Hàm số biến số phức giáo trình dùng cho sinh viên khoa toán các trường đại học sư phạm

Niịoài ra, trong chương này giới thiệu một sô' ứng dụng cùa lí thuyết thặng dư trong việc tính tích phản thực mà việc tính toán chúng trong giải tích thực rất phức tạp, thậm chí khó có t

GỈÁOTRÌN DŨNG CHO SINH ViÊN KHOA T

CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC

ỈQGHN

TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

HÀM SÔ BIÊN SÔ PHỨC

(GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN CÁC TRUỒNG ĐAI HỌC SƯPHẠM)

(Túi bản làn thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Chịu trách nhiệm xuất hán :

Phó Tổng Giám dốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO

Tỏ’ chức bán thào và chịu trách nhiệm nội du nạ :

Phó Tổng Giám dốc kiêm Giám đốc NXBGD tại Tp Đà Nàng HUỲNH BÁ VÂN

Biên tập nội dunịi :

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách Hàm sỏ biến s ổ phức dược biên soạn dựa theo chương trình hiện hành, liùnỊị ciẽ giáng dạy cho sinh viên ngành Toán Nội dung chính gốm các chưtmg : Chương I , Chương 2 và Chương 3 : giới thiệu về s ố phức, các hàm sô' biến sô plìức và các pliép biên hình bào giác nhờ các hàm sơ cấp Chương 4 : giới thiệu vê lích phân phức và lí thuyết tích phân Chương 5 : trình bày phần lí thuyết chuỗi và lí thuyết thặng dư Niịoài ra, trong chương này giới thiệu một sô' ứng dụng cùa lí thuyết thặng dư trong việc tính tích phản thực mà việc tính toán chúng trong giải tích thực rất phức tạp, thậm chí khó có thể tính bàng phương pháp tích phân thông thường, và trình bày một s ố kết quá vé nghiệm của các phương trình dại số.

Đê có thề đọc tốt cuốn sách này, sinh viên cần phải dược trang hị một

số kiến thức cơ bán về phép tính vi tích phân của hàm một biên và nhiều biến thực, một s ố dứng phương trình của các đườní> quen thuộc trong hình học giải tích.

Với mục đích là tinh qiàn, nhiừig đầy đù, do đó có một vài mục nhò, tác giả chi giới thiệu chứ không trình bày chi tiết hoặc đưa vào bài tập đ ể sinh viên tự nghiên cứu Ở phần cuối cuốn sách có phần hướng dán giải bài tập

vờ kết quả nhằm giúp sinh viên phương pháp giải một sô bời toán và kiểm tra kết quá học tập của mình.

Cuốn sách dược hiên soạn lần đầu nên khôn(Ị tránh khỏi những thiếu sót tác giả rất mong nhận dược sự đóng góp ỷ kiến của các bạn đọc đê’lần

in SUII được hoàn hảo hơn.

TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

C h ư ư n g 1

SỐ P H Ứ C

Ịjl SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T Ậ P s ố PHỨC

1 1 Đ ịn h n g h ĩa

Chúng ta đã biết rằng trong tập hưp số thực, phương trình bậc

n > 2 không phải bao giờ cũng có nghiệm Vì vậy cần phải đư a vào

một loại số mới có bân chất tống quát hơn, mà số thực là một trường liựp đặc biệt T ất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta cần phải trang

bị trên nó một số phép toán, mà các phép toán này cần phải phù hợp vứi những phép toán đã có trên tập hợp số thực Có nhiều phương

pháp đ ể xảy dựng loại số mới này ơ đây ta đưa vào số i (gọi là đơn

vị ảo) là nghiệm ciỉa phương trình X2 + 1 = 0 trong tập hợp các số mới

đưa vào.

Đ in h n g h ĩa Số phức là số có dạng 2 = X + iy, trong đó X, y G R

và i gọi là (lơn vị ảo (i 2 + 1 = 0).

y gọi là phần ảo cứa số phức 2, kí hiệu I1112.

Đặc biệt, nếu y — 0 khi đó số phức 2 = X + ¿0 là số thực X. Nếu

X = Ü khi đó z — iy gọi là số thuần ảo.

Hai số phức Z\ = Xi + iyi và Z 2 = X 2 + iy -2 gọi là b ằ n g n h a u nếu

Xị = X 2 và yx =

V2-Cho số phức z = X + i y , số phức có (lạng X — iy được gọi là s ố

p h ứ c liê n h ợ p ciỉa số phức 2, kí hiệu Z, nghĩa là

P h é p c ô n g Ta gọi tống của hai số phức ¿1 — Xi + iy 1 và '2 =

Các tính chất nàv được chứng minh dựa vào tính kết hạp và tính

giao hoán của các số thực.

Đặc biệt khi Z\ và Z 2 là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với

định nghĩa ciỉa phép cộng số thực.

P h é p t r ừ Phép cộng trên có phép toán ngược Với hai số phức

Z\ = X\ + iy\ và Z 2 = X 2 + iy2 ta ró th ể tìm được số phức 2 sao cho

Z 2 + z = Z \ SỐ phức này gọi là hiệu cùa hai số phức Z \ và 22' kí liiệu

Nốu Z\ v à 22 là hai số thực thì định nghĩa (2) trùng với (lịnh nghĩa

thông tlnrờng cứa phép nhân trong tập hợp các số thực.

