Các dạng toán về khảo sát hàm số biến thiên cực trị

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yax4bx2 có các điểm CĐ, CT tạo thành một c tam giác vuông cân... Tìm tất

Trang 1

Đỗ Minh Tuấn Cỏc dạng toỏn liờn quan đến khảo sỏt hàm số

Dạng 1: Cho hàm số yf x m( , ) cú tập xỏc định D Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trờn D

a b

m f x x a b m f x và     

( ; )( ), ( ; ) min ( )

a b

m f x x a b m f x

Dạng 3: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , )ax3bx2cx d đơn điệu trờn một khoảng 

cú độ dài bằng k cho trước

 Biến đổi x1x2 k thành 2 2

(xx) 4x x k (2)

 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trỡnh (2) thành phương trỡnh theo m

 Giải phương trỡnh, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) cú cực trị

Cỏch giải

 Đối với hàm số: yax3bx2cx d Khi đú, ta cú:  y'3ax22bx c

Hàm số cú cực trị  Hàm số cú CĐ và CT  PT: y'3ax22bx  cú hai nghiệm phõn biệt c 0

 Đối với hàm số:

2

ax bx c y

amx anx bn cm g x y

Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Dạng 5: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) đạt cực trị tại điểm x 0

Cỏch giải

 Hàm số đạt cực trị tại điểm x thỡ: 0 y x'( 0) GPT này ta tỡm được giỏ trị của m 0

 Thử lại cỏc giỏ trị của m vừa tỡm được xem cú thỏa món hay khụng?

 Nếu y B3 hoặc y B4 thỡ vận dụng kiến thức: y x''( 0) 0 x0 là điểm CĐ

y  thỡ kiểm tra bằng cỏch lập bảng biến thiờn

Dạng 6: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) cú cực trị tại hai điểm x , 1 x và cỏc điểm cực 2

trị đú thỏa món một hệ thức (I) nào đú

Cỏch giải

 Tỡm điều kiện của m để hàm số cú cực trị (1)

 Vận dụng định lý Viet, ta cú hệ thức liờn hệ giữa x và 1 x 2

 Biến đổi hệ thức (I) đó cho và vận dụng định lý Viet để tỡm được m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số yf x( )

Cỏch giải

 Đối với hàm số yax3bx2cxd:

 Thực hiện phộp chia đa thức y cho y và viết hàm số dưới dạng: ' yu x y( ) 'MxN

 Gọi A x y và ( ;1 1) B x( 2;y2) là hai điểm cực trị Khi đú: y1Mx1N và y2Mx2N

 Do đú, phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cú dạng: yMxN

 Đối với hàm số

2

ax bx c y

v x

 cú

' 0 0

( ) 0( ) 0

0

( )( )( )

 Tỡm điều kiện của m để hàm số cú cỏc điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta cú hệ thức liờn hệ giữa x và 1 x (2) 2

www.VNMATH.com

Trang 2

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

 A và B nằm về hai phía đối với trục Oyx x1 2 (sử dụng hệ thức (2)) 0

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối

với trục hoành

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x1 và x2 (1)

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 (2)

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2

 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oyy y1 2 (sử dụng hệ thức (2)) 0

Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối

với đường thẳng d Ax: By C  cho trước 0

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 2 A x y ,( ;1 1) B x(2;y2)

 A và B nằm về hai phía đối với d(Ax1By1C Ax)( 2By2C)  kết quả 0

Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm CĐ và CT đối xứng với

nhau qua đường thẳng d Ax: By C  0

Cách giải

 Tính các giá trị y1 và y2 (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: A x y( ;1 1),B x(2;y2)

 A và B đối xứng với nhau qua d AB d

Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm CĐ và CT cách đều đường

thẳng d Ax: By C  0

Cách giải

 Tính các giá trị y1 và y2 (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: A x y( ;1 1),B x(2;y2)

trong đó I là trung điểm của AB

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị A và B thỏa mãn một hệ thức nào đó (VD: ABk AB, ngắn nhất, OA 2OB…)

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: 2 A x y ,( ;1 1) B x(2;y2)

 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m

Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d Ax: By C  sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai 0điểm cực trị của đồ thị hàm số yf x( ) là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm các điểm cực trị A x y và ( ;1 1) B x(2;y2) của ĐTHS yf x( )

 Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C)  A và B nằm về hai phía đối với d 0

