

Phép tịnh tiến

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đãcho

• Biến tia thành tia

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

• Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

11

• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ta biết rằng đồ thị của một hàm số bao giờ cũng gắn với một hệ toạ độ nhất định Ví dụ,

đồ thị của hàm số y = xlà đường phân giác(d0)của góc phần tư thứ I và III trong hệ toạ độOxy Ta hãy xét một hệ toạ độ mới O0XY , trong đó gốc O0 của nó, đối với hệ toạ độ Oxy,

có toạ độ (x0; y0); các trục X0X và Y0Y song song cùng hướng và cùng đơn vị theo thứ tựvới trục x0x và y0y Câu hỏi đặt ra là trong hệ toạ độ mới ấy, liệu (d) có còn là đồ thị củahàm số Y = X nữa hay không? Nếu không thì nó sẽ là đồ thị của hàm số nào?

Có thể thấy rằng: Nếu O0 ∈ (d/ 0), có nghĩa là (d) không đi qua góc toạ độ mới thì (d)không thể là đồ thị của hàm số Y = X Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, muốn biết(d) là đồ thị của hàm số nào, ta cần tìm hiểu mối quan hệ giữa các toạ độ cũ và mới củamỗi điểm trong mặt phẳng

Gọi M là một điểm tuỳ ý, đối với hệ toạ độ Oxy, M có toạ độ là (x; y) Đối với hệ toạ

độ O0XY , toạ độ của M là (X; Y ) Ta cần tìm mối quan hệ giữa (X; Y ) và (x; y) Để ý

# »

OM = # »

OO0+ # »

O0M Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), p, q > 0

-Tịnh tiến (C) lên trên theo phương trục Oy, q đơn vị ta được đồ thị hàm số (C0) : y =

f (x) − q Hay ảnh của (C) qua T#»v với #»v = (0; q) là (C0) : y = f (x) − q

-Tịnh tiến lên trên q đơn vị: y = f (x) + q

-Tịnh tiến xuống dưới q đơn vị: y = f (x) − q

-Tịnh tiến sang trái p đơn vị: y = f (x + p)

-Tịnh tiến sang phải p đơn vị: y = f (x − p)

Tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (a; b): y = f (x − a) + b

2 Bài tập minh họa

Bài toán 1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Phép tịnh tiến theo #»v = (a; b) biến (C)thành (C0) Tìm phương trình của (C0)

Phương phápGiả sử: M (x; y) ∈ (C) ⇔ y = f (x) (1)

xử lí với bất kì véc-tơ nào Giúp cho các bạn chỉ cần nhớ một phương pháp chung mà có thểgiải với mọi bài tập có liên quan đến tìm ảnh của hàm số mà không cần phải nhớ đến nhiềudạng bài tập và cách giải khác nhau Tiếp tục, chúng tôi sẽ giải thử với một số hàm số đểchúng minh sức đột phá của phương pháp này.

y = ax + b; y = ax2+ bx + c; y = ax3+ bx2+ cx + d; y = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e; y = ax + b

cx + d.Bài toán 2 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C0) Phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (a; b) biến(C) thành (C0) Tìm phương trình của (C)

Ví dụ 2 Cho hàm số ảnh y0 = 2x0 − 3 có đồ thị (C0) Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnhtiến T#»v

#»v = (0; 1).

a) b) #»v = (0; −2). c) #»v = (2; 0). d) #»v = (−1; 0). e) #»v = (1; 2).

Lời giải

Phương phápGiả sử (C) : y = f (x); (C0) : y = g(x).

Gọi véc-tơ #»v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến ⇒ T#»v(C) 7→ (C0) Chọn M (x; y) ∈ (C) ⇒ T#»v(M ) =(M0) ⇒

Để giải quyết các bài toán về đồ thị sử dụng phép tịnh tiến ta sẽ áp dụng các nhận xét sau:

• Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x) + q

• Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x) − q

• Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x + p)

• Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x − p)

• Tịnh tiến (C) theo vectơ #»v = (a; b) ta được đồ thị hàm số: y = f (x − a) + b

Bài toán 1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) tìm đồ thị (C0) là ảnh của (C) qua phéptịnh tiến theo #»v biết

#»v = (a; 0).

Phương phápa) #»v = (a; 0)

+) a > 0 tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị ta được đồ thị (C0)

+) a < 0 tịnh tiến (C) sang trái |a| đơn vị ta được đồ thị (C0)

b) #»v = (0; b)

+) b > 0 tịnh tiến (C) lên trên b đơn vị ta được đồ thị (C0)

+) b < 0 tịnh tiến (C) xuống dưới |b| đơn vị ta được đồ thị (C0)

c) #»v = (a; b)

Ta tịnh tiến (C) liên tiếp theo hai véc tơ #»v1 = (a; 0) và #»v2 = (0; b) ta được đồ thị (C0)

Bài tập áp dụng

d) #»v = (−3; 0).

Tịnh tiến (C) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị (C0).

x

y

O 2 2

e) #»v = (−1; −2)

Ta thực hiện liên tiếp

Bước 1: Tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị

Bước 2: Tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị

Ta được đồ thị (C0)

x

y

O 2 2

Tịnh tiến (C) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị (C0).

Áp dụng tương tự như các ví dụ trên ta thu được các kết quả:

O

O

Phương pháp

Ta có véc-tơ tịnh tiến của phép tịnh tiến biến (C) thành (C0) chính là véc-tơ tạo bởi haiđiểm đặc biệt liên quan đến (C) và (C0), hai điểm đó phải có cùng tính chất với (C) và (C0),chẳng hạn như:

+ Hai điểm cực đại

+ Hai điểm cực tiểu

+ Hai tâm đối xứng của hai đồ thị

+ Hai điểm uốn.

Bài tập áp dụngNhư ta đã biết, với hai đường thẳng song song sẽ có vô số phép tịnh tiến biến đườngthẳng này thành đường thẳng kia Chính vì thế trong phần này chúng tôi không trình bàyhàm số bậc nhất

- Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận

- Giả sử giao điểm hai đường tiệm cận của các đồ thị (C) và (C0) lần lượt là I, I0khi đó véc-tơ tịnh tiến là # »

+ Hai điểm cực đại của (C) và (C0).

+ Hai điểm cực tiểu của (C) và (C0)

+ Hai điểm uốn của (C) và (C0)

- Đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương.

- Đối với hàm số này ta nên giải quyết theo hướng:

+ Đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực đại (như ví dụ này) véc-tơ tịnh tiến làvéc-tơ tạo bởi hai điểm cực đại của đồ thị hai hàm số

+ Đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực tiểu véc-tơ tịnh tiến là véc-tơ tạo bởi haiđiểm cực tiểu của đồ thị hai hàm số