Đặc biột khi lấy Z\ = Z 2 = i- T ừ clịnh nghĩa (3) ta có

P h é p c h ia Phép toán nhân có phép toán Iigirưc nếu ít Iihất một

tỉ ung liai số đ ó khác không G iả sử 22 0 Khi đó ta có th ế tìm được

một số phức z = X + i y sao cho 22*2 = 2i T heo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trinh sau

1) Hộ tliức (6) cùng có được bằng cách nhản ^ với ẳ*.

2) Tập hự]) tất cả các số plníc với hai phép toán cộng và Iihản (tirợc xảy (lựng trên tao thành một trường, đirorc goi là trirừng số phức.

L u ỳ t h ừ a b â c n Tích cùa 71 lần số phức z được gọi là luỹ thừa

bac 11 ( lia số phức z Kí liiộu Z n

C ă n b âc n Số pliức w đưực gọi là cản bậc n ciia số phức 2 nếu

w'u — z Kí liiộu w = ự z

các số thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục O x, nó đư ợ c gọi

là trục thực; các số thuần áo được biển diễn bời các điểm trên trục

O y , nó được gọi là trục ảo.

Ngược lại, với mỗi điểm của mật phảng x O y có toạ độ ( x y ) ta đặt tương ứng với một số phức z = X + iy.

Vậy có sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp tấ t cả các số phức c với tập hợp tấ t cả các điểm ciỉa một mặt phảng.

Vì mỗi điểm có toạ độ [ x, y) trong mặt phảng tương ứng với một vectcr có bán kính vectơ r = \J x 2 + y 2 và góc cực tưcrng ứng (p Do đó

mỗi số phức z = X + i y c ó th ể biểu diễn dưới dạng:

trong đó r, lần lượt là bán kính cực và góc circ của số phức z Bán

kính r gọi là mođun cùa số phức 2, kí hiệu r — |z| Góc cực ọ gọi là argument của số phức z, kí hiệu ự} = Arg2.

Mođun cùa số Ị)hức (lược xác: định một cách duy nhất

ý? = Arg2 = <

và argument của số phức được xác định với sai khác: một bội cùa 2n.

arctg^ + 2kn (k € Z) (nếu số phức z ở góc phần tư thứ I, IV')

artg* + (2k + 1)7T (k € Z)

k (liến số phức 2 ở góc phần tư thứ II, III)

với arctg^ 6 [—§ ’ §] là giá tri chính cila hàm arctg.

V í d u T ìm mođun và argument cùa số phức

Tưưiitt tự cho hất (tang thức G).

Đ in h lí 3 Cho hai số pliửc

Zị Z -2 = r \ ĩ ' 2 { cos{ p\ + ỉsin^i)(cos</?2 + i sin 1^2)

= rir*2Ị(cosự>i c o s <p 2 — sin V?1 s in <¿>2) -I- ¿(sin cos ý?2 + sin ¿¿>2 cos (¿>1)]

= r ir 2[cos(v?i + Ọ 2 ) + isin(<pi + <¿>2 Đẳng thức 1) (Imrc chửng Iiiinli.

)]-Chứng niinli tưưng tự cho đẳng thức 2).

Tòng; quát, ta cỏ cong thức sau:

z n = r n ( c o s r a p + i s i m u p ) (11)

Đặc biột, khi 7 = 1, ta có cóng thức Moivre

(cos (fi + i sin ọ ) n = cos n<p + i sin nip

Giã sừ w = ự z Khi đó ta có

(12)

N h ậ n x é t Khi ta xem số 1 là một số thực tin căn bậc hai cùa • • • •

nó là 1; còn khi ta xem số 1 là một số phức thì cán bậc hai của Ỉ1Ó có hai giá trị là 1 và -1.

‘¿kn 2/T7T

§3 MẶT CẰƯ RIEMANN.

Trong nhiều trường hợp, điểm vô cù n g có vai trò quan trọng không

th ố hô qua được Đó* hiểu rõ bản chất ciia điếm vỏ cùng, Riem ann đả l)i(Mi diền tập hự]) các số phức bằng cách sau:

Trong không gian Euclid ba chiều với hệ toạ đ ộ Descartes vuỏng góc (0\Ẹ ì7.Ç) Xét mặt cầu s có phương trình

Hình 2

Mặt cầu s có tâm là điểm 1(0.0, |) và bán kính r = ì.

Lấv mặt phảng Ç = 0 làm mặt, phảng phức sao cho trục thực O x trùng với trục O ị trục ào O y trùng với trục Or¡ Gọi điểm 7V(0,0 ,1 )

là cực bắc cila mặt cầu s Từ mỗi điểm z ( x , y ) cùa m ặt phảng phức

ta kô tia N z T ia này cắt mặt cầu s tại điểm 2i(£,77,C)- N gược lại, từ mỏi điểm Z\ € S \ { N ) ta kổ tia N z \ T ia này cắt m ặt phẳng phức tại điểm z ( x y)

Phép tirorng ứng này gọi là phép chiếu nối Khi 2] dần đến điếm

cực bắc N , tia N z 1 trờ thành tia song song vái m ặt phẳng x Oy Do

đó trt có thô’ xem điểm N 6 s tương ứng với điểm 2 = oo.

