Dự kiến dấu = xảy ra để tìm hướng giải bài tập về bất đẳng thức, cực trị nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS TT bến sung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁPHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG XẢY RA Ở BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ NHẰM NÂNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG XẢY RA Ở BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở

TRƯỜNG THCS.

Người thực hiện: Vũ Chí Cường Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thị trấn Bến Sung SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang

B NỘI DUNG

A MỞ ĐẦU

I- Lí do chọn đề tài

Không phải ngẫu nhiên mà bài toán về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lại thu hút được nhiều sự quan tâm của đông đảo giáo viên và học sinh trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học… Có lẽ bởi đó là bài toán khó nhất trong để thi, quyết định đến điểm số cao của bài thi Nhưng với phần đông người đam mê môn Toán còn thấy trong nó một vẻ đẹp, vẻ đẹp Toán học

Đối với học sinh THCS chỉ mới được tiếp cận với bất đẳng thức một cách

sơ lược như định nghĩa, một số phép biến đổi tương đương và một số kỹ thuật chứng minh đơn giản Hơn nữa, các tài liệu viết về bất đẳng thức dành cho học sinh THCS đang còn rất ít và rất khó để học sinh có thể tự học từ các tài liệu này

Và như đã nói ở trên thì các bài toán bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kỳ thi thường rất khó vì đây là bài toán dùng để phân loại học sinh Để giải các bài toán này phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường phải có tư duy trừu tượng cao…

Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển… Một điều quan trọng mà nhiều học sinh không để ý đó là điều kiện dấu bằng xảy

ra Vì vậy, mà dẫn đến những sai lầm trong khi giải những bài toán đó

Để giúp học sinh có cách nhìn khác hơn và đặc biệt là giúp các em không lúng túng trong cách tiếp cận bài toán thì bản thân đã mạnh dạn viết sáng kiến này

với tên gọi “ Dự đoán dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức Cauchy để tìm lời giải

bài toán về bất đẳng thức và cực trị nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THCS”

II- Mục đích nghiên cứu:

- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy-học toán

- Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và giải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

III- Đối tượng nghiên cứu:

Xây dựng phương pháp tìm tòi lời giải bài toán về bất đẳng thức, cực trị liên quan đến bất đẳng thức Cauchy từ việc dự đoán dấu bằng xảy ra

IV- Phương pháp nghiên cứu:

B NỘI DUNG I- Cơ sở lý luận

1 Cơ sở về quan điểm, chủ trương.

Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào

tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng

hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để

người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:

+ Môn Toán là môn học công cụ.

+ Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và tư duy BĐT nói riêng

là góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới

2 Cơ sở Toán học

Tổng quát: Bất đẳng thức Cauchy(AM-GM)

Với a ,a ,a a là n số thực không âm, ta có:1 2 3 n

1 2 3

a + a + a

a a a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = a = = a 1 2 n

- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: a + b ab

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

- Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: a + b + c 3

abc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

* Một số hệ quả và bất đẳng thức đơn giản hay dùng:

- Với a > 0,b > 0 ta có: 1 1+ 4

a b≥ a + b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a = b

- Với a > 0,b > 0 ta có: 1 1 1+ + 9

a b c a + b + c≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

II- Thực trạng của vấn đề

Bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN là một bài toán thường gặp trong kỳ thi Học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 THPT Để giải các bài toán này, học sinh phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường chỉ những học sinh giỏi mới có thể thực hiện được

Đối với tỉnh Thanh Hóa chúng ta thì câu số 5 của đề thi vào lớp 10 thường

là một câu BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN và số học sinh giải được câu này thường không nhiều

Các tài liệu tham khảo môn Toán hiện nay cũng đề cập rất nhiều đến việc

sử dụng hàm số để chứng minh BĐT và tìm GTLN, GTNN nhưng các tài liệu này là dùng cho bậc THPT vì ở đây phải dùng công cụ đạo hàm Chủ quan mà nói, chưa có tài liệu dành cho THCS đề cập đến phương pháp này

Từ thực trạng trên dẫn đến:

- Học sinh thường ngại học về BĐT và tìm GTLN, GTNN Các em hay gặp thất bại khi giải các bài toán dạng này nên thường mất niềm tin và bỏ qua bài toán này khi đi thi

- Vì bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó (khó dạy, khó học) nên đa số giáo viên không chú trọng dạy cho học sinh, thậm chí khi ôn thi học sinh giỏi, nhiều giáo viên cũng ít chú ý dạy phần này (vì cho rằng có dạy thì khi đi thi học sinh cũng không làm được)

Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã chủ động ra đề khảo sát chất lượng với 30 học sinh lớp 9 với hai bài tập sau:

Bài toán 1 Cho các số dương x, y Chứng minh rằng: x+ y 2

Bài toán 2 Cho x 2≥ , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 1

x Kết quả được thống kê lại như sau:

+ Không có học sinh nào làm đúng cả hai bài

+ Không học sinh nào làm được bài toán 2

+ 7 học sinh làm đúng bài toán 1

+ 10 học sinh có hướng làm bài toán 1 nhưng trình bày chưa được

+ 13 học sinh không làm được

Đánh giá thực trạng: Qua kết quả trên cho thấy có đến gần một nửa lớp không làm được Số lượng làm được bài 1 ít và không có em nào làm được bài

2 Điều này rất đáng báo động, vì các em chuẩn bị thi vào lớp 10

III- Giải pháp và tổ chức thực hiện

Xin được bắt bầu nội dung này với bài toán của đề bài khảo sát thực trạng:

Bài toán 1 Cho các số dương x, y Chứng minh rằng: x+ y 2

Bài toán 2 Cho x 2≥ , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 1

x Với hai bài toán, hầu hết các em nhận ra được biểu thức chứa biến là tổng của nghịch đảo nên đưa ra phương án làm rất nhanh Cụ thể:

Bài toán 1: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có:

Bài toán 2: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 2

* Phân tích kết quả:

Ta thấy rằng, ở bài toán 1 dấu “=” xảy ra khi x = y x = y

thấy hoàn toàn chính xác Nhưng ở bài toán 2, dấu “=” xảy ra khi x = 1 x = 1

, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy lời giải trên là sai!

* Nguyên nhân sai lầm: Chính là việc các em có thói quen vận dụng

ngay bất đẳng thức quen thuộc mà không để ý đến điều kiện về dấu “=” có xảy

ra hay không?

Để khắc phục sai lầm này, chúng ta cùng phân tích và tìm tòi lời giải bài toán trên

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

- Ta dễ dàng nhận thấy rằng: Giá trị x càng tăng thì 1

x càng giảm, nhưng

độ tăng của x lớn hơn độ giảm của 1

x , nên khi x tăng thì

1

A = x +

x cũng tăng

Từ đó, ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2

- Từ dự đoán trên, ta thấy không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số x và 1

x được, vì giá trị tại dấu “=” xảy ra của hai số đó là khác nhau 1

2

2

  Đến đây ta sẽ đề xuất phương án dùng bất đẳng thức Cauchy cho

1

x và x

m để được kết quả “không nhỏ hơn” Ta xác định m sao cho

=

x m, với x = 2 hay m = 4 Khi đó, ta có lời giải đúng như sau:

Ta có: A = x + 1 = x +3 x + 1

Vì theo bất đẳng thức Cauchy thì x + 1 2 x 1 = 1

Qua bài toán trên, ta thấy rằng việc dự đoán dấu “=” xảy ra là một ý tứ hay trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức và bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Nó giúp cho các em học sinh dễ tiếp cận và tìm tòi được hướng giải quyết bài toán

Sau đây, chúng ta cùng nghiên cứu thêm một số ví dụ sau:

Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:

a b c a + b + c

b + c c + a a + b ≥ 2

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Nhận thấy, trong bất đẳng thức trên vai trò của các số a, b, c là như nhau

Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Kết hợp với đặc điểm của bài toán, ta đề xuất phương án sử dụng bất đẳng thức Cauchy với

