File401 - BAT DANG THUC LUONG GIAC

Như chúng ta đã biết, bất đẳng nói chung vàbất đẳng thức lượng giác nói riêng là một phần quan trọng trong toán phổ thông cũng như toán chuyên.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đ

KHÓA: 2009-2012

Lời nói đầu:

Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, bất đẳng nói chung vàbất đẳng thức lượng giác nói riêng là một phần quan trọng trong toán phổ thông cũng như toán chuyên.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán Không chỉ dừng lại ở các bài toán về bất đẳng thức lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của bất đẳng thức lượng giác vào việc giải một số bài toán hay có liên quan.

Quyển chuyên đề được trình bày theo 3 chương : các bước đầu cơ sở, các phương pháp chứng minh và một số bài toán áp dụng Mỗi chương sẽ do 1-2 bạn phụ trách Việc chia chủ đề viết như vậy có thể khó tránh sự trình bày không nhất quán, thống nhất với nhau Tuy vậy, các bạn sẽ được độc lập hơn trong suy nghĩ và trình bày tường tận quan điểm của mình.

Đây là lần đầu tiên chúng em làm chuyên đề về bất đẳng thức lượng giác, mặc

dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu sót Rất mong tài liệu này sẽ nhận đựơc sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề đầu tiên của chúng em.

Mỹ Tho, ngày 20 tháng 3 năm 2010

Mục lục

Trang

Lời nói đầu……… 2

Mục lục……… …3

Chương I: Các bước đầu cơ sở……… 4

1 Các bất đẳng thức đại số cơ bản………4

a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)……….4

b)Bất đẳng thức Bunhiacốpxki……… 6

c) Bất đẳng thức Jensen……… 8

d) Bất đẳng thức Chebyshev……….10

2.Các đẳng thức, bất đẳng thức cơ sở trong tam giác……….11

a) Đẳng thức……… 11

b) Bất đẳng thức……… 16

3 Định lý về dấu của tam thức bậc hai………17

4.Định lý về hàm tuyến tính……….19

5.Bài tập……… 21

Chương II: Các phương pháp chứng minh……… 21

2.1.Biến đổi lượng giác tương đương……… 21

2.2.Sử dụng các bước đầu cơ sở……… 28

2.3.Đưa về tích vô hướng……….…36

2.4.Kết hợp các bất đẳng thức cổ điễn……….…37

2.5 Tận dụng tính đơn điệu của hàm số……….…44

2.6 Bài tập……… 50

Chương III: Áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào một số bài toán……… 49

1 Định tính tam giác……….49

a) Tam giác đều……… 49

b) Tam giác cân……… 52

c) Tam giác vuông……… 55

2 Cực trị lượng giác……….55

3 Bài tập 58

Lời cảm tạ……….60

Tài liệu tam khảo……… 61

Chân dung một số nhà toán học………62

Chương I: Các bước đầu cơ sở

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cần có để chứng minh bất đẳng thức lượng giác Trước hết là các bất đẳng thức đại số ( Cauchy, B.C.S,…).Tiếp theo là các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác Cuối cùng là một số định lý khác,công

cụ đắc lực trong chứng minh bất đẳng thức( định lý về dấu tam thức bậc hai, định lý hàm tuyến tính,…)

1 Các bất đẳng thức đại số cơ bản :

a)Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

Với mọi số thực không âm a a1, , ,2 a ta luôn có: n

Ví dụ 1:

Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn CMR:

tanAtanBtanC�3 3

Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương

�cotAcotBcotC� 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi ABC nhọn ta có:

Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng� (5) đúng với mọi a,b.

ABC ABC ABC

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi ABC ta có

sin sin sin 3 3

2

A B C�

Chứng minh rằng với mọi ABC đều ta có:

Xét ( ) sinf x  xtanx với 0, ( )

Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều a a1, , ,2 a n và b b1, , ,2 b n ta có:

Không mất tổng quát giả sử a b c���� A B C

Chứng minh rằng với mọi ABC ta có

Không mất tổng quát giả sửA B C� �

tan tan tan

tan tan tan cos cos cos tan cos tan cos tan cos

Mà tanAtanBtanCtan tan tanA B C � Đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCđều

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi ABC ta có

Không mất tổng quát giả sử a b c� �

sin sin sin

c a

C ab

tan

2tan

ca

p a p b C

ca

p p c C

p p b

p a p b C

1cot cot cot

3 Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức f x  ax2 bx c a � và 0   b2 4ac