Mặt phảng phức có bố sung điểm vô cùng được gọi là m ặt phẳng phức mở rộng Kí hiệu c, nghĩa là c = c u {oo}.

Tròn (lảy ta inứi thiết lập sự tương ứng giìra các (tiêm ( lia mật cầu s vcVi mặt pliầng phức 111(7 rộng bằng hình học Sau đây ta sò thiết

Khi c (lần ra vỏ cùng, từ hệ thức (10) ta suy ra điểm ~ i(£ ,7 7 0

dan ve (lirm Ar(().(),1) Ngưực lại khi điểm Z\ dần về điểm N từ hệ

thức (15) chuyển qua giới hạn khi c dần vồ 1 Ta có lim2 = oc.

C-.Ĩ

Vậy có sự t,ir<rng ứng 1-1 giữa tập hợp tất cù cúc (liêm trên luật

c an s và tập h(/Ị) tất cá các đicMii troiỉK mặt phảng phức I 1I(V lộng c.

§4 CÁC KHAI NIẸM HINH HỌC

4 1 K h o á n g cá ch

Đ in h n g h ĩa Khoảng cách giữa hai điếm Z\ — X \ + ¿2 /1 và 22 =

Ta có thê’ kiểm tra lại các tiên đề ciia khoảng cách (hay còn gọi là

(17) chì có Iighĩa khi 21.22 € c.

Vì hạn chế này người ta đưa ra m ột khoảng cách khác mà nó có liiộu lực đối với mọi số phức 21.22 € c Khoảng cách cầu và nó được định nghĩa như sau:

Khoảng cách cầu giữa hai điểm 21,22 € c được xác định bửi hệ thức

4 2 £ -lâ n c â n

Đ in h n g h ĩa

1) Tập hợp những điểm z € c t.hoá mãn hệ thức \z — 2()I < f trong (tó f là số (lmmg cho trước, vứi ZQ G c (lược goi là e -lân cận cùa (licin 2q đ ó là hình tròn mờ tâm ZQ bán kính e Kí hiệu

cùng Đỏ là phàn ngoài của hình tròn tâm tại gốc toạ độ bán kính

K(oc) = {z e c Ị \z\ > - l}.

T ín h c h ấ t T ừ định nghĩa của 6-lãn cận ta có các tính chất sau: 1) Nếu K ,(¿o) và K.2( zq ) là 6i-lản cận và É2-lân cận ciỉa điốni Z{J thì tồn tại một í-lân cận là V€(zq) chửa trong V€ì(zq) n Vf2(zo).

2) Nếu hai điểm 21,22 bất kì m à Z\ Ỷ z2 thì tồn tại hai lân càn

K ,(~ o) và Vt2{z0 ) sao cho K , (~o) n Vf7(zo) Ỷ W

-3) Nếu Z\ là một điểm bất kì thuộc e-lân cận ciỉa Z() thì tồn tại

Ci-lân cận v t l ( zi ) c Vf{zo).

4 3 Đ iể m tr o n g T â p mỏr P h ầ n tr o n g

Đ iể m tr o n g Điểm 2o G c được gọi là điểm trong của tập hơp

con E c c nếu Zo € E và 3e > 0 sao cho Vf(zo) c E.

T â p mcỉr Tập con G c c được gọi là tập Iĩic5r nếu mọi điểm c ia

G đều là điêni trong ciỉa nó.

V í d u Tập hợp D( 0; l) = {2 G C | | z | < l } l à tập mớ trong c

Thật vậv Ví e B ( 0; 1) ta có \z\ < 1 Đặt e = 1 — |z| > 0.

Xót í-lán cận

v f (z) = { t e c I \ t - z \ < e }.

Ta sò chửng minh Vf ( z) chứa trong £?((); 1) Với mọi t e Vf(z) r,a

có |í — z\ < e Theo tính chất ciỉa m ođun ta có

4 4 E )iểm b iê n B iê n

Đ iể m b iê n Điểm b 6 c được gọi là điểm biên của tập con E c c

nếu mọi e-lân cận của điểm b đều chứa điểm của E và điểm của phần

Đ iể m g iớ i h a n Điểm 2o € c được gọi là điểm giới hạn của tập

hcrp A c c neu mọi e-lân cận của Zo đều chứa vô số phần tử ciỉa tập hựp A.

Đ in h lí Điểm Zo € c là điểm giới hạn của tập hợp A c c khi

và chì khi mọi e-lân cận ciỉa 2() đều rhứa ít nhất một p)hần tử cda tập

Đù Chứng minh bằng phán chứng Giả sứ tồn tại một í-lân cận

CIỈH 2(J chỉ dura một số liĩru hạn phần r.ữ ciia tập hợp A là Zi, Z 2 z p Gọi fi = min IZk — zo\.