Khi đó: MA MB AB Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của AB với đường thẳng d + Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C)0 A và B nằm về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Khi đó: MA MB MA'MBA B' Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của A’B với đường thẳng d

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d Ax: By C  một góc bằng 0 α

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị

Trang 3

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yax4bx2 có các điểm CĐ, CT tạo thành một c

tam giác vuông cân

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS

 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

 Khi đó: ABC vuông cân OA OB  0

 

giá trị của m

Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm

cực trị

Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS

2

ax bx c y

 Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS

 Tìm tọa độ giao điểm (A x A;0) và B(0;y B) của TCX với các trục tọa độ

 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận

 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: y p q

  Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm  kết quả

Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M x(0;y0) đến đường thẳng :AxBy C  là: 0 ( ; ) 0 0

M

Ax By C d

mx n

 



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C yf x( ) tại điểm M x( 0;y0)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: yy x'( 0)(xx0)y0

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C yf x( ) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k

 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm (A x A;y A) và có hệ số góc k  PT :yk x( x A)y A (*)

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( )' ( ) (1)

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )f x x'( )( x A)y A (3)

 Giải phương trình (3) ta được xk (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))

Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C y f x( )

Cách giải

 Giả sử: M x( 0;y0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: yk x( x0)y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: 0 0

'( ) ( ) (1)( ) (2)

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )f x x'( )( x0)y0 (3)

 Khi đó, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết quả

Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C yf x( ) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Cách giải

 Giả sử: M x( 0;y0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: yk x( x0)y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( )' ( 0) 0 (1)

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )f x x'( )( x0)y0 (3)

 Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có 2 nghiệm phân biệt x và 1 x 2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f x'( ) (1 f x' 2)   kết quả 1

Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục hoành

Trang 4

Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị (C1) :y f x m( , ) cắt đồ thị (C2) :yg x( ) tại n điểm phân biệt

Cách giải

 (C cắt 1) (C2) tại n điểm phân biệt  PT: f x m( , )g x( ) có n nghiệm phân biệt

 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa

vào đồ thị …  kết quả

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F x m  ( , ) 0

Cách giải

 Biến đổi phương trình F x m  về dạng: ( )( , ) 0 f x g m( ), trong đó đồ thị yf x( ) đã vẽ đồ thị

 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) :C y f x( ) với đường thẳng

d yg m

 Dựa vào số giao điểm của d với (C)  kết quả

Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng d y: px cắt đồ thị ( ) :q C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt

M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

 có hai nghiệm phân biệt

 PT: Ax2Bx C 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c



 điều kiện của m (*)

 Khi đó, d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt M x y và ( ;1 1) N x( 2;y2) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ

giữa x và 1 x (2 x và 1 x là hai nghiệm của pt (1)) 2

mx n

 



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng d y: px cắt đồ thị ( ) :q C y ax b

 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

 PT: Ax2Bx C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 d

c

 và nằm về cùng một phía với TCĐ

 kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)

Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2cxd cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

 

 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2cxd cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

 

 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 30: Cho họ đường cong (C m) :yf x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên

đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x(0;y0) là điểm cố định của họ (C m) Khi đó ta có: y0f x m( 0, ),mAmB0, m

000

A x B

 Kết luận các điểm cố định mà họ (C m) luôn đi qua

Dạng 31: Cho họ đường cong (C m) :yf x m( , ), với m là tham số Tìm các điểm mà họ đường cong trên không đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x y(0; 0) là điểm mà họ (C m) không đi qua m

 Khi đó phương trình ẩn m: y0 f x m(0, ) vô nghiệm  điều kiện của x và 0 y 0

www.VNMATH.com

Trang 5

 Do đó, đồ thị của hàm số yf x là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của hai phần: ( )

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của hai phần: ( )

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( )u x v x là hợp của hai phần: ( ) ( )

 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền u x( ) 0

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền u x( ) 0 qua trục Ox

nếu x 0nếu x 0

nếu f x  ( ) 0nếu f x  ( ) 0

nếu u x( ) 0nếu u x  ( ) 0

www.VNMATH.com

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f x'( )≥0,∀ ∈ x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f x'( )≤0,∀ ∈ x I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x'( )≥0,∀ ∈ ( '( )x I f x =0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f x'( )≤0,∀ ∈ ( '( )x I f x =0tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f x'( )=0 thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

4 Điều kiện hàm số luôn đồng biến trên một miền xác định

00

●Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx+ : c

♣ Nếu ∆ < thì ( )0 g x luôn cùng dấu với a

♣ Nếu ∆ = thì 0 g x luôn cùng dấu với a (trừ ( )

