Lời Mở: Trong quá trình tìm hiểu về phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác” tôi xin viết nên bài viết nhỏ này!. Trong bài viết là một số bài toán và lời giải tham khảo.. Trong quá trình
Trang 1Bài Viết Tốn Học
Bất Đẳng Thức
&
Cực Trị Lượng Giác
Duc_Huyen1604
Trang 2Lời Mở:
Trong quá trình tìm hiểu về phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác” tôi xin viết nên bài viết nhỏ này! Trong bài viết là một số bài toán và lời giải tham khảo Trong quá trình viết không thể không gặp sai sót Mong bạn đọc cho ý kiến đóng góp!
Bài Toán 1: Cho ABC, tìm GTLN của
3 sin sin
2 2 5
sin 2
P
C
Giải:
Áp dụng BĐT BCS ta có:
5 1
1
sin
sin
sin
5
sin 2
C C
Suy ra:
1 1
Trang 3Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có :
1 sin sin
1
1 sin 1 sin 2 sin
2
3
C C C
Từ đó ta suy ra: 1 2 3
10 3 3 45
Dấu « = » xảy ra khi
1
sin 2 3
2 3
1 sin 2 sin
C
A B
C
45
P
Bài Toán 2: Cho A, B,C là ba góc của một tam giác.Chứng minh rằng :
Giải :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
A B B B A A
B A
A B A B
B A
Tương tự ta có:
B C B C
C B
C A C A
A C
Trang 4Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta suy ra được :
tan sin sin tan sin sin tan sin sin
Ta có biến đổi sau:
cos 2
cos 2
B C
A
Tương tự :
2
2
B C C
A B A B
Do đó từ (*) ta có được :
2
2 2 2
2 2
A B B C C A
A B C
A B C A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
Ta sẽ đi chứng minh :
2
2
A B C
Dấu « = » xảy ra khi A B C ABC đều
Vậy ta có điều phải chứng minh
Trang 5Bài Toán 3: Cho ABCkhông có góc tù và mỗi góc không nhỏ hơn
4
Chứng minh rằng : P cotAcotB cotC 3 cot cotBcosCA 4 2 2
Giải :
Ta có:
cot cot cot 3 cotA cot cot cot cot cot cotA cot cot cotC cot cot cot 3 cotA 1 cot cot cot
4 cotA 1 3 cot cot cot
Vì
3
nên
2
A
Vì ABCkhông có góc tù nên: , cot cot 2 cot 2 tan
Kết hợp với các đánh giá trên suy ra được:
A t t t t
Xét hàm số :
4 2
( )
2
f t
t
2 1;
3
, ta có:
2 2
t
t
Vậy suy ra ( )f t luôn nghịch biến trên 2 1; 1
3
Do đó : f t( ) f( 2 1) 4 2 2 Hay suy ra được P 4 2 2
Dấu “=” xảy ra khi , B C 3
Vậy ta có điều phải chứng minh!
Trang 6Bài Toán 4: Cho số nguyên dương n và số thực x Chứng minh rằng:
2
Giải:
-Khi n 1:
cos
2
cos cos 2
2
* Nếu cos 1
2
x thì
cos cos2 cos 2 cos 1 cos 1 2 cos 1 cos 1 2 cos 1
2
Vậy (*) đúng với n 1
Giả sử (*) đúng với n k 1.Khi đó:
cos cos 2 cos 2
2
Ta đi chứng minh (*) đúng với n k 1 Hay đi chứng minh:
1 1 cos cos 2 cos 2 cos 2
2
Thật vậy, áp dụng giả thiết quy nạp ta có:
cos
2
cos cos 2 cos 2 cos 2
*Nếu cos 1
2
x thì
1 1
k
x x x x
k k
x x x x
Vậy (*) đúng với n k 1.Hay suy ra được (*) đúng với mọi số nguyên dương n
Trang 7Bài Toán 5: Cho ABC, tìm GTNN của biểu thức:
5 5 5
3 3 3
P
Giải:
Ta luôn có: tan tan tan tan tan tan 1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
5 5 5 5 5 4
5 5 5 5 5 4
5 5 5 5 5 3
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
11tan 2 tan tan 5 tan tan tan tan tan tan tan
Tương tự:
Cộng vế theo vế (4), (5) và (6) suy ra được:
5 5 5
3 3 3
3
A B C A B C
A B C
A B C