I<k<p

Tập hợp Vf l (zo) — ị z € c I \z — ZoI < e 1} là Ci-lân cận cila điêni

ZQ Lân cận này không chứa phần tử nào ciìa A ngoài 2o- Điồu này

trái với giả thiết.

Đ in h lí Điểm ZQ 6 c là điểm giới hạn của tập hr/Ị) A c c khi và chì khi tồn tại dãy điểm {zn } Zn € A sao cho z n Zm{n ^ m) vả dãy

{¿n} hội tụ về điểm 20 (khái niệm hội tụ ta sẻ xét trong phần sau).

T â p đ ó n g Tập hợp F c c được gọi là tập đóng nếu nó chứa

tất cá các điêrn giới hạn cùa nó.

V í d u 2 Đoạn thẳng [0,1], 2 = 7 i(í)t trong đó ánh xạ 7i : [0.1] c

R — • c xác định bởi 7i(í) = í; t G [0 1] hoặc 2 = 72(0 ' trong đó ánh xạ 72 : [0, | ] c R — ♦ c xác định bởi 7 2(t) — sin í; t € [0 | ]

N h â n x é t Qua ví dụ trên ta th ấy rằng một đường nào đó có till'" (lược xác (lịnh bời nhiều ánh xạ Tuy nhiên các ánh xạ này thuộc cùng một lứp tircmg đương theo một quail hệ tương đương được xác định.

Đ ư ờ n g J o r d a n Đường 7 được gọi là đường Jordan nếu 7 đơn ánh.

V í d ụ

Hình 3

Đ ư ờ n g c o n g k ín Đường 7 được gọi là đường cong kín nếu

7 ( g ) = 7(6), (7 : [a, 6] — * C ).

V í d u Điràng 7 cho bởi phương trình 7 (f) = a c o s t + í sin í; t 6

Ị í U tt ].

Đ ư ờ n g c o n g tr ơ n Đường 7 đ ư ợ c gọi là đường cong trơn nếu

r(t) y(t) trong công thức (19) khả vi liên tục và có

7'(t) = x'(t) + iy'(t) Ỷ 0 với mọi t E [a.6].

Đ ư ờ n g c o n g t r ơ n t ừ n g k h ú c Nếu 7 là hợp cùa một số hữu hạu đirừng cong trơn thì 7 được gọi là đư ờng cong tran từng khúc.

Từ định nghĩa ta có hệ quả sau:

Tập hợp A là tập liên thông khi và chỉ khi trong A không tồn tạ i tập hợp con thực sự ciỉa A khác rỗng vừa đóng vừa mờ trong A.

V í d u 1 Tập hợp c là tập liên thông.

V í d u 2 Tập hợp c \ { z i , Z 2 , Zp} là tập liên thông.

V í d u 3 Đoạn thảng [a, b] là tập liên thòng.

Đ in h lí Giả sử D là tập hợp m ở trong c Khi đó hai mệnh đ ề

sau tương đương:

i) Tập hợp D là liên thông.

ii) Có th ể nối hai điểm tuỳ ý của tập hợp D bằng một đường cong nằm trong D.

Giả sử tập hợp D c c không liên thông Những tập hạp con liên

thông cực đại (nghĩa là chúng không nằm trọn trong một tập hợp cơn liên thông nào khác của D) được gọi là các th à n h p h ầ n liê n t h ô n g

của D.

4 8 M iề n

Đ in h n g h ĩa Miền là m ột tập hợp con D ciỉa mặt phẳng phức c

có hai tính chất sau:

i) Với mỗi điểm thuộc D luôn tồn tại hình tròn điỉ bé nhận điổini

đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong D (tính mở);

ii) Có th ể nối hai điểm bất kì thuộc D bằng một đư ờng cong n ằm hoàn toàn trong D (tính liên thông).

M iề n đ ó n g Tập hợp gồm tất cả các điểm cda miền D và các điểm biên cda D được gọi là m iền đóng Kí hiệu D — D u dD.

M iề n đ ơ n liê n M iề n đ a liê n

Miìí‘11 D có biên là một tâp liên thông thì đirợc gọi là m iề n đ ơ n

liên

Ngirợc lại, miền D có biên là tập không liên thông thì được gọi là

m iề n đ a liê n Nếu số thành phần liên thông của biên D là hữu hạn

till số Iiày được gọi là c ấ p liê n t h ô n g của miền D ; nếu số thành phần

này là võ hạn thì D được gọi là miền v ô h a n liên

V í d u 1 Miền D\ — {c € c I \z\ < 1} là miền đơn liên.

Miền D '2 — { z G c I 1 < \z\ < 2} là miền đa liên.

sao cho A/ c B(a, R).

T â p h ợ p c o m p a c t Tập hợp A/ c c đươc goi là tập hcrp com­

pact nếu M là tập đóng trong c.

2) Tập hợp hữu hạn các điểm là tập compact.

3) Tập hợp c không phải là tập compact.

4) Tập hợp c là tập compact.

