Bất đẳng thức cực trị

Tìm giá tr biểu thức.. Tìm giá trị lớn nhất của... Chứng minh rằng 4 ab bc ca... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x +y +z... Tìm giá trị nhỏ nhấ

Trang 1

T12 001 - Cho x,y là hai số thực thoả m

xy  1

Chứng minh rằng

xy y

x + +  +

2 1

1 1

1

2

T12 003 - Cho x y z  , ,   0;1 Tìm giá tr

biểu thức

T12 005 - Cho a,b,c là các số thực chứng minh rằng

(

4

3

ab bc ca

T12 007 - Cho x,y,z là các số thực không âm chứng minh

x3

+ y3

+ z3

 3xyz

T12 009 - Cho x,y,z không âm chứng minh

x3

+ y3

+ z3

- 3xyz  2 y + z

2 - x

æ èç

ö ø÷

3

T12 011 – Cho a,b,c là các số thực dương th

kiện 0  a £ £ £ b c 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a + b c - a b + c

T12 013 - Chứng minh với mọi số thực x,y c

thực k ta có

k2+ x + k2+ y  k + k2+ x + y

T12 015 – Cho a,b,c là các số thực không âm thoả m

Chứng minh rằng:

3

CHUYÊN Đ

ố thực thoả mãn điều kiện

T12 002 - Cho a,b,c là các số thực không nhỏ h

chứng minh

1+a +1+b +1+c 1+abc

Tìm giá trị lớn nhất của

T12 004 – Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có

1 + x2 ( ) ( 1 + y2)  3 1 (

ố thực chứng minh rằng

)

ab bc ca

T12 006 - Cho x y z , , là các số thực thỏa m

1

x +y +z = Chứng minh rằng:

a) 1

1

- £ + + £ ;

b) ( xy + yz + 2xz )2

-x + y + z

(

ố thực không âm chứng minh T12 008 - Cho x,y,z không âm ch

x3

+ y3

+ z3

3  xyz +

3

4 ( x - y )(

ứng minh T12 010 - Cho x,y,z là các số thực d

ương thỏa mãn điều

P = a + b c - a b + c

T12 012 - Cho x,y,z là các số thực không âm thoả m

điều kiện x  y  z chứng minh rằng a) xy + yz + zx

y2+ yz + z2 

x + z

y + z

b) xy + yz + zx

x2+ xy + y2 

x +

(

x + z

+ x + (

ứng minh với mọi số thực x,y cùng dấu và số T12 014 – Chứng minh rằng với

không âm thỏa mãn x+y1ta luôn có

x + +x + y +y+ £ + x+y + +x y+

ố thực không âm thoả mãn

3

T12 016 - Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng

bằng 1 chứng minh

1+ a2

1 + b2 + 1+ b

2

1+ c2 + 1

1

CHUYÊN ĐỀ T12- BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

ố thực không nhỏ hơn 1

ứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có

1 + x + y ( )2)

ố thực thỏa mãn điều kiện

8

z )2

- xy - yz + 2  -3

Cho x,y,z không âm chứng minh:

y - z

( ) ( z - x )

ố thực dương chứng minh

ố thực không âm thoả mãn ứng minh rằng

+ z ) ( y + z )

+ z ) ( y + z ) + y + z ( )2

ứng minh rằng với x,y là hai số thực

1ta luôn có

x + +x + y +y+ £ + x+y + +x y+

ố thực không âm có tổng

+ c2

+ a2 £ 7

2

Trang 2

T12 017 - Chứng minh với mọi số thực a,b,c ta có

a + b + c + a + b + c  a + b + b + c + c + a

T12 018 - Cho x,y,z là các số thực đôi một không đồng

thời bằng 0 chứng minh

T12 019 - Cho a,b,c là các số thực không âm chứng minh

3 abc3 + a - b + b - c + c - a  a + b + c

T12 020 - Cho x,y,z là các số thực chứng minh

x - y + y - z + z - x  2 x2

+ y2

+ z2

- xy - yz - zx

T12 021 - Chứng minh rằng với mọi a,b dương ta có

a2b2( a2+ b2- 2 )  a + b ( ) ( ab - 1 )