2

b x a

Trang 6

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính y '

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

00

Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

b) x – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng ( ; )0 a b ∈Dvà x0∈( ; )a b sao cho

{ }

f x >f x ∀ ∈x a b x Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x là điểm cực trị của f thì điểm 0 (x f x0; ( )0 )được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại điểm đó thì 0 f x'( )0 = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo

a) Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua '( ) x thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0

b) Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua '( ) x thì f đạt cực đại tại 0 x 0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x ,0 f x'( )0 = và có đạo 0

hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

a) Nếu f''( )x0 < thì f đạt cực đại tại 0 x 0

b) Nếu f''( )x0 > thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0

4 Quy tắc tìm cực trị

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

• Tìmf x '( )

• Tìm các điểm x (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm i

• Xét dấu f x Nếu '( ) f x đổi dấu khi x đi qua '( ) x thì hàm số đạt cực trị tại i x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

• Tính f x '( )

• Giải phương trình f x'( )= tìm các nghiệm 0 x (i = 1, 2, …) i

• Tính f''( )x và f''( )x (i = 1, 2, …) i

Nếu f''( )x i < thì hàm số đạt cực đại tại 0 x i

Nếu f''( )x i > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x i

III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị ( ) :C1 y=f x( )và (C2) :y=g x( ) Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) ta

giải phương trình: f x( )=g x( ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d a( ≠0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔ Phương trình ax3+bx2+cx+ = có 3 nghiệm phân biệt d 0

⇔ Hàm số y=ax3+bx2+cx+ có cực đại, cực tiểu và d y CÑ.y CT<0

IV TOÁN TIẾP TUYẾN Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) :C y=f x tại điểm ( ) M0(x y0; 0):

• Nếu cho x thì tìm 0 y0=f x( )0 Nếu cho y thì tìm 0 x là nghiệm của phương trình 0 f x( )=y0

• Tính y'=f x'( ) Suy ra y x'( )0 =f x'( )0

• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y−y0=f x'( ).(0 x−x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) :C y=f x( ), biết ∆ có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

• Gọi M0(x y0; 0) là tiếp điểm Tính f x'( )0

•∆ có hệ số góc k⇒f x'( )0 = k (1)

• Giải phương trình (1), tìm được x và tính 0 y0=f x( )0 Từ đó viết phương trình của ∆

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y=kx+m

•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )'( )

• Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của ∆

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:

+ ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k=tanα

+ ∆ song song với đường thẳng d y: =ax + thì k b =a

Trang 7

+ ∆ vuông góc với đường thẳng d y: =ax+b a( ≠0) thì 1

k a

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y=f x( ), biết ∆ đi qua điểm A x y( ;A A)

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

• Gọi M0(x y0; 0) là tiếp điểm Khi đó: y0=f x( ); '0 y0f x'( )0

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M y: −y0=f x'( )(0 x−x0)

•∆ đi qua A x y( ;A A)nên: y A= −y0=f x'( )(0 x A−x0) (2)

• Giải phương trình (2), tìm được x Từ đó viết phương trình của 0 ∆

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A x y( ;A A)và có hệ số góc k y: −y A=k x( −x A)

•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k ) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆

V ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường ( ) :C1 y=f x( )và (C2) :y=g x( ) tiếp xúc nhau là hệ phương

1 Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2

2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆:ax+by+ = c 0

VII ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Đồ thị (C′) của hàm số y= f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y=f x( )

Đồ thị (C′) của hàm số y=f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Trang 8

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6

PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

3

hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó

HT 2. Cho hàm số y=x3+3x2−mx− (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) 4

+-3

-0

x f’(x)

x

f(x)

2

x x

2(2

(

11)

21

x

x x

x

x x

Trang 9

+ m≤ , 0 y′≥ ∀ ∈0, x (1;2) ⇒ m≤ thoả mãn 0

+ m> , 0 y ′= có 3 nghiệm phân biệt: 0 − m, 0, m

+

=+ (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;1)