P h ù m ở G iả sử {G a } a çA là Ỉ1Ọ tnỳ ý các tập hợp mở sao cho

mỗi điểm 2 ẽ A Í thuộc ít nhất một tập hợp G a nào đó: Khi đó ta gọi

họ {G Q}a çA là một phiỉ m ở của M.

Đ Ổ đ ề H e in e -B o r e l Tập hợp M a c 1<1 t,HỊ) compact kill VH cil ỉ

khi từ mọi phủ mở của M đều có thế lấy ra một phiỉ con hữu hạn mà

họ này tạo thành một phủ mờ của M.

Một trong những hệ quá quan trọng nhất của bố đề Heine-Borel

là nguyên lí Bolzano-Weierstrass.

N g u y ê n lí B o lz a n o -W e ie r s tr a s s Mọi dãy vô hạn bất kì {2TỈ}

thuộc tập hựp M com pact trong c có ít nhất một điếm giới hạn.

b) \Z\Z '2 + 1|2 + 1-1 — 22I2 = (1 + |z i |2) ( l + \z2 ? )

(*) \ z \\ + 12:2 I = I Zl 2 'ĩ2 — \ /Zi Z2\ + I Zị %z* + \J Z\¿2 I •

d) |2 i -t- 22! > ị ( | 2 l| + I ^2 1) I jfỶT + & •

trong đó 21,22 là những số phức bất kì.

G Dùng công thức Moivre đ ể biêu diễn co sn x và sin nx qua các

luỹ thừa của c o sx và sin x

7 Tính các tống sau:

a) 1 + c o s X 4- cos 2.X + 4- c o s nx:

b) s in X + sin 2 x + + s in nx\

c) c o s a 4 - c o s ( a + b) + + c o s ( a + 716);

ci) sin a 4- sin(a + 6) + + sin(a + nb).

8 Gọi .,e n_ i là các cản bậc n eiia đan vị

trong đ ó Z \, 22 là các hằng số phức.

13 Trên tập lurp số phức c Cho hàm giá trị thực

d : c X c — ♦ R

sao cho d ( z \ , z 2 ) = \z\ — Z 21 vcVi mọi 21,22 ẽ c

Chứng minh rằng d là một metric (khoảng cách) trên c

(Hướng dẫn: Hàm số d : X X X — ♦ R đưựí' gọi là metric (khoáng

cách) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

i) d(x, y) > Ü nếu X Ỷ y\ d( x , y ) — 0 nếu và chỉ nếu X = y\

ii) d ( x y ) = d ( y , x ) với mọi X, y\

iii) d ( x , z ) < d ( x , y ) + d ( y , z ) với mọi X, y, z )

14 Chứng minh rang

i) Tập hợp t ì ( z o \ r ) = ị z 6 c ị Ịz - zq \ < r} là tập hcrj) I11Ở trong

c (với r là số thực dirơng cho trước).

ii) Tập hựp B( z o\ r ) = [ z G c I \z — 2()ị < r} là tập hợp đóng trong c (với r là số thực dưrrng cho trước).

iii) Biên của tập hạp B ( z o \ r ) là tập hưp

n — ♦ A ( n ) — Zn

Kí hiệu { Zn} %= 1 hay { z n }.

G iớ i h a n c iìa d ã y s ố p h ứ c Số phức Zo gọi là giới hạn ciỉa dảy

số phức {zn } nếu với mỗi e—lân cận V ella Zo đồu tồn tại số no € N sao cho với mọi n € N mà n > ĩiQ thì z n 6 V, nghĩa là

Ve > 0, 3no € N„ Vn G N, n > no => \zn — zq \ < e.

Kí hiệu lim z n = Zị).

n —*oc

Ta còn nói (lảy {2n } liội tụ về ZQ Kí hiệu zn — * Z(),n — + oo.

T ừ tính chất của f-lân cận ta suy ra kết quá sau:

Trong c mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Nếu biểu diễn zn = x n + i yn till định lí sau được khẳng định:

Đ in h lí 1 Dãy { z n } hội tụ về Zo = Xo + iyo khi và chỉ khi dãy

{xn } hội tụ về Xo và dãy {y„} hội tụ về y 0

C h ứ n g m in h Già sử lim zn = 2o = Xo + iyo Ỷ °0

và tồn tại 1 Ì -2 £ N sao cho \yrì — ị/()| < e/2, vnri mọi 77 > ĨĨ 2 - Chọn

no = m a x { n i,n 2} T ừ đó suy ra \zn - ¿0I < \xn - Xol + lỉ/n - ể/ol < ^

với mọi n > 7iy.

Vậy lim zn = 20 = ^0 + ¿2/0

-Ti—»oo

V í d ụ

1) Cho dãy { Zji }, zn = ( ị + ¿r).

Do dãy x n = - hội tụ về 0 và dãy yn — Ỵ,r hội tụ vồ 0 nên dãy { z „ } hội tụ về 0.

2) Cho dày {¿n}, zn = - + in Dãy x n = - hội tụ về 0, nlurng (lũy

yn = 71 không hội tụ Vậy dãy {¿n} không hội tụ.

Đ ịn h lí 2 G iả sử {2,1} và {w n } là hai dãy số phức có giới hạn

lần lượt là ZQ và Wu- Khi đó

1) l i m { z n ± w n ) = Z q ± W(J.