-Nếu  0 thì f x cùng dấu với hệ số a , với mọi số thực x  

-Nếu  0 thì f x cùng dấu với hệ số a , với mọi số thực 

2

b x a



-Nếu  0 thì f x có 2 nghiệm   x x và giả sử 1, 2 x1  thì x2 f x cùng dấu với a với mọi x ở  

ngoài đoạn x x (tức là 1; 2 x x hay 1 x x ) và 2 f x trái dấu với a khi x ở trong khoảng 2  

Cho ABCbất kì Chứng minh rằng:

Ví dụ 1:

Cho , ,a b c là những số thực không âm thỏa 2 2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a0,b c  2

a b c



c z

a b c



  Khi đó bài toán trở thành:

Chứng minh 7xy yz zx  �9xyz2với x y z  1

Không mất tổng quát giả sử xmax , ,x y z

Cho tam giác ABC CMR:

3

8sin sin sin

Chương II: Các phương pháp chứng minh

2.1 Biến đổi lượng giác tương đương :

Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái Đất” Nó sử dụng các công thứclượng giác và sự biến đổi qua lại của các bất đẳng thức Để có thể sử dụng tốt phương pháp này bạnđọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến đổi lượng giác (bạn đọc có thể thamkhảo thêm phần 1.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác)

Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ về dạng bất đẳng thức đúng hay quen thuộc Ngoài

ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc sinx �1; cosx � 1

Vì x , y ,z từng đôi một khác nhau nên (4) đúng � đccm

Như vậy, với các bất đẳng thức trên thì việc biến đổi lượng giác là quyết định sống còn với việcchứng minh bất đẳng thức Sau khi sử dụng các biến đổi thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễdàng thậm chí chỉ lad hiển nhiên

Ví dụ 2.1.2

CMR: a2 b2 c2 �2(absin 3x ca cos 2x bc sin )x

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

a x c x b x c x c �ab c x x x 

2 cos 2ca x2 sin 2bc x

CMR với ABC bất kì ta luôn có:

sin2 sin2 sin2 9

4

A B C�Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2

1 1 13

Vì 1 sinx 1 � � và cosx� nên:1

3 sinx 0,3 sinx 0    và 2 cos x0

Khi đó bất đẳng thức tương đương:

2

2 2

sin2a b  sin2acos2bsin2bcos2a2sin sin cos cosa b a b

Nên thay thế cos2b 1 sin2b vào thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

2sin a sin2 2b2sin sin cos cosa b a b

Lời giải:

Gọi O1;O2 là tâm của hai đường tròn Đặt �CON 2 (như vậy 0

Vậy

2.2 Sử dụng các bước đầu cơ sở :

Ta sẽ đưa các bất đẳng thức cần chứng minh về các bất đẳng thức cơ bản bằng cách biến

�

�2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2R2sin sin sinA B C�2R2sinA1sinB1sinC1 (1)

Đẳng thức xảy ra �ABC đều

Ví dụ 2.2.2

CMR trong mọi tam giác ta đều có:

sin A sin sin sin sin sin 7 4sin sin sin

B B C C A� 

A B B C C A�  A c B  C

Mà:

Và hiển nhiên:

2

4cot

sin sin sin sin sin sin 5

a b c S

b

S

B � ;

24tan2

CMR trong mọi tam giác ta có:

(1  b c bc)cosA   (1 c a ac) cosB   (1 a b ab) cosC�3Lời giải:

Ta có vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng:

cosA cosB cosC(b c ) cosA  (c a) cosB  (a b) cosC (abcosC bc cosA ca cos )B

Đặt :

8 2sin sin sin

3 sin sin sin

84

Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên x , y , z > 0

Khi đó theo AM-GM thì:

Ví dụ 2.3.1

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :

2

A B C�

Lời giải:

Lấy các vec tơ đơn vị e e eur uur ur1, ,2 3

lần lượt trên các cạnh AB, BC , CA

3 2cos( , ) 2 os( , ) 2 os( , ) 0

Gọi O, G lần lượt lá tâm đường tròn ngoài tiếp và là trọng tâm ABC

Ta có: (OA OB OCuuur uuur uuur  )2 3OGuuur

uuur uuur uuur

Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất đẳng thức đã bàn ở chương 1 Vì thế

ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví dụ phức tạp hơn, thú vị hơn

Ví dụ 2.4.1

CMR với mọi tam giác ABC ta có:

cos cos cos  t nA tan tan  9 3

2

A B C a  B C �Lời giải:

Vì ABC nhọn nên cos ,cos ,cos , t anA, tan , tanA B C B C đều dương.