Giải

2 2

4

m y

−

′=

HT 8. Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng

Trang 10

PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

HT 9. Cho hàm số y=x3+(1 – 2 )m x2+(2 –m x) +m+ (m là tham số) (1) Tìm các giá trị của 2

m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ

HT 10. Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx− , m là tham số Tìm các giá trị của m để các điểm 5

cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Giải

Do hệ số của x3là dương nên khi đó: x CT>x CD

Trang 11

của (C m) đều nằm trên các trục tọa độ

Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị Một điểm cực trị nằm trên trục tung và

hoành

m m

Trang 12

A và B nằm về hai phía của đường tròn khi và chỉ khi: (IA2−R2)(IB2−R2)< 0

HT 19. Cho hàm số y= −x3+3mx2−3m− Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực 1

HT 21. Cho hàm số y=x3−3x2+mx+2 (C m). Tìm m để ( C m) có cực đại và cực tiểu, đồng thời

Giải

Giả sử A x y( ; ),1 1 B x y( 2; 2) là hai điểm cực trị của hàm số (C m),( ,x x1 2 là 2 nghiệm của (1)

Trang 13

HT 23. Cho hàm số y=x3−3x2+mx (1) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các

Trang 14

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2)

Vậy: m = 0

HT 24. Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+9x+m− (1) có đồ thị là (C2 m) Với giá trị nào của m thì

HT 26. Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+9x−m , với m là tham số thực Xác định m để hàm số

đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1−x2≤ 2

Trang 15

HT 27. Cho hàm số y=x3+(1−2 )m x2+(2−m x) +m + , với m là tham số thực Xác định m 2

www.VNMATH.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

Trang 16

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 ⇔y'= có 2 nghiệm phân biệt 0 x x1, 2

Trang 17

HT 35. Cho hàm số y=x3– 3x2+ (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng :2 d y=3x− sao tổng 2

khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

HT 36. Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Khi đó: điểm cực đại (A m−1;2−2 )m và điểm cực tiểu (B m+ − −1; 2 2 )m

có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng

Vậy A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu

Ta có: d A Ox( ; )=m3+3m+m−2 , ( ,d B Oy)=m+2

2110

m m m m

Trang 18

HT 38. Cho hàm số y=x3−3x2−mx+ có đồ thị là (C2 m) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại,

HT 39. Cho hàm số y=x3−3x2−mx+ có đồ thị là (C2 m) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại,

Hàm số có CĐ, CT ⇔y'=3x2−6x−m= có 2 nghiệm phân biệt 0 x x1; 2

⇔ ∆ = +' 9 3m>0⇔m> − (*) 3Gọi hai điểm cực trị là A(x1;y1) (;B x2;y2)

Trang 19

Ta có: y'=3(x2−2mx+m3−1) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình 'y = có hai 0

HT 42. Cho hàm số y=x3– 3mx2+3(m2– 1) –x m3 (Cm) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm

cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định

HT 43. Cho hàm số y=x3+3(m+1)x2+3 (m m+2)x+m3+3m2 Chứng minh rằng với mọi m

hàm số luôn có 2 cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này không phụ thuộc vào vị trí của m

⇒ Điều phải chứng minh

cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ

một tam giác cân

Trang 20

Ta có OADB là hình bình hành nên trung điểm của AB cũng chính là trung điểm của OD

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn

HT 46. Cho hàm số y=f x( )=x4+2(m−2)x2+m2−5m+ (5 C m) Tìm các giá trị của m để đồ

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2−5m+5 ,) B( 2−m;1−m),C(− 2−m;1−m)

⇔AB AC =0⇔(m−2)3= − ⇔1 m= 1 (thoả (*))

thành một tam giác đều

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2−5m+5 ,) B( 2−m;1−m), C(− 2−m;1−m)

HT 48. Cho hàm số y=x4+2mx2+m2+m có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ

Trang 21

HT 49. Cho hàm số y=x4−2mx2+m− có đồ thị (C1 m) Với những giá trị nào của m thì đồ thị

A(0;m−1),B(− m;−m2+m−1 ,) (C m;−m2+m−1)

2

1

.2

4

3 2

HT 50. Cho hàm số y=x4−2mx2+2m+m4 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ

Với điều kiện (*), phương trình y ′= có 3 nghiệm 0 x1= − m x; 2=0;x3= m Hàm số đạt cực trị tại x x x1; ;2 3 Gọi A(0;2m+m4);B( m m; 4−m2+2m C) (; − m m; 4−m2+2m) là 3 điểm cực trị của (Cm)

HT 51. Cho hàm số x4−2mx2+ có đồ thị (2 C m) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị

Trang 22

PHẦN 3: SỰ TƯƠNG GIAO

HT 52. Cho hàm số y=x3−6x2+9x− có đồ thị là (C) Định m để đường thẳng 6( ) :d y=mx−2m− cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt 4