2) lim (zn wn) = zq wq

Bạn đục chứng minh định lí trên như bài tập.

Nếu biểu diễn zn — r 7L( cos Kp-n + isinv?n ) (với mọi z n ^ 0) thì định

lí sau được khảng định:

Đ in h lí 3 Dãy {2,(} hội tụ về 2() = ro(cosi/?o + isin<£>o)) i z0 Ỷ *))

khi và chí khi dãy {r71} hội tụ về ro và dãy {ipn} hội tụ về

C h ứ n g m in h Áp dụng định lí 2 và định nghĩa ciỉa inođun và argument cila số phức.

V í d u Cho dãy z n = (1 + i ^ ) n , trong đó 2/0 là hằng số thực Dãy r„ = |2„| = 1(1 + ụ ạ n = 11 + ạ ạ r = ( / 1 + $ )'■ = (1 +

■ Dãy này hội tụ về 1.

Dãy (Pn = arg zn = arg(l + ^ ) u = n a r g (l + = n a r c tg ^

Khi n lứn ^ ĨS ttí .

ĩ l 0 TI

Do đó khi n lớn ipn ~ Vo Vậy lim = I/O.

n—*oc Suy ra dãy {¿n} hội tụ về Zo = COS 2/0 + zsin 2/0 •

Ta kí hiệu co sy + ¿sin J/ = eịy.

Đảy là công thức Euler m à ta sẽ chứng minh trong chương sau.

1.2 D ã y c ơ b â n (d ã y C a u c h y ).

Đ in h n g h ĩa Dãy {zn } được gọi là cỉãy ca bản (hay còn gọi là dãy Cauclìy) nếu Vf > 0, 3no € yv, V m n G N , m > no và n > no thì

\ z„ - 2(j| < t

Trong tập hợp số thực ta đã biết rằng mọi dãy cơ bản đều hội tụ

và ngưực lại T ừ Địnli lí 1 được khảng định trong phần 1, ta suy ra:

Đ in h lí 4 (Tiêu chuẩn Cauchy) D ãy { z n } là dãy cơ bản khi và

clii khi dãy {2,,} hội tụ.

C h ứ n g m in h Thật vậy, giả sử {Zn} là ciãy cơ bản suy ra dãy

Tương tự như chuỗi số thực, điều kiện rần đ ể chuỗi số phức zn

Từ định nghĩa ta có kết quả sau:

Đ in h lí 6 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

Thật vậy, theo công thức Euler ein = c o sn + 2 SĨII74, và từ đó

5ÍD-™ hộị tụ Trong giải tích thực hai chuỗi này hội tụ theo dấu hiệu

Đ in h n g h ĩa Ta nói trên tập M của mặt phẳng phức cho hàm

vo — f ( z ), nếu với mỗi điểm z e M đặt tương ứng với một số phức

hay nhiều giá trị phức w.

Nếu mỗi trị số z € M tương ứng với một giá trị w thì hàm

w = f ( z ) gọi là hàm đan trị CÒI1 trường hợp mỗi trị số 2 tương ứng

với nhiều giá trị w thì gọi là hàm đa trị M gọi là tập xác định cùa /

Tập hợp gồm tất cả các giá trị w ciỉa f ( z ) lấy trên M gọi là tập

và phần ảo của f ( z ) là v(x, y) = x 2y.

Ve mặt hình học người ta có th ể biểu diễn một hàm số ciỉa biến

số phức như là một phép biến đổi tập lier]) M ciia mặt phảng phức (z) thành tập hợp N cùa m ặt phảng phức (w).

Nếu / đơn trị 1-1 khi đó phép biến đổi này được gọi là đem trị 2 chiều hay còn gọi là đơn diệp.

-Hàm /2 là hàm đcrn trị tuy nhiên ở đây hàm ngược ciỉa nó /2

là hàm đa trị Tại mọi z 0 và z ^ 00 thì hàm /2 có liai giá trị, còn

tại điểm z = ü và z = oc hàm chỉ có một giá trị.

Điểm : = l) và ĩ = X gọi là điểm phân nhánh ciỉa hàm Ị 2 1 •

2 2 G iớ i h a n c ủ a h à m số

Bây giờ ta xét khái niệm cơ bàn cùa giài tích Từ đày trở về sau

ta chỉ xét trường hợp hàm / là hàm đơn trị.

Đ in h n g h ĩa 1 Cho hàin số đơn trị w = Ị ( z ) xác định trong lân

cận ciỉa (1 Ì(MI1 2() có thô’ trừ Z ( ) Số A / oc gọi là giới hạn cứa hàm

số f ( z ) khi z dần về 2o, nếu Vf > 0 3Ổ > 0 sao cho \/z thoâ mãn

0 < |c — 2o| < ố ta có \ f ( z) — A\ < e Kí hiệu lim f ( z ) = A.