T12 022 - Chứng minh rằng với mọi số thực x,y thoả

mãn điều kiện x + y  -1, xy £ 2 ta có

x3+ y3 -7

T12 023 - Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn

điều kiện ab + bc + ca = 1

Chứng minh rằng

a + b + c + 5abc

3  2

T12 024 - Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện

x, y  -1; x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

x2+ y2+ 4 xy + 1 ( ) +

y2

- 1

z2- 4z + 5

T12 025 - Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh

rằng

0

T12 026 - Cho a,b,c là các số thực thuộc khoảng ( 0;1 )

Chứng minh rằng

a a - b b - c c -  a bc b ca c ab - -

-T12 027 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện a b c + + = 1 Chứng minh rằng:

2 2 2

8a b c  a bc b ca c ab - - -

T12 028 - Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x£y£z Chứng minh rằng

T12 029 - Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều

kiện x  y  z chứng minh

T12 030 - Cho x y z , , là các số thực thuộc đoạn   0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P= x +y +z - x y+y z+z x

T12 031 - Cho a b c  , , 0 thỏa mãn điều kiện

1

a b c + + =

P = a + - + b + - + c + -

T12 032 - Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn

điều kiện a b c + + = 1 Chứng minh rằng

a + b c - + b + c a - + c + a b - 

T12 033 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện a+ + =b c 3 Chứng minh rằng

2 a b + b c + c a + £ 3 3 a + b + c

T12 034 - Cho các số thực a b c , ,  0;1 thỏa mãn

3 2

a b c+ + =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

cos

P = a + b + c

T12 035 - Cho x y , là các số thực không âm

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

x y xy P

-=

T12 036 - Cho a b c  , , 0là các số đôi một khác nhau Chứng minh rằng

4

ab bc ca

Trang 3

Hotline: 0964.946.876 Page3

T12 037- Cho a b c > , , 0 và 1 1 2

a+c=b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

T12 038 - Cho a b c  , ,   0;1 Chứng minh rằng

3

2-a+2-b+2-c abc

T12 039 - Cho a b c  , ,   0;1 Chứng minh rằng

a - b + b - c + c - a £

T12 040 - Cho a b c > , , 0 thỏa mãn a b c + + = 3 Chứng minh rằng

T12 041- Cho các số thực a b c , , thỏa mãn điều kiện

1

a b c + + =

P = a + ab b + + b + bc c + + c + ca a +

T12 042 - Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện

a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh rằng

a3

b + c

( ) + b3

c + a

( ) + c3

a + b

( ) £ 6

T12 043 - Chứng minh với mọi số thực x ta có

cos(sin x) > sin(cos x)

rằng

a)

1

2

b)

điều kiện ab + bc + ca > 0 Chứng minh rằng

b c+  a b c+ +

b c+ + c+a+ a b+ 

rằng

a)

4 3

2

8



b)

T12 047- Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều

kiện xyz = 1

Chứng minh rằng

1 + x3+ y3

xy +

1 + y3+ z3

yz +

1 + z3

+ x3

zx  3 3

T12 048 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng

3

Chứng minh rằng

a b + c ( ) + b c + a ( ) + c a + b ( )  3 2abc

T12 049 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều

a > b;a + b + c = 4

P = 4a + 3b + c

3

a - b

( ) b

T12 050 - Cho a2,a3, , an là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2a3 an= 1

Chứng minh rằng

1+ a2

1+ a3

1+ a ( n)n

> nn

T12 051 - Cho x,y,z là các số thực chứng minh

- 1

8 £

x + y

( ) ( y + z ) ( z + x ) ( 1 - xy ) ( 1 - yz ) ( 1 - zx )

1 + x2

1 + y2

1 + z2

8

T12 052 - Chứng minh rằng

x 12 - y + y 12 - x ( 2) £ 12với x, y là các số thực

để các căn thức có nghĩa

T12 053 - Cho 0 £ x £ 3

0 £ y £ 4

ì í î

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

điều kiện a b c + + = 1

Trang 4

thứcP = 3 - x ( ) ( 4 - y ) ( 2x + 3y ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= a+ b+ c a+ b+ c

T12 055 - Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng

3

T12 056 - Chứng minh rằng với mọi số thực dương a

và b ta có

2a a + b ( )3

+ b 2 a ( 2+ b2) £ 3 a ( 2+ b2)

