1 abc Suy ra: điều phải chứng minh.
Trang 1Bất đẳng thức p.1.2
Chứng minh hệ quả một số BĐT hay gặp trong bài thi
2 a + b ≥ a + b ≥ 4 ab→ dấu " "= xảy ra ⇔ a=b
a b + − ab = a b − ≥ → dpcm
i
2 a + b ≥ a b + ⇔ 2 a + b − a b + = a b − ≥ 0 → dpcm
i
a + b + c ≥ ab bc ca + + → dấu " "= xảy ra ⇔ a=b=c
Đpcm:
0 2
( )2
2
a b
a + b ≥ + → dấu " "= xảy ra ⇔ a=b
Đpcm:
( 2 2)
4 a + b −a −b − ab =4 a−b ≥
3
a b c a b c → dấu " "= xảy ra ⇔ a=b=c
Đpcm:
1
0
a + b + c ≤ a + b + c ; chứng minh bằng cách bình phương 2 vế
Trang 2( 2 2 2) ( )2 3 ( )
3 a + b + c ≥ a + + b c ≥ ab + bc + c a → dấu " "= xảy ra ⇔ a=b=c
( )2 ( 2 2)( 2 2)
ax + by ≤ a + b x + y → dấu " "= xảy ra ⇔ ay=bx (Bđt Bunhiacốpxki)
1 + a + 1 + b ≤ 1 + ab ;với x y ∈, (0;1)
Đpcm:
1
luôn đúng với mọi a,b
1 + a + 1 + b ≤ 1 + ab ;với ab ≤1
Đpcm:
2 2 ab b a 1 ab 2 1 b a a b 2 1 ab b a 1 ab 2 a b 1 2 ab a b
2 1 ab b a 1 ab 2 a b 1 ab
( 1 ab b a )( )2 2 ( a b )2 2 1 ( ab )( 1 ab ) 2 1 ( ab )2 0
( a b ) (2 ab 1 ) 2 1 ( ab ) 1 ab ( 1 ab ) 0
⇔ + − + − + − − ≤
Trang 3( a b ) (2 ab 1 ) 2 ( ab 1 1 ) ab ( 1 ab ) 0
⇔ + − − − + − − ≤
( ab 1 ) ( a b )2 4 ab 0 ( ab 1 )( a b )2 0
( )2
1 0
a b
xy
−
− ≤
dấu " "= xảy ra ⇔
1
ab
=
=
1 + a + 1 + b + 1 + c ≤ 1 + abc ;với 0≤a b c, , ≤1
Đpcm:
1+a +1+b ≤1+ab với ab ≤1
Ta có:
i
1 + a + 1 + b = 1 + a + 1 + b ≤ 1 + a b
i
3
c
+
i
2
1
1 a b 1 c ab 1 a b . c ab . abc
+
Cộng 3 bđt trên theo vế ta được:
2
1 a 1 b 1 c 1 abc 1 a b 1 c ab . 1 a b 1 c ab . 1 abc
Suy ra: điều phải chứng minh
Trang 4( )2
a + b ≥ a + b → dấu " "= xảy ra ⇔ a=b
Đpcm:
2
i
2
4
4
ab
+
Suy ra:
( )2
2 2
Trang 5Một số tính chất cơ bản:
i a b + ≤ a + b →dấu " "= xảy ra ⇔ ab ≥ 0
i a −b ≤ a b−
i
a c b c khi c
a c b c khi c
> ⇔
< <
i
>
⇒ + > +
>
i
0
0
> ≥
⇒ >
> ≥
i a>b≥0⇒a2 >b2
i a > b ⇔ a2 > b2
0
> > ⇒ <
0
< < ⇒ >
i Nếu b > 0 thì:
a < b ⇔ − < b a < b
>
> ⇔
< −
• Với a b c d, , , ∈R Ta luôn có:
+
< ⇒ <
+
+
> ⇒ >
+
i
+
> ⇒ > >
+
Trang 6i a a
a+b >a+ +b c
Fb: https://www.facebook.com/groups/1615542822045734/
Hà Nội, ngày 10/11/2015 All Rights Reserved by Ôn Thi THPT Quốc Gia