Z — ZU

Đ in h n g h ĩa 2 Cho hàm số đơn trị w — f ( z ) xác định trong lán

cạn cùa điểm Zo, cố th ể trừ Zo- Số A Ỷ 3C gọi là giới hạn của hàm số

f ( z ) khi z d ầ n v ề Z() n ế u m o i d ã y { z n } z n t h u ộ c lân c â n Zo, m à z n hội

t ụ về zq thì f ( z n ) hội tụ về A Kí hiệu lim f ( z ) = A.

C h ứ n g m in h Giả sử / có giới hạn là A khi z —> Zo- Khi đó

Vf > 0 3ò' > 0 sao cho 1/ (2) — A\ < e với mọi z thoả điều kiện

Ngược lại, giả sử có (4) Khi đó Ve > 0, 3ổi > 0 và ỏ 2 > 0 sao cho

\ u(d\ y) — a\ < với mọi ( t , y ) thoả điều kiện |(x, y ) — (xo, 2/o)| < ¿1 và

\ v{x, y) - 6| < với mọi (x ,y ) thoả điều kiện l(x y ) - (x0,ì/o)| < Ô 2

-Nốu chọn ỏ' = min(<$i, Ổ2) thì vứi mọi 2 thoả m ãn điồu kiện 1(3:, y) —

(X() ?yo)| < ó t.a c ó

! / ( - ) - A\ < [(u ( x y ) - a )2 + ( f ( x ,y ) - ò)2]1/2 < t.

Vậy lim / ( 2) = 0.

Ta có định nghĩa tương tự cho các trường hợp gi(Vi hạn n ĩa hàm

số khi 2 — ► DC và giới hạn bằng vô cùng.

Đặt z = r(cos<¿? + zsill Iß) = re'^ Xét giới hạn cùa hàm / (2), khi

2 đần đến 0 theo tia Ot liựp với trục thực một góc bằng íp, ta có

Suy ra giứi hạn cùa hàm số / khi z —» 0 không tồn tại.

T ừ định lí trên, tưcmg tự như hàm số biến số thực, ta có cáe tír.h chất sau về giứi hạn cùa hàm số biến số phức:

Đ in h n g h ĩa 1 Cho hàm số f ( z ) xác định trên D c c Hàm số

f ( z ) đư ợc gọi là liên tục tại điểm Zo E D nếu lim * _ i0 f ( z ) = f ( z o )

Hàm số / ( c ) được gọi là liên tục trôn D nếu I1Ó liên tục tại mọi điểm

thuôc D.

1) Hàm số / (2) = u(x, ?/) + y) liên tục tại điểm Zo = Xo + iyo

khi và chỉ khi u ( x , y ) và v(x<y) liên tục tại

(xo,T/o)-‘2) Nếu hàm số f ( z ) liên tục tại 2o thì hàm I f { z) \ cùng liên tục tại

Đ in h lí 4 Tống, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) cda các hàm liẻn tục là một hàm liên tục.

Đ in h n g h ĩa 2 Hàm / (2) được gọi là liên tục đều trên D nếu

Vế > 0, 3Ô > 0 sao cho V2, z' G D mà |2 — z'\ < ổ ta có \ f ( z ) — f ( z ' ) \ < 6.

T ừ tính liên tục đều cứa hàm / suy ra hàm / liên tục Điều ngược lại nói chung không đủng.

C h ứ n g m in h Lấy một dãy bất kì {u;n } w n € / ( A') Khi đó

sẽ tôn tại dãy {2n } Zn € K sao cho w n = f { z n ) Vì tập K compact

nên tồn tai (iãy con {Znfc} c {-Zn } hôi tu Đăt 2o — lim z Uk. khi đó

Đ in h lí 7 Hàm số liên tục trên tập hợp com pact thì bị chặn và

đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất về mođun trên tập hợp này.

C h ứ n g m in h Cho h à m / (2), ta xét hàm 1/ (2)! = \ / [ u( x, y)]2 -h [f(x ,y )] ;

Vì / liên tục nên hai hàm u , v liên tục trên K là tập com pact Suy ra

điều cần chứng minh.

Đ in h lí 8 Hàm số liên tục trên tập họrp com pact thì liên tục đều.

C h ứ n g m in h Cho / là hàm số liên tục trên tập compact K

Giá sứ / không liên tục đều trên K , khi đó ton tại số Co > 0 sao cho

với mọi n G N có zn G K và w n G K sao cho \zn — w n \ < i và

If { z n ) — f ( wn )I > eo- Dãy {2n } có dãy con {2,u.} hội tụ về Zị) € K

Vì Iz nk — IơnfcI < — và z nk hội tụ về 20, nên ta suy ra Wnk hội tụ

về z0.

Như vậy If ( z nk) - f { w nk)I > 60 (*), với mọi k e N Do / ( 2) liên

tục nên chuyển qua giới hạn biểu thức (*) ta có 0 > ỄQ > 0.

D ã y h à m h ộ i tụ đ ề u

Dãy hàm { /71(2)} xác định trên D gọi là hội tụ về hàm f ( z ) trên

ta có

\fn(z) - f ( z ) \ < e.

V í d u Dãy hàm f n( z) — z n hội tụ đều trên hình tròn {|z| <

r; 0 < r < 1}.