Theo AM-GM ta có:

3

cos cos cos3

sin sin sin

cos cos cos

3.3sin cos sin cos sin cos

�Suy ra:

3

3

9 t nA tan tan (1) 2

Theo Jensen thì : tan tan tan

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

1 cos cos

tan tancos cos

cos cos cos

Lại theo AM-GM:

(sin sin )(sin sin )(sin sin ) 8sin sin sin

(sin sin )(sin sin )(sin sin )

8sin sin sin

4 cot Acot cotB C 4 cot Bcot cotA C 4 cot Ccot cotA B **

Lại theo bất đẳng thức Cauchy :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

1 3

1 3

sin

cos

x x

2

�Xét hàm đặc trưng f t( ) t 1

Do a,b,c có vai trò như nhau nên ta giả sử a b c� �

21

sin sin sin

1 Định tính tam giác:

a) Tam giác đều:

Đối với loại bài nhận dạng tam giác đều, ta chỉ cần giải bất đẳng thức lượng giác vàchỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT đó Ta sẽ xét các ví dụ sau để thấy rõ điều đó

CMR ABCđều khi nó thỏa: 2h a h b h c   a b c 3

3 3 3 34

b) Tam giác cân:

Đối với dạng bài nhận dạng tam giác cân, ta cần phải chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng củabất đẳng thức là khi 2 biến bằng nhau và khác biến thứ ba Ta xét các ví dụ sau:

 tan tan 2 tan  tan 2 sin sin  sin 2

A B C �� ��  

c) Tam giác vuông:

Đối với dạng bài tập nhận dạng tam giác vuông, ta ít khi cần dùng đến các BĐT lượng giác mà thường là chỉ cần sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương là được

Ví dụ 1:

Cho VABC có các góc thỏa mãn hệ thức 3 cos B2sinC 4 sinB2cosC 15

Ví dụ 1:

03

Điều kiện: sinx�0,cosx�0

Ta có: y4 sinx cosx �4sinx �1

Dấu bằng xảy ra sin 1 2

CMR ABCđều khi nó thỏa một trong các đẳng thức sau:

4

A B B C C A

2) sin 2Asin 2Bsin 2CsinAsinBsinC

5) cos cos cos 1

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn Tuấn Ngọc Và Thầy

Đỗ Kim Sơn, người đã trực tiếp giảng dạy bộ môn Lượng giác và người trực tiếp hướngdẫn chúng em hoàn thành quyển chuyên đề

Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy cô, các anh chị và các bạn đã đọc, cũngnhư góp phần làm cho quyển chuyên đề của chúng em hoàn chỉnh hơn

Mỹ Tho, ngày 20 tháng 3 năm 2010

Tài liệu tham khảo:

(1) Một số vấn đề chọn lọc Lượng giác,

Nguyễn Văn Mậu, NXB Giáo dục, 2004(2) Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán, tập 6: Lượng giác,

Vũ Dương Thụy – Nguyễn Văn Nho, NXB Giáo Dục, 2005

(3) Bộ đề thi Đại học, NXB Giáo Dục, 1996 – 1997

(4) Tạp chí toán học và tuổi trẻ

(5) Trang web www.diendantoanhoc.net

www.math scope org

Chân dung một số nhà toán học

Pierre de Fermat

-Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665)

là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng

và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670 Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đónggóp dồi dào của ông Chính ông là người sáng lập lý thuyết

số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat)

Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng

và các đường cong bậc ha rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học

Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

Sinh thời là bạn thân của Mittag-Leffler, ông cũng vận động

và gây quỹ rất nhiều cho toán học, noi theo gương Leffler (năm 1895 đã trao hết gia sản cho một hiệp hội thành lập viện toán Mittag-Leffler) ông cũng cố công xây dựng Royal Canadian Institute thành một trung tâm nghiên cứu khoa học Quỹ Fields không nhiều (khi mất Fields chỉ để lại 47 ngàn đô la Canada để gópvô) nên ban đầu chỉ có 2 huy chương, trao 4 năm một lần vào dịp Đại hội toán học quốc

Mittag-tế cho các nhà toán học dưới 40 tuổi Từ 1969 người ta thêm vào hai huy chương nữa,

Và cũng như có khi giải Nobel vẫn trao cho một nhà toán học, năm 1990 huy chương Fields đã được trao cho một nhà vật lý mà công trình nghiên cứu về thuyết siêu sợi (superstring theory) đã có nhiều đóng góp lớn cho toán học

Huy chương Fields khác với giải Nobel ở chỗ hạn chế tuổi, phần lớn do muốn khuyến khích các luồng nghiên cứu mới và các nhà toán học trẻ