81abc a2

+ b2

+ c2 ( ) £ a + b + c ( )5

rằng

3

T12 059 - Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có

8

£

T12 060 - Cho a,b,c là các số thực không âm chứng

minh rằng

4

T12 061 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1

chứng minh: a bc b ca c ab 2

3

a +b +abc+b +c +abc+c +a +abc£ abc

T11 064 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn

điều kiện a2

+ b2+ c2= 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3

2

b +c +c +a +a +b 

T12 065 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1

Chứng minh rằng

ab

c + ab +

bc

a + bc +

ca

b + ca £

1

2

T12 066 - Cho a,b,c là các số thực dương

P

+

T12 067 - Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3

chứng minh

a2+ b2+ c

a + b + c2 +

b2+ c2+ a

b + c + a2 +

c2+ a2+ b

c + a + b2  3

P = a b + c ( )

a2

+ bc +

b c + a ( )

b2

+ ca +

c a + b ( )

c2

+ ab

P=a b + +b c + +c a +

điều kiện a b c + + = 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=a b b c+ +c a

T12 071 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện b  a > > c 0

Chứng minh rằng

1 3

c a b ab

c a c ab

2a

b + c

æ èç

ö ø÷

2

c + a

æ èç

ö ø÷

2

a + b

æ èç

ö ø÷

2

T12 073 - Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có:

1

điều kiện a b c + + = 3 Chứng minh rằng

a + b + c  ab bc ca + +

T12 075 - Cho các số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn điều

kiện a2+b2+c2 =1

T12 076 - Cho x,y,a,b,c là các số thực thoả mãn điều

kiện ( x + a )2

+ y + b ( )2

+ x + y ( )2

= c2

ab + bc + ca > 0

Trang 5

Hotline: 0964.946.876 Page5

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

P=a +b +c - abc

Chứng minh rằng: ( a + b )2

£ 3c2

T112 077 - Cho x,y,z,t là các số thực thoả mãn điều kiện

x2

+ y2

= 9

z2

+ t2

= 16

xt + yz = 12

ì

í

ï

î

ï

Chứng minh rằng x + z £ 5

T12 078 - Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

điều kiện 4xy + 2yz - zx = 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x

2

+ 4y2

z2

+ 4 xy +

2

5 z

2

+ 4 xy

x

2

+ y2+ z2= 6

P = x - y ( ) ( y - z ) ( z - x )

x2+ y2+ z2= 2 Chứng minh rằng

x + y + z £ 2 + xyz

T12 081 - Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều

b+c+a =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

T12 082 - Cho các số thực x,y,z

thỏa mãn x+y+z=0và

x +y +z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=x +y +z

2

T12 084 - Cho a,b,c là các số thực dương Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

8 2

P

b c a a b b c c a

T12 085 - Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn

điều kiện x2+ y2+z2=3

x2y2+ y2z2+ z2x2+ 1

+ xy + yz + zx + 1

x + y + z

T12 086 - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

điều kiện ab+bc+ca=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+ + +b c abc

T12 087.Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều

kiện x2+ y2+ z2= 1

P = 6 y + z - x ( ) + 27xyz

T12 088 Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện

2 2 1 2

2

x +y £ z

4 4 4

T12 089 Cho a,b,c là các số thực phân biệt thỏa mãn

1

a+ + =b c và ab bc+ +ca>0

P

T12 090 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn

điều kiện

2 a + b + c = ab bc ca + + + 1 ab bc ca + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P= a +b +c -a b- -b c- - c a-

T12 091 Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện

a +b +c =

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = a b b c c a ab bc ca - - - + +

T12 092.Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện y2

 xz; z2

 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x

x + y +

y

y + z + 2014.

z

z + x

T12 093.Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện x £ z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T12 094 Cho các số thực a,b, c  1

9 thoả mãn điều

Trang 6

P = 2 + 2x

2

x + y

( )2 - 2z 2y + z ( )

y + z

z + x

kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

P

T12 095 Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn

điều kiện x2+y2+z2=2

2

1

P

T12 096 Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn

điều kiện a2

+ b2

+ c2

= 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T12 097 Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn

điều kiện x2+ y2+ z2= 1

Chứng minh rằng

x 1+ yz +

y 1+ zx +

z 1+ xy £ 2

T12 098 Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn

điều kiện x2

+ y2

+ z2

= 2 Chứng minh rằng

x +yz+ + y +zx+ +z +xy+ £

T12 099 Cho các số thực thoả mãn điều kiện

0

x> y>z>

2

8

P

T12 100 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện

2 2 2

a + b + c + ab = a b c + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6

2

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	254,32 KB