(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt ⇔ PT ( )g x = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0 ⇔m> − 3

HT 53. Cho hàm số y=x3−3m x2 −2m (Cm) Tìm m để (Cm) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt

Trang 23

Khi đó: B x mx( ;1 1+1); ( ;C x mx2 2+1).Vì trung điểm của AC nên x2 =2x1 (1)

Mà x , 1 x là nghiệm của phương trình: 2 2

1 2

3(2)2

HT 55. Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−(m2− (m là tham số) (1) Tìm các giá trị 1)

của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

HT 57. Cho hàm số y=x3−3x2−9x + , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành

cấp số cộng

Giải

HT 58. Cho hàm số y=x3−3mx2+9x− có đồ thị (C7 m), trong đó m là tham số thực Tìm m để

Trang 24

Để x x x lập thành cấp số cộng thì 1; ;2 3 x2=m là nghiệm của phương trình (1)

HT 59. Cho hàm số y=x3−3mx2−mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực Tìm m để

tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

Giải

Giả sử M (x0; y0) ∈(C) ⇒ y0 = 2x03 - 3x02 + 1

Ta có : y'=3x2−6x

y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + 1 (∆ ) đi qua điểm P(0 ; 8) ⇔ 8 = -4x03 + 3x02 + 1

⇔ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = 0

⇔ x0 = -1 ; (4x02 - 7x0 + 7 > 0, ∀ x0) Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm

HT 61. Cho hàm sốy=x3+2mx2+(m+3)x+ có đồ thị là (C4 m) (m là tham số) Cho đường

A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Trang 25

HT 62. Cho hàm số y=x3−3x2+ có đồ thị là (C) Gọi 4 d là đường thẳng đi qua điểm ( 1;0) k A−

2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

HT 63. Cho hàm số y=x3−3x2+ có đồ thị là (C) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C) Viết 2

phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam

giác OAB bằng 2

Giải

• Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng ∆ qua E có dạng y=k x( − 1)

PT hoành độ giao điểm của (C) và ∆: (x−1)(x2−2x− −2 k)= 0

⇔k> − 31

giao điểm của (C m) với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của ( C m) tại A tạo với hai trục tọa độ

Trang 26

Th2: m≠ ⇒1⇒⇒ Hàm số có cực đại và cực tiểu Gọi x , 1 x là các điểm cực trị của hàm số 2

⇒ x , 1 x là các nghiệm của phương trình y’ = 0 2

1

Để hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất ⇔y CD CT.y < 0

b a f

m

m m

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị (C) là:

Trang 27

(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0;0), A, B

HT 69. Cho hàm số y=x3−3mx2+(m−1)x+m+ có đồ thị là (1 C m) Tìm tất cả các giá trị của

Xét phương trình (2); Ta có: ∆ = −(1 3 )m2+8m+ =8 9m2+2m+ > ∀ 9 0, m

⇒ m∀ (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x 1; 2

(1)có 2 nghiệm lớn hơn 1 ⇔1<x1<x2⇔ <0 x1− <1 x2− 1

Kết luận: không có giá trị m

HT 70. Cho hàm số y=x3−3x+ (C) Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm 2

Trang 28

HT 71. Cho hàm số y=4x3−6mx2+ (C), m là tham số Tìm m để đường thẳng :1 d y= − + x 1

cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0;1), B, C với B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

Giải

Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:

So sánh điều kiện ta thấy không có giá trị m thỏa mãn

HT 72. Cho hàm số y=x3+3x2+mx+ (m là tham số) (1) Tìm m để đường thẳng :1 d y= cắt 1

đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1)

tại B và C vuông góc với nhau

Giải

HT 73. Cho hàm số y=x3– 3x+ có đồ thị (C) và đường thẳng (d): 1 y=mx+m+ Tìm m để 3(d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Khi đó: x N,x là các nghiệm của PT: P x2− −x m− = ⇒ 2 0 x N +x P=1;x x N P= − − m 2

HT 74. Cho hàm số y=x3−3x2+ (C) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc 4

k Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau

Giải

• PT đường thẳng (d): y=k x( − 2)+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3−3x2+ =4 k x( − 2)

Trang 29

cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

3

HT 76. Cho hàm số 3

nhất

Giải Cách 1: Ta có: y'=3x2− ⇒ m y'( 1)− = −1 m

Phương tình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = -1 là:

940

Dấu = xảy ra khi m = 2 Khi đó, phương trình tiếp tuyến là x - y + 3 = 0

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = -1 là: y = (3 - m)x + m + 1

⇒ Tiếp tuyến luôn đi qua điểm cố định là M(1;4)

Ta có đường tròn có tâm I(2;3), bán kính R = 2

⇒ IM = 2 < R ⇒ M nằm trong đường tròn Gọi H là hình chiếu của I lên tiếp tuyến Giả sử tiếp tuyến cắt đường tròn theo dây cung AB

tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt

Trang 30

m

m m

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

2

m m

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt

Trang 31

BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52

HT 81. Cho hàm số y=x4– (3m+2)x2+3m cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số Tìm m để đường

m m

HT 82. Cho hàm số y=x4−(m2+2)x2+m2+1 (Cm) Tìm các giá trị của m để ( C m) cắt

Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C m) với trục hồnh phần phía trên trục hồnh là:

BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53

HT 83. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 đồ thị là ( Cm) Tìm m để diện tích hình phẳng giới

trục hồnh

Hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

⇒ ycbt ⇔ Có hai cực trị

Điểm uốn thuộc trục Ox

*y''=6x-6 = 0 <=> x = 1 => y = 6m + 2 => đồ thị hàm số nhận điểm U(1; 6m+2) làm điểm uốn

Điểm uốn thuộc Ox khi yU = 0 <=> 6m+2 = 0 <=> 1

Trang 32

HT 85. Cho hàm số y=x4−2m x2 2+m4+2m (1), với m là tham số Chứng minh đồ thị hàm số

(1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m< 0

⇒ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt ⇒ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm

phân biệt

HT 86. Cho hàm số: y=x4−5x2+4 Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho

tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M

Giải

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M y: =(4m3−10 )(m x−m)+m4−5m2+4 ( )d

m m

306

m m

−

=

12

x y x

−

=

(C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN

Trang 33

Mặt khác: x M+x N = − =2 2x I ⇔ I là trung điểm MN với ∀ < k 0

HT 89. Cho hàm số 2 4

1

x y x

+

=

−

=

x x

Trang 34

Gọi A x x( ;1 1+m B x x), ( ;2 2+m) là tọa độ giao điểm của d và (C)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt

0

m f

Khi đó, tọa độ hai điểm A x mx( 1; 1−m−1 ;) (B x mx2; 2−m− 1)

Với x x là 2 nghiệm của (2) 1, 2

Trang 35

Ta được : min ( )f m =20 tại m= − 1



Vậy d∩( )C tại hai điểm phân biệt với m∀

Gọi các giao điểm lần lượt là : A x( ;1− +x1 m B x), ( ;2 − +x2 m) với x x là các nghiệm của phương 1, 2

⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

+

=

Trang 36

HT 97. Tìm trên (H) : 1

2

x y x

− +

=

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

2

m m

+

=

phân biệt A, B sao cho AOB nhọn

Giải

Trang 37

Hoành độ điểm A, B là nghiệm của phương trình:

1

22

x x

 = −

 =

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

2

x y x

+

=

−

=

Trang 38

+

cho tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang

Giải

Gọi M, N là 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B

Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại hai điểm C, D

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : f x( )=f'( )m(x−m)+f( )m

điểm cố định A và B Từ hai điểm A và B hãy lập phương trình của hai đường thẳng có hệ số

Giải

Gọi ( ; )x y là điểm cố định của đồ thị hàm số 0 0

Vậy đồ thị có hai điểm cố định là: (1; 3), (3;1).A B

m thì đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều

Giải

Trang 39

1

x x

(C) tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho OA OB bằng , 60 Với O là gốc tọa độ 0

Trang 40

Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm M x y( ; ),0 0 M x y1( ; )1 1

Khi đó, phương trình tiếp tuyến là:

HT 109.Cho hàm so> 2 1

1

x y x

2

x x

HT 110.Cho hàm số y=x3+(1−2 )m x2+(2−m x) +m+2 (1) (m là tham số) Tìm tham số

m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+y+7=0 góc α , biết

1

cos

26

y y

00

HT 111.Cho hàm số y= −x3+2x2−x C( ) Tìm tọa độ các điểm trên trục hoành sao cho qua điểm

Giải

Góc của hai tiếp tuyến là 45 , mà 0 y = có hệ số góc là 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến d còn lại có 0

Định dạng
Số trang	87
Dung lượng	6,38 MB