Bất đẳng thức, cực trị là một trong những nội dung khó, thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán các cấp, cũng như đề thi vào lớp 10 chuyên. Chuyên đề về bất đẳng thức không thiếu, tuy nhiên để phù hợp với tình hình bồi dưỡng môn toán cho học sinh tại đơn vị hiện nay, vào tháng 10 năm 2013 tôi đã biên soạn lại chuyên đề này nhằm làm tài liệu phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán của nhà trường từ năm học 20162017 về sau:
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán
I Lý do chọn đề tài:
Bất đẳng thức, cực trị là một trong những nội dung khó, thường được ra trong các
đề thi học sinh giỏi toán các cấp, cũng như đề thi vào lớp 10 chuyên Chuyên đề về bất đẳng thức không thiếu, tuy nhiên để phù hợp với tình hình bồi dưỡng môn toán cho học sinh tại đơn vị hiện nay, vào tháng 10 năm 2013 tôi đã biên soạn lại chuyên đề này nhằm làm tài liệu phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán của nhà trường từ năm học 2013-2014 về sau:
II Nội dung đề tài:
1 Tóm tắt lý thuyết cần nhớ:
a Các tính chất của bất đẳng thức:
Tính chất 1: a2 ≥ 0 (∀ ∈a R)
Tính chất 2: a b> ⇔ + > +a c b c (cộng cùng một số vào hai vế)
Tính chất 3: a b> ⇔ − >a b 0 (chuyển vế đổi dấu)
a b ac bc c
> ⇔ > >
> ⇔ < <
Tính chất 5: a b b c> ; > ⇒ >a c (tính bắc cầu)
Tính chất 6: a b a c b d
c d
>
⇒ + > +
>
(cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều)
Tính chất 7: Với các số dương a, b, c, d ta có:
a b ac bd
c d
>
⇒ >
>
(nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều).
Tính chất 8: * Với a, b dương; n là số nguyên dương:
n n
a b> ⇔a >b
* Với hai số a, b bất kỳ; n là số nguyên dương
a b> ⇔ a2n+ 1 >b2n+ 1
(lũy thừa hai vế)
Tính chất 9: a, b là hai số cùng dấu:
a b 1 1
a b
> ⇔ < (nghịch đảo hai vế)
Trang 2b Các bất đẳng thức thường dùng:
- Bất đẳng thức Cô-si: cho n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta có:
1 2 3
n n
n
a a a a n
+ + + + ≥
(đẳng thức khi và chỉ khi a1 =a2 =a3 = = a n)
- Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki:
Cho hai bộ số thực: a a a1 , , , , 2 3 a n và b b b1 , , , , 2 3 b n Ta có:
1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n
a + + + +a a a b + + + +b b b ≥ a b +a b +a b + +a b
(đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho
a =kb a =kb a =kb a =kb ).
c Các phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức:
- Phương pháp biến đổi tương đương
- Xuất phát từ bất đẳng thức đã biết
d Phương pháp để tìm cực trị:
* Để tìm giá trị lớn nhất (max) của một biểu thức Pchứa biến ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: thiết lập một bất đẳng thức: P a≤ với a là một hằng số
- Bước 2: Xem xét điều kiện của biến để P a= Từ đó tìm tìm ra giá trị tương ứng của biến
- Kết luận: max P a= (cùng giá trị tương ứng của biến)
* Để tìm giá trị bé nhất (min) của một biểu thức Pchứa biến ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: thiết lập một bất đẳng thức: P a≥ với a là một hằng số
- Bước 2: Xem xét điều kiện của biến để P a= Từ đó tìm tìm ra giá trị tương ứng của biến
- Kết luận: min P a= (cùng giá trị tương ứng của biến)
2 Hệ thống bài tập:
1 Chứng minh các bất đẳng thức thường dùng sau đây:
a a2 + ≥b2 2ab
b a2 ±ab b+ ≥ 2 0
c a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ +
2 2
2
a b
+ ≥
Trang 3đ a b 2
b a+ ≥ với a, b cùng dấu và a b 2
b a+ ≤ − với a, b trái dấu.
e Với a, b là các số dương thì 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ .
f Với n số dương a a a1 , , , , 2 3 a n ta có:
2
n
a +a +a + ×××+a ≥a a a a
+ + + +
g a b+ ≤ +a b
h a b− ≥ a −b .