2

a

b + cvà

b + c

m Với dự kiến dấu “=” xảy ra là a = b = c và để đảm bảo

2

b + c = m , ta dễ dàng xác định được m = 4

Tương tự thì

2

b

2

c

Từ đó suy ra:

a b c a + b b + c c + a a + b + c

Vậy,

a b c a + b + c

b + c c + a a + b≥ 2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 và x + y = 1, ta có:

2 1 2 1

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Ta cũng nhận thấy, vai trò x và y là như nhau, dự đoán dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

2 Thử lại thấy thỏa mãn.

Mặt khác, trong bất đẳng thức có x + y và xy ở mẫu của phân thức, kết2 2 hợp với điểu kiện có x + y = 1 Điều này gợi ý cho ta sử dụng “kĩ thuật cộng mẫu” để đảm bảo dấu “=” xảy ra thì ta chọn x + y và 2xy 2 2

Và phương án sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4xy và m

xy, với 1

x = y =

2 ta xác định được

1

m =

4 Khi đó phần còn lại của vế trái là 1

4xy, ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy

4xy≥ (x + y) Kiểm tra lại hệ thống điều kiện dấu “=”, ta thấy thỏa mãn

* Sơ lược lời giải:

a b a + b≥ , ta được:

x + y 2xy (x + y)≥

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

1 1

2

= 1 4xy (x + y)≥

+ + 4xy 4 + 2 +1 = 7

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

2

Ví dụ 3 Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Trong bất đẳng thức trên vai trò của các số a,b,c là như nhau Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Để ý,

Cauchy thì ta dễ dàng có được vế phải và vẫn đảm bảo dấu “=” xảy ra

* Sơ lược lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: a22 +b22 2 a b22 22 = 2a

Tương tự:

Suy ra:

Hay:

Ví dụ 4 Cho 0 < x 1

2

≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 12

x

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Khi tiếp cận bài toán này, học sinh rất dễ nhầm lẫn linh hoạt tách số hạng 2x và vận dụng bất đẳng thức Cauchy, như sau:

2 2 2

Nhưng khi ta kiểm tra điều kiện về dấu “=” thì x = 1, không thỏa mãn

Thế ở bài toán này, ta nhận thấy khi x càng tăng mà 0 < x 1

2

≤ thì P càng

nhỏ Từ đó mà ta dự đoán là x = 1

2 thì P nhận giá trị nhỏ nhất.

* Sơ lược lời giải:

3 7

2 2

⇒ ≥

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất la 5 tại x = 1

2

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c 3

2

≤ Tìm giá trị nhỏ

nhất của M = a + b + c + + +1 1 1

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải ở bài này, đó là việc các em phát hiện ra các số hạng nghịch đảo và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số, tức là

6

Vậy, giá trị nhỏ nhất của M là 6

Nhưng cũng như bài ở trên, chính ra việc không đảm bảo điều kiện dấu

“=” Vì a = b = c = 1 thì không thỏa mãn a + b + c 3

2

Cùng nhìn lại biểu thức thì ta thấy trong M vai trò của a, b, c là như nhau nên ta dự đoán M đạt giá trị nhỏ nhất tại a = b = c = 1

2 Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án như sau:

* Sơ lược lời giải:

Ta có M = a + b + c + + + = 4a + 4b + 4c + + +1 1 1 1 1 1 - 3 a + b + c( )

( )

M 6 4a.4b.4c - 3 a + b + c

a b c

3 15

M 12 - 3 =

Vậy, M đạt giá trị nhỏ nhất là 15

2 tại

1

a = b = c =

2.

Ví dụ 6 Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của M = a + b + b + c + c + a 3 3 3

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải ở bài này, đó là:

( )

a + b = (a + b).1.1

3

b + c = (b + c).1.1

3

≤

( )

c + a = (c + a).1.1

3

≤

Suy ra giá trị lớn nhất của M là 8

3 Nhưng cũng như bài ở trên, chính ra việc không đảm bảo điều kiện dấu “=”

Vì

a + b = 1

b + c = 1

c + a = 1







Trong biểu thức M vai trò của a, b, c là như nhau nên ta dự đoán M đạt

giá trị lớn nhất tại a = b = c =1

3 Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương

án như sau:

* Sơ lược lời giải:

( ) ( ) ( )

2 2

a + b + +

2 2

b + c + +

2 2

c + a + +

≤

≤

≤

≤

Vậy, M đạt giá trị lớn nhất là 318 tại a = b = c =1

3.

