PHẦN 7 bất ĐẲNG THỨC – cực TRỊ

Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không?

PHẦN 7 BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ

Bài 1: (910701) Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh: 2 2 2 ( )

ab bc ca a+ + ≤ + + <b c ab bc ca+ +

Bài 2: (910702) Cho các số a b c, , ∈[ ]0;1

Chứng minh rằng: a b+ + − − − 2 c3 ab bc ca≤ 1.

Bài 3: (910703) Chứng minh rằng

1 2

a b

với a b, là các số dương

Bài 4: (910704) Cho các số dương a b c, ,

Chứng minh rằng: 1 a b c 2.

a b b c c a

< + + <

Bài 5 (910705) Cho các số dương a b c, ,

Chứng minh bất đẳng thức: a b b c c a 4 a b c .

Bài 6 (910706) Cho các số dương a ,,b c

Chứng minh bất đẳng thức: a b c 2.

b c + c a + a b >

Bài 7: (910707) Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn a b c+ + = 4.

Chứng minh rằng: 4 3 4 3 4 3

2 2.

a + b + c >

Chứng minh rằng: 3.

x + ≥y

Bài 9: (910709) Cho a b c, , là các số dương không âm thoả mãn : a2 +b2 +c2 = 3.

Chứng minh rằng : 2 2 2 1

2 3 2 3 2 3 2

Bài 10: (910710) Cho tam giác ABC và các trung tuyến A M BN CP, ,

Chứng minh rằng: 3( )

4 A B BC CA+ + <A M BN CP A B BC CA+ + < + +

Bài 11: (910711)

a) Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho A x= 2 + +x 6 là một số chính phương

b) Cho x > 1 và y > 1 Chứng minh rằng : ( ) ( )

8.

≥

Bài 12: (910712) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z+ + = 4.

Chứng minh rằng 1 1 1.

xy +xz ≥

Bài 13: (910713) Chứng minh : a5 + ≥b5 a b3 2 +a b2 3, biết rằng a b+ ≥ 0

Bài 14: (910714) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn: a b+ ≤2 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1.

a b

= +

Bài 15: (910715) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

1

P x= −x y x y+ + − y +

Bài 16: (910716) Cho biểu thức A =2x −2 xy y+ −2 x +3.

Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không? Vì sao?

Bài 17: (910717) Cho x > 0,y > 0 và x y+ ≥ 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3x 2y 6 8.

x y

Bài 18: (910718) Các số thực x , , ,a b c thay đổi, thỏa mãn hệ:

( )

( )

2 2 2 2

x a b c

 + + + =







Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.

Bài 19: (910719) Cho ,x y là hai số thực thoả mãn: ( )2 ( ) 2

x y+ + x y+ +y + = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y= + + 1.

Bài 20: (910720) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4 22 2 2

1

x

Bài 21 (910721) Cho các số thực dương , ,a b c thoả mãn a b c 1

abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a b a c+ ) ( + )

Bài 22: (910722) Cho hai số dương ,x y thỏa mãn điều kiện x y+ = 1.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

A

xy

+

Bài 23: (910723) Cho ,a b là các số dương thoả mãn ab= 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( 2 2) 4

a b

+

Bài 24: (910724) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1

1

y

x x

− , với 0< <x 1.

Bài 25: (910725) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 1 .

y

+ +

=

Bài 26: (910726) Cho ,x y là hai số thỏa mãn đồng thời : x ≥ 0,y≥ 0, 2x + 3y≤ 6. và

2x y+ ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K =x2 − 2x y−

Bài 27: (910727) Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

.

M

xy

+

=

Bài 28: (910728) Cho x > 0,y > 0 thỏa mãn x2 +y2 = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 12xy

xy

−

=

Bài 29: (910729) Cho các số ,x y thỏa mãn x ≥ 0; y ≥ 0 và x y+ = 1.

Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A x= 2 +y2

Bài 30: (910730) Giải phương trình: 2009 1 2010 1 2011 1 3

2009 2010 2011 4

y

Bài 31: (910731) Giải phương trình: 10 x3 + 1 = 3(x2 + 2)

Bài 32: (910732) Cho hai số x y, thỏa mãn đẳng thức:

(x+ x2 + 2011)(y+ y2 + 2011) = 2011 Tính: x y+

Bài 33: (910733) Giải phương trình: x2 − 3 + 2x + x + 3 = x− 2 + x2 +2x − 3

Bài 34: (910734) Giải phương trình: x2 + x + 2010 2010 =

Bài 35: (910735) Tìm x y, thoả mãn 5x − 2 x (2 + +y) y2 + = 1 0.

Bài 36: (910736) Giải phương trình: 1 1 2 2.

2

−

Bài 37 (910737) Tìm nghiệm dương của phương trình : 2 4 9

28

x

x + x = + .

Bài 38: (910738) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 +px q+ = 0 biết p q+ = 198.

Bài 39 (910739) Tìm các giá trị x để 42 3

1

x x

+ + là số nguyên âm.

Bài 40: (910740) Giải phương trình: ( x+8 − x+3) ( x2 + 11 + 24 1x + =) 5

Bài 41: (910741) Giải phương trình: 4 x 1 x+ 2x 5

Bài 42: (910742) Giải phương trình: 3 2 1

3

x +x − = −x

Bài 43: (910743) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn phương trình: (2x + 1)y x= + 1.

Bài 44: (910744) Chứng minh nếu a > 2 thì hệ phương trình: ( )

( )

5

2 2



 + =

nghiệm

Bài 45: (910745) Cho hai phương trình: 2 ( ) 2 ( )

x +a x b+ = x +a x b+ = Cho

Bài 46: (910746) Rút gọn biểu thức: P = ( a− + 1 1) 2 + ( a− − 1 1) 2 với a≥ 1.

3x − 6x + 19 + x − 2x + 26 = −x + x

Bài 48: (910748) Giải hệ phương trình:

4 4

1







Bài 49: (910749) Giải phương trình: 2 ( ) 2

.

x + x+ = x+ x +

Bài 50: (910750) Giải hệ phương trình:

3 3

1 2

1 2

 + =



 + =

Bài 51 (910751) Hai số thực ,x y thoả mãn hệ điều kiện : ( )

( )

2 2 2





Tính giá trị biểu thức P x= 2 +y2

Bài 52: (910752) Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn: b d+ ≠ 0 và ≥ 2

+

ac

b d Chứng minh rằng phương trình (x2 +ax b x+ ) ( 2 + +cx d) = 0 (x là ẩn) luôn có nghiệm

Bài 53: (910753) Không dùng máy tính cầm tay , tìm số nguyên lớn nhất không vượt

quá S, trong đó ( )6

S