H ê q u â Mọi dãy hàm hội tụ đều trên D thì hội tụ trên D.

Điều ngược lại nói chung không đúng.

Mâu thuẫn này chứng tổ hàm / liên tục đều trên K

nếu (lảy { 5 n (-) } hội tụ đều tren D.

ơ trên ta đả xát sự hỏi tụ c iỉa chuỗi hàm nhờ vào day liàni Tuy

nhiên vái 2(J 6 D chuỗi đả cho là một chuỗi số Vì vậy ta củng có t hổ

xét sự hội tụ tại từng điếm ciîa D Iilnr chuỗi số hội tụ.

H ê q u á Mọi chuỗi hàm hội tụ đều trôn D thì hội tụ trên D

C h ú ý Điều ngược lại nói chung không đúng Chẳng hạn xốt

chuỗi hàm z?l trên { z G C | 0 < | z | < l }

7 1 = 1

M ô t s ố đ in h lí v ề c h u ỗ i h à m

Đ in h lí 9 (dấu liiêu Weierstrass) Cho ch u ỗ i hàm ^2 f n ( z ) Nếu

vái mọi n đủ lán và lớn hơn

no-Vậv chuỗi { / „ (2)} hội tụ tuyệt đối và đều trôn D.

Đ in h lí 10 Nến chuỗi hàm f n( z ) hội tụ đều trên D và các

n= 1 hàm / ,1(2) liên tục trên D thì tổng f ( z ) = ^2 fn( z) là hàm liên tục

Mặt khác, do 5 ,,(2) liên tục (tổng của n hàm liên tục) nên 3Ổ > 0 sao

cho Vz e D mà \z — Zo\ < ổ => I SVi ( 2 ) — S n (2o)| < 3’

Thực ra chuỗi (5) luôn luôn có th ể đưa về dạng (6) bằng cách đặt

r¡ = 2 — Z(). Vì vậy ở đây ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi luỹ thừa dạng

(6) là đủ.

Đ ịn h lí A b e l.

a) Nếu chuỗi (6) hội tụ với Zo 7^ 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi

2 thoả mãn điều kiện |z| < |2o| và hội tụ đều trong mọi hình tròn

(ta sẽ chứng minh sau).

Hoặc theo định lí Abel có những chuỗi hội tụ trong một hình tròn nào đó và phản kì bên ngoài I1Ó.

Như vậy vấn đề đặt ra là liệu có tồn tại số R > 0 sao cho chuỗi

^2 cnZn hội tụ khi \z\ < R và phản kì khi \z\ > R hay không?

n=0

Định lí sau đây sẽ trá lời câu hỏi trên.

Đ in h lí 11 (về bán kính hội tụ) Với mọi chuỗi luỷ thừa Yì cnZn

n = 0

luôn luôn tồn tại số R > 0 (có th ể bằng vô cùng) sao cho chuỗi (6) hội

tụ veri mọi 2, Ic I < l ì và phản kì vớ i c, |c| > ỉì. Số / í Ìilnr vậ y <iir< rc

gọi là bán kính hội tụ nĩa chuồi (Ü).

C h ứ n g m in h

Đo i v(Vi c h u ỗ i l u v t h ừ a c h í hộ i t ụ t ạ i ( ỉ i r n i c = 0 d u y n h ấ t , t a (lật

/? = 0 v à c h u ỗ i hội tụ tại m ọ i 2 E c ta (lật / ỉ = X,.

Bảy giờ, giá sử chuỗi ((j) hội tụ tại Z ( ) Ỷ ^ V' 1 pỉiAn ki tại Z \ ^

oc Theo định lí Abel, trên nữa trục thực- (lmrng tồn tại (loạn thắng [ a i,6iỊ với ( 1 \ là điêni hội tụ của chuỗi, còn b \ là d ir 111 pliíln kì rũa

nó Ta chia đoạn [a\.b\] thành hai đoạn bằng nhau và kí liiện [(I 2 *f>¿]

là đoạn Iiià trong đó ( 1'2 là điốm hội tụ và 1)2 là (ìiốni phản kì T iếp

t ụ c cjuá tr ìn h trôn ta th u được* d a y cá c (loạn t h ắ t [cifl 6 n ] có tín h chat

[an+ i,ò Tl+i] c [an ,6n], a n là điểm hội tụ b n là (liốin phản kì và đirờng

kính bu^ ta" —> 0 khi n —♦ oo.

Theo nguyên lí các đoan thắt 3a G n [a7l bn].

71 = 1

Đặt /? = a Ta sẽ chửng minh chuỗi hội tụ tại 2 mà \z\ < R.

Th ật vậy, vì liin a n = a và an < n n+1, nen 3no sao cho \z\ <

trong đó ta (lặt /ỉ = 0 nếu / = -foc và /? = -foc 1KM1 I = 0.

Công thức (7) gọi là công thức* Cauchy-Hadainard.

kéo theo \cnzỉỉ\ < M (chon M > 1 ) Suy ra v/k n l < r^T.u ư V I I I Z { ị I

Vây / = lim v/|c„ I — Ĩ^T’ tríl' vcr' RĨả thiết.