Ví dụ 7 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 12 Tìm giá trị 2 2 2

lớn nhất của biểu thức P = a b + c + b c + a + c a + b 3 2 2 3 2 2 3 2 2

* Phân tích và tìm tòi lời giải:

Trong biểu thức P vai trò của a, b, c là như nhau nên ta dự đoán P đạt giá trị lớn nhất tại điều kiện

a = b = c = 2 Þ



⇔



Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án như sau:

* Sơ lược lời giải:

Tương tự ta có:

2 2

≤

2 2

≤

≤ Vậy, P đạt giá trị lớn nhất là 12 tại a = b = c = 2

Hệ thống bài tập tương tự:

Bài 1 Cho a,b,c là các số dương Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

b)

Bài 2 Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b 1≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 3 Cho a, b là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của M =a + b + ab

a + b ab

Bài 4 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ2 2 2

nhất của P = a + b + c + 1

abc

Bài 5 Cho a, b, c,d là các số dương thỏa mãn a + b + c + d = 1 Tìm giá trị lớn

nhất của Q = 2a + b + 2b + c + 2c + d + 2d + a 3 3 3 3

IV- Kiểm nghiệm

Qua quá trình ôn tập cho HS lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã mạnh dạn đưa đề tài này áp dụng vào việc giảng dạy Tôi thấy học sinh rất say

mê giải bài tập với các dạng trên

Các em đã tự tin hơn trong việc tiếp cận và xây dựng hướng làm bài Với mức độ bài toán vừa phải các em đã hoàn thành tương đối tốt Thậm chí có một vài em có năng lực đã tìm hiểu và giải quyết được những bài khó hơn từ phương pháp này

Sau khi triển khai chuyên đề, bản thân cùng với một số đồng nghiệp khảo sát lại cũng bằng hai bài toán vể bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất thì thu được kết quả hết sức khả quan có 13 học sinh làm được cả bài 1, có 10 học sinh làm được cả hai bài và số còn lại đều đã định hướng được cách làm

Tuy nhiên, đối với dạng bài tập này, chỉ có hiệu quả với HS khá, giỏi, ít hiệu quả với HS yếu kém và trung bình

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I- Kết luận

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra cách giải hợp

lí, ngắn gọn, sáng tạo và độc đáo là điều bất giáo viên nào cũng mong học sinh của mình có được

Đây là một chuyên đề khá vừa sức với các em học sinh có năng lực về môn Toán và việc các em lĩnh hội cũng không gặp nhiều khó khăn Điều khó khăn khi triển khai chuyên đề này chính là thời lượng của nội dung bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS là không nhiều và khó Thường thì nội dung này chỉ ở tài liệu nâng cao và chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi

II- Kiến nghị

Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:

- Mỗi GV cần xây dựng cho mình một hệ thống câu hỏi, bài tập riêng, cùng với đó là việc rèn luyện về kỹ năng sáng tạo bài toán mới

- Mỗi GV nên tích cực tổ chức dạy học dưới dạng chuyên đề, chủ đề, để

HS có cái nhìn tổng quát hơn về kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán

Qua thực tế cho thấy học sinh ở nhà trường gặp rất nhiều khó khăn ở nội dung này Vì vậy, giáo viên cần hệ thống bài tập và lựa chọn phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kĩ năng giải toán Có như vậy dần dần các em mới tự tin và yêu thích môn Toán nói chung và về Bất đẳng thức nói riêng Từ đó sẽ tạo cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu

Tuy nhiên, nội dung của chuyên đề này khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn, bản thân cũng chỉ đưa ra được một số ví dụ, bài tập điển hình

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn và đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Như Thanh, ngày 25 tháng 3 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Vũ Chí Cường