Bất đẳng thức Bunhiaxcopky.
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khái niệm:
2. Tính chất:
1) A > B và B > C Þ A > C
2) A > B Û A + C > B + C.
3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0.
4) A > B, C > D Û A + C > B + D.
5) A > B > 0 và C > D > 0 Þ A.C > B.D
6) A > B > 0 và n Î N * Þ A n > B n .
7) A > B > 0 và n Î N Þ n A > n B
A < B nếu AB > 0. Hoặc:
1 1
A > B nếu AB < 0.
3. Chứng minh bất đẳng thức
Xét hiệu hai vế: a > b Û a – b > 0
Biết đổi tương đương bất đẳng thức phải chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy từ bất đẳng thức đã biết là đúng đến bất đẳng thức
B BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi)
HD: (1) Û a + b – ab = ( a- b) 2 ³ (đúng).0
Bài 2: Chứng minh: (a + b) 2 ≥ 4ab.
HD: Biến đổi đưa về (a – b) 2 ≥ 0.
Bài 3: Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ 2ab.
HD: Xét hiệu, đưa về (a – b) 2 ≥ 0.
Bài 4: Chứng minh: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky).
HD: Biến đổi hiệu (ac + bd) 2 – (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) thành (ay – bx) 2 .
Bài 5: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
HD: Biến đổi hiệu a 2 + b 2 + c 2 – (ab + bc + ca) thành (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2
Bài 6: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d.
HD: Biến đổi a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 – a + b + c + d thành:
- + - + - + -
è ø è ø è ø è ø
Bài 7: Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ a(b + c + d + e)
HD: Biến dổi về dạng:
æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷ æ ö ÷
ç - ÷ +ç - ÷ + -ç ÷ +ç - ÷ ³
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 )
HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx) 2 + (az – cx) 2 + (bz – cy) 2 ≥ 0
Bài 9: Chứng minh a 4 + b 4 ≥ ab 3 + a 3 b "a, b ≥ 0.
HD: Biến đổi, phân tích thành: (a – b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) =
2 2
- êç ç + ÷ ÷ + ú ³ "
. Bài 10: Chứng minh:
3
3 3
a b a b
æ ö + ³ ç ç + ÷ ÷
÷
ç
è ø
Bài 11: Chứng minh:
2
2 2
a b a b
+ æ + ö
³ ç ÷
è ø .
Trang 22 2 2
a b c a b c
+ + æ + + ö
³ ç ÷
HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 ≥ 0.
Bài 13: Chứng minh: x y 4
+
³ + "x, y > 0.
HD: Biến đổi về (x + y) 2 ≥ 4xy Þ tương tự bài 2.
Bài 14:Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005+ 2007 và B = 2 2006
HD: Chứng minh A 2 ≥ B 2 Þ đpcm.
Bài 15: Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ a + b 1
2
-
HD: Biến đổi đưa về
æ ö÷ æ ö ÷
ç - ÷ +ç - ÷ ³
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 16: Chứng minh:
2
2
2
+ +
£ + HD: Quy đồng: 2a 2 + 2a + 2 ≤ 3a 2 + 3 Û (a – 1) 2 .
Bài 17: Chứng minh: a) a 1 2, a 0
a
+ ³ " > b) a 1 2, a 0
a + £ - " < HD: a) Vì a > 0 nên: a 2 – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1) 2 ≥ 0. b) Vì a < 0: a 2 + 2a + 1 ≥ 0 Û (a + 1) 2 ≥ 0. Bài 18: Chứng minh: a) Nếu ab > 0 thì: a b 2
a b
2
b+a £ - .
HD: a) Từ (a – b) 2 ≥ 0 Û a 2 + b 2 ≥ 2ab. Chia cả hai vế của a 2 + b 2 ≥ 2ab cho ab > 0 Þ đpcm. b) Chia cả hai vế của a 2 + b 2 ≥ –2ab cho ab < 0 Þ đpcm
Bài 19: Cho x ≥ y, a ≥ b. Chứng minh: ax by a b x. y
³
Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: a b c 2 1 1 1
ç + + ³ ç ç è + + ÷ ÷ ø . HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) 2 ≥ 0 (đúng).
Bài 21: Cho ab ≥ 1. Chứng minh: 1 2 1 2 2
1 ab
1 a +1 b ³
+
HD: (*) Û
2 2
2 2 2 2
³ +
2 (1 – ab) ≤ 0 (đúng).
Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Chứng minh:
2 2
2 2
ç + + ³ ç ç ç + ÷ ÷ ÷
y+ = ( | t | ≥ 2 ). Bất đẳng thức viết lại: t x 2
– 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2. Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a.
HD: BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3) 2 + 6 > 0, "a
Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x.
Bài 25: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a 3 + b 3 ≥ ab(a + b).
HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y) 2 ≥ 0
Trang 3CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) 2x 2 + 3x + 1. b) x 2 – 2x + 5. c) 4x 2 – 4x – 3. d) x 2 – 5x + 1. e) 5x 2 + 7x + 9.
Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 6 – x 2 – 6x. b) 1 – x 2 – 6x 2 . c) 4 – x 2 + 2x. d) 4x – x 2 . e) 7 – 3x – x 2 .
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2 1
x +2x+ 6 .
C1: Vì x 2 + 2x + 6 = (x + 1) 2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤ 1
2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm Û Δ’ = y – 5y 2 ≥ 0 Û 0 < y ≤ 1
5 .
5 vào phương trình theo x). Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =
2
2
+ + HD: Làm tương tự bài 3. y =
2
1
+ +
Bài 5:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
y
=
HD:
2
2
-
Bài 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 1 2
6x 5 9x
=
- - .
HD: Biến đổi biểu thức trở thành:
2
A
2
Bài 7:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2 1
4x 4x 3
=
Bài 8:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2
2
-
x 2
= - ³
+
Bài 9:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
2
C
x
+
=
2
1
x
= + ³
Bài 10:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y =
2
2
C1:
3
x
4
ç
Bài 11:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
A
+ +
=
Trang 4HD: Đặt y = x + 1 Þ x = y – 1 Þ A = y 2y 1 1 1 1 2
y
.
Đặt z = 1
2 – z + 1 =
2
1 3 3
z
2 4 4
æ ö
ç - ÷ + ³
ç ÷
ç
1
z y 2 x 1
2
= Û = Û =
Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A (x 2)(x 8)
x
+ +
=
HD:
2
16
16
x
x
ç + ÷
ç
2
= 16. Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18.
Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
A
x
+
=
Bài 14:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x 2
= + C1: Đặt x + 100 = y Þ x = 100 - y.
B
y
-
y =
Þ B = z – 100z 2 =
2
100 z
400 200 400
æ ö
ç
- ç ç - ÷ ÷ £
1
C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b) 2 ≥ 4ab:
2
B
Bài 15:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2 2
A
+
= + HD:
2
2 2
+
A =
2 2
2xy
2 + y 2 ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra Û x = y ≠ 0. Bài 16:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
B
=
HD:
1
2
- Bài 17:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
C
=
+ HD:
2
2 2
-
2
2 2
+
Bài 18:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2 x 1
x x 1
+
= + +
HD:
D
+ + -