1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

PP Chiều bt hàm số biện luận số nghiệm PT, BPT Vô tỉ

6 760 13
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề PP Chiều bt Hàm Số Biện Luận Số Nghiệm PT, BPT Vô Tỉ
Trường học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành Toán Học
Thể loại Bài giảng
Năm xuất bản 2023
Thành phố Hà Nội
Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 251,5 KB

Các công cụ chuyển đổi và chỉnh sửa cho tài liệu này

Nội dung

www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii Các bài toán về nghiệm của PT, BPT tỉ chứa tham số (Phng phỏp chiu bin thiờn hm s) Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 1 1x x x x m+ + + = . Giải: Xét hàm số 2 2 1 1y x x x x= + + + + Miền xác định D= R . + Đạo hàm + = + + + = + + = + + + > + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 ' 0 (2 1) 1 (2 1) 1 (2 1)(2 1) 0 (vo nghiem) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x + y(0)=1>0 nên hàm số ĐB + Giới hạn + = = + + + = 2 2 2 lim lim 1 1 1 lim 1. x x x x y x x x x y + BBT x - + y + y 1 -1 Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1. Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực 2 1x x m+ = + Giải: - Đặt 1; 0t x t= + . Phơng trình đã cho trở thành: 2t=t 2 -1+m m=-t 2 +2t+1 - Xét hàm số y=-t 2 +2t+1; t0; y=-2t+2 x 0 1 + y + 0 - y 2 1 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii - Theo yêu cầu của bài toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS khi m2. Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm dơng: 2 2 4 5 4x x m x x + = + . Giải: - Đặt 2 2 2 ( ) 4 5; '( ) ; '( ) 0 2 4 5 x t f x x x f x f x x x x = = + = = = + . Xét x>0 ta có BBT: x 0 2 + f(x) - 0 + f(x) 5 + 1 - Khi đó phơng trình đã cho trở thành m=t 2 +t-5 t 2 +t-5-m=0 (1). - Nếu phơng trình (1) có nghiệm t 1 ; t 2 thì t 1 + t 2 =-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t1. - Vậy phơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm t (1; 5) . - Đặt g(t)=t 2 +t-5. Ta đi tìm m để phơng trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t (1; 5) . f(t)=2t+1>0 với mọi t (1; 5) . Ta có BBT sau: t 1 5 g(t) + g(t) 5 -3 Từ BBT suy ra -3<m< 5 là các giá trị cần tìm. Bài 4: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ + = + + . Giải: - Điều kiện -1x1. Đặt 2 2 1 1t x x= + . - Ta có 2 2 2 4 1 1 0; 0 0 2 2 1 2 2; 2 1 x x t t x t x t t x + = = = = = 2 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii - Tập giá trị của t là 0; 2 (t liên tục trên đoạn [-1;1]). Phơng trình đã cho trở thành: 2 2 2 ( 2) 2 (*) 2 t t m t t t m t + + + = + + = + - Xét 2 2 ( ) ;0 2. 2 t t f t t t + + = + Ta có f(t) liên tục trên đoạn 0; 2 . Phơng trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm t thuộc 0; 2 0; 2 0; 2 min ( ) max ( )f t m f t . - Ta có 2 2 0; 2 0; 2 4 '( ) 0, 0; 2 ( ) 0; 2 . ( 2) Suy ra min ( ) ( 2) 2 1;ma x ( ) (0) 1 t t f t t f t NB t f t f f t f = + = = = = . - Vậy 2 1 1.m Bi 5: Tỡm m bt phng trỡnh 3 1mx x m + (1) cú nghim. Gii: t 3; [0; )t x t= + . Bt phng trỡnh tr thnh: 2 2 2 1 ( 3) 1 ( 2) 1 2 t m t t m m t t m t + + + + + + (2) (1)cú nghim (2) cú nghim t0 cú ớt nht 1 im ca THS y= 2 1 2 t t + + vi t0 khụng phớa di ng thng y=m. Xột y= 2 1 2 t t + + vi t0 cú 2 2 2 2 2 ' ( 2) t t y t + = + t 1 3 0 1 3 + + y - 0 + | + 0 - y 3 1 4 + T Bng bin thiờn ta cú m 3 1 4 + . Bi 6: Tỡm m phng trỡnh 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + + = cú nghim. Gii: 3 www.violet.vn/toan_cap3 .Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đặt ( ) 3 6t f x x x= = + + − với [ 3;6]x ∈ − thì 6 3 ' '( ) 2 (6 )(3 ) x x t f x x x − − + = = − + Bảng biến thiên: x -3 3/2 6 +∞ f’(x) ║ + 0 - ║ f(x) | 3 2 | 3 3 Vậy t [3;3 2]∈ . Phương trình (1) trở thành 2 2 9 9 2 2 2 t t t m t m − − = ⇔ − + + = (2). Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t [3;3 2]∈  đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= 2 9 2 2 t t− + + với t [3;3 2]∈ . Ta có y’=-t+1 nên có t 1 3 3 2 y’ + 0 - | - | y 3 9 3 2 2 − Bài 7: Cho bất phương trình 2 1 (4 )(2 ) (18 2 ) 4 x x a x x− + ≥ − + − . Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [-2;4]. Giải: Đặt 2 (4 )(2 ) 2 8; [0;3]t x x x x t= − + = − + + ∈ . Bất phương trình trở thành: 2 2 1 (10 ) 4 10 4 t a t a t t≥ − + ⇔ ≥ − + .(2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm mọi t ∈ [0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS y=t 2 -4t+10 với t ∈ [0;3] y’=2t-4; y’=0t=2 t 0 2 3 y’ | - 0 + | y 10 7 6 Vậy m≥10. 4 www.violet.vn/toan_cap3 .Các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 8: Cho phương trình 4 2 2 2 ( 1)x x x m x+ + = + (1). Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Phương trình đã cho tương đương 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 4 ( 1) 4 2 2 4 2. ( ) 4 (1 ) (1 ) 1 1 x x x x x x x x m m m x x x x + + + + = ⇔ = ⇔ + = + + + + Đặt t= 2 2 1 x x+ ; t ∈ [-1;1]. Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t 2 =4m. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t ∈ [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t 2 +2t với t ∈ [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t ∈ [-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3 1 3 4 4 m⇔ − ≤ ≤ . Bµi 9: Cho PT 1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m + + − − + − = a) Giải pt khi m=2 b) Tìm m pt có nghiệm. HDĐS: ĐK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b = + + − => ≤ ≤ + ≤ + ≤ + 2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t =  = − = <=> => = − =  =  2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 2.m− ≤ ≤ Bµi 10. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm: 2 9 9x x x x m + − = − + + HD: Bình phương : Đặt t= (9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤ KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m = − + + ≤ ≤ − ≤ ≤ d) Bµi 11. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm: 4 4 4 4 4 6x x m x x m + + + + + = HDĐS: Đặt 4 2 4 4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + ≥ + − = 5 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii 44 4 3 ( ) 2 4 2 4 16 loạit PT t x x m m x x = = => + + = <=> = + Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 nghim ; m<19 : pt 2 nghim. Bài 12: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3] )352()3).(21( 2 ++>+ xxmxx HD: Đặt t= )3).(21( xx + Từ miền xác đinh của x suy ra 4 27 ;0t . Biến đổi thành f(t) = t 2 + t > m + 2. Tìm miền giá trị của VT m < -6. Bài 13: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1] 222 )1()1.( +++ xxxxa HD: Đặt t = x 2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1. Bài 14: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm 2 2 1 1x x x x m+ + + + = HD: m 2. Bài 15: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x 4 2 2 3cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m + + HD: Đặt t = cosx BBT 0 m 2. Bài 16: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [- /2; /2] 2 )cos1(2sin22 xmx +=+ 6 . sinh gii Các bài toán về nghiệm của PT, BPT vô tỉ chứa tham số (Phng phỏp chiu bin thiờn hm s) Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 1 1x x x x. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t ∈ [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t 2 +2t với t ∈ [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t ∈ [-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3

Ngày đăng: 01/09/2013, 17:10

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Bảng biến thiên: - PP Chiều bt hàm số biện luận số nghiệm PT, BPT Vô tỉ
Bảng bi ến thiên: (Trang 3)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

🧩 Sản phẩm bạn có thể quan tâm

w