(a đến e và g,h biến đổi tương đương, f dùng cô-si hoặc Bunhia-cốp-xki)
2 Cho 0 x y z< ≤ ≤ Chứng minh:y 1 1 1(x z) 1 1 (x z)
+ + + ≤ + +
(Biến đổi tương đương)
3 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có ( )2 ( )
3
ab bc ca+ + ≥ abc a b c+ +
Biến đổi tương đương:
4 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
b c c a a b
+ +
5 Cho: x, y, z là các số dương thỏa mãn :1 1 1 4
x+ + =y x Chứng minh rằng:
1
2x y z+x 2y z+x y 2z ≤
6 Cho x≠ ≠ 0 y Chứng minh rằng x22 y22 4 3 x y
+ + ≥ + ÷
Biến đổi tương đương,
đổi biến
7 Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng:a3 b3 c3 ab bc ca
b + c + a ≥ + +
Giải:
* Cách 1:
Ta có: a2 −ab b+ ≥ 2 ab
Với a, b ta suy ra: (a b a+ ) ( 2 −ab b+ 2)≥ab a b( + ) hay a3 + ≥b3 ab a b( + ) chia hai vế
cho b ta được a3 2 ( )
b a a b
b + ≥ + nên a3 2 2
b a ab
b + ≥ + (1)
Trang 4Tương tự: b3 2 2
c b bc
c + ≥ + (2) và c3 2 2
a c ca
a + ≥ + (3) cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều chứng minh
* cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
2
2
a
ab a
b + ≥ (1); b3 bc 2b2
c + ≥ (2); c3 ca 2c2
a + ≥ (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
Vậy a3 b3 c3 ab bc ca
b + c + a ≥ + +
8 Cho x, y, z là các số dương và x y z+ + = 1 Chứng minh:
14
xy yz xz+ x y z >
9 Cho a và b là hai số dương thỏa mãn a b+ ≥ 2 Chứng minh: 3 3 4 4
a + ≤b a +b Giải:
Ta có: 4 3 ( )2( 2 )
a − − + =a a a− a + + ≥a
Nên (a4 + − −b4 a3 b3)+ − − =(2 a b) (a4 − − + +a3 a 1) (b4 − − + ≥b3 b 1) 0
⇒ + − − ≥ − − ≥ ⇔ + ≥ +
10 Cho các số không âm a; b; c thỏa mãn a b c+ + = 1
Chứng minh: a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki ta có:
a b+ + b c+ + c a+ ≤ a+ b+ c =
11 Cho : a i > 0, i= 1, 2,3 ,n và a1+ + + ×××+a2 a3 a n = 1 Chứng minh:
n n
a
a + a + ×××+ a ≥ n
Giải:
Trang 5Ta có:
a + a + ×××+ a ≥ n ⇒ a + a + ×××+ a ≥ n
Trừ n vào 2 vế ta có 1 2
n n
a
a + a + ×××+ a ≥ n
2
n
+ + ×××+ ≤ × với n nguyên dương (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki)
Ta có: k k( 1 1) k 1 k11 1k k 1 k1 1 1k k1 1 1k
= − − ÷= − + ÷ − ÷
k
= + ÷÷ − − ÷< − − ÷
14 Chứng minh:
9 25 + + ×××+ 2n 1 < 4
+
< + + + ×××+ <
15 < × × ××× 2 4 6 100 10 <
Giải:
a
Ta có: ( )2 2
+
b làm trội
c Áp dụng :với n> 1 1
+
<
+ +
Bài 15: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác Chứng minh:
p a+ p b+ p c ≥
b c c a a b+ + <
Trang 6c 3 b c 3 c a 3 a b 1
− − − ≤
Giải:
* Cách 1:
3
p a + p b+ p c ≥ p a b c= ⇒p p a+ p b+ p c ≥
Trừ 3 vào hai vế ta có:
− + − + − ≥ ⇒ + − ≥
* cách 2:
Đặt x b c a y a c b z a b c= + − ; = + − ; = + − ta có x; y; z; dương và:
2a= +y z ; 2b z x= + ; 2c x y= +
khi đó:
+ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + ÷ + + ÷ + + ÷ ≥
* cách 1:
Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c≥ ≥
1 2
a b c a b a c b c
b c c a a b b c b c b c b c
≥ ≥ ⇒ + ≥ + ≥ + ⇒ + + ≤ + + = + <
* Cách 2:
Dễ chứng minh được rằng với x, y, m dương và x 1
y < thì ta có x x m
y y m
+
<
+ .
Do a 1 ; b 1 ; c 1
b c< c a < a b<
+ + + Áp dụng tính chất trên ta được:
b c <a b c c a <a b c a b <a b c
+ + + + + + + + + cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta
có điều phải chứng minh
3 b c 3 c a 3 a b a b c b c a c a b
M
− − − − − −
= − ÷ − ÷ − ÷=
* Nếu M ≤ 0 thì ta có M < 1
* Xét trường hợp M > 0:
Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c≥ ≥ khi đó ta có:
3a b c− − > 0 ; 3b a c− − = 2b a− + − ≥ + − + − >b c b c a b c 0.
Trang 7Do ở đây M > 0 3c a b− − > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
9
9 2 2 2
− + ÷ − + ÷ − + ÷
− − − ≤ ≤ =
16
2
x
= > − ÷
Giải:
2
+ +
3
x> − ta có 3x+ > 7 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
−
17 Cho x; y là hai số thực thỏa mãn: x> y xy ; = 1 Chứng minh: x2 y2 2 2
x y
+ ≥
−
(Cô-si)
18 Cho A x= 3 2 − x2 Tìm maxA.(Cô-si)
19.Cho x≥ 0; 2 1
A
=
− + Tìm maxA
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 4 số không âm gồm x2 và 3 số 3 1
16 ta được:
2
3
4.
10 3.
16
Trang 8
Đẳng thức xảy ra khi 2 3 1 3 1
x = ⇔ =x
1 max
1
10 3.
16
A=
x x
= + − < < ÷
Giải:
Với điều kiện trên ta có 1 3x− và 2x+ 5 đều dương Áp dụng bất đẳng thức
Bu-nhi-a-côp-ki ta có:
2
+ − + + ÷≥ +
÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷÷
− + ÷ ÷
Đẳng thức xảy ra khi:
x x
−
Lúc đó min 5 2 6
17
A= +
21 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x15 +y15 +z15 = 3
A x= +y +z Tìm maxA
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 15 số dương, gồm 7 số x15 và 8 số 1 ta có:
22 Cho A x3 16 (x 0)
x
+
= > Tìm minA
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 2 8 8 3 3 16
x
+
23 Cho 2 1 ( 0; 0)
a+ b= > >
a 2 1
8
ab ≤
b 2 3 1
27
a b ≤
Trang 9a ab b ab a b ab b ab
a+ b= ⇒ + + + = + + + ⇒ + =
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 1 2 1 2 1
ab b
ab b ≤ + = ⇒ ab ≤ ⇒ab ≤
b Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
.
b ab ab≤ + + ⇒b a ≤ + = ⇒a b ≤
24 Biết 2
A= x − +x
a Tìm minA
b Với − ≤ ≤ 3 x 7 Tìm max và min của A
25 Cho A= − − 3 x x2
a Tìm maxA
b Biết − ≤ ≤ 10 x 5 Tìm maxA và min A
26 Cho ( 2 )2 2
A= x + x + x + x+ Tìm minA (Bình phương đủ)
27 Cho A x= − 2 xy+ 3y− 2 x+ 1 Tìm min A (Bình phương đủ)
28 Cho
2 2
1
A
x x
+ +
=
+ + Tìm max A
Giải:
2
2 2
3
A
x x
x
+ +
+ +
÷
Ta có:
2
2
3
4
x
+ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
÷
÷
Đẳng thức khi 1
2
x= − lúc đó max 29
3
A=
29 cho 3 22 3 2
1
A
x x
+ −
=
+ + Tìm min A
Giải:
2
2 2
3
A
x x
x
+ −
+ +
÷
Trang 10Ta có:
2
2
3
4
x
+ + ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≥ −
÷
÷
Đẳng thức khi 1
2
x= − lúc đó min 11
3
A= −
30 Cho 2 2 1
1
x y
x x
+
= + + tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của y.
(đề ra bình phương đủ, hoặc điểu kiện có nghiệm của phương trình bậc hai)
31 Cho A= x+ + 2 17 −x Tìm max và min A
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki ta có:
x+ + −x ≤ + + −x x + = ⇒ ≤A
A= x − x+ + x − x+ Tìm min A Giải:
A= x − x+ + x − x+ = − + − ≥ − + − =x x x x
Đẳng thức khi (3 −x x) ( − ≥ ⇔ ≤ ≤ 2) 0 2 x 3 Khi đó ta có minA= 1
33 Cho x,y thỏa mãn: x4 +y4 − = 3 xy(1 2 − xy) Tìm Max và Min của tích số xy.
Giải:
Đặt t=xy Ta có x4 +y4 ≥ 2t2 (1), kết hợp với x4 +y4 − = 3 xy(1 2 − xy) (2) ta được:
4
t − ≤t − t ⇔ t − − ≤ ⇔ − ≤ ≤t t
Trường hợp 3
4
t= − xảy ra khi:
2 2
3 4
xy
x y
= −
=
ta có 3; 3
−
;
−
Lúc đó min 3
4
xy= −
Trường hợp t= 1 xảy ra khi: xy2 12
x y
=
=
ta có ( )1; 1 hoặc(− − 1; 1 )
Lúc đó maxxy= 1.
34 Cho a≥ 2 và S a 12
a
= + Tìm min S
Giải:
Trang 113.
S
a
= + + + ≥ + =
Đẳng thưc khi a= 2 lúc đó ta có min 9
4
S =
35 Cho a, b là hai số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )
a ab b P
a b ab
+ +
= +
Giải:
Ta có: P a b ab a b 4 ab 3 ab
+ + +
Do đó 4 3 5
P≥ − = Đẳng thức xảy ra khi a b=
Và khi đó ta có min 5
2
P=
III Kết quả đạt được:
Chuyên đề này đã được sử dụng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi tại đơn vị trong năm học qua và qua khảo sát thấy kiến thức về bất đẳng thức của các em chắc chắn hơn, cơ bản hơn, hạn chế được các sai sót trong chứng minh bất đẳng thức cũng như cải thiện được khả năng giải toán cực trị hơn trước Tổ bộ môn của nhà trường đã có được một tài liệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi theo kịp với các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, thi lớp 10 chuyên hiện nay (Vì chuyên đề về bất đẳng thức cực trị trước đây tổ bộ môn đã có nhưng đã không còn theo kịp các kỳ thi)
Chuyên đề đã được trích in trong tài liệu hệ thống kiến thức THCS môn toán do nhà xuất bản Giáo dục chi nhánh Cần Thơ phát hành tháng 4 năm 2014