Môn bất đẳng thức và áp dụng GT chuong1

Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập v

VÀ ÁP DỤNG

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Hà Nội, 2006

Bất đẳng thức Cauchy

Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập và chứng minh BĐT Cauchy

• TAM THỨC BẬC HAI

Tại Việt Nam và các nước Đông Âu:

-BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân

BĐT Cauchy

-BĐT Cauchy

Bunhiacovski, Cauchy - Bunhiacovski hoặc Cauchy - Schwarz

Theo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:

-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên

• BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

.

+

Với mọi bộ số ta luụn cú bất đẳng thức sau

Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còn

đ ợc gọi là bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)

Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng

• BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG

Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.

Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:

-Tịnh tiến

- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)

Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc

để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số phức Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một

số phức

Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng

• BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC

Định lý 1 Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau

Định lý 2 Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau

Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức

Hệ quả 1 Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau

Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho

• BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO

Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì

hay

Từ đây suy ra

VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).

Tuy nhiên x, y là nguyên dương  điều này không xảy ra

Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được  Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế

• CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4

Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh

Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z  phải lựa chọn các phương thức đặc biệt  thêm bớt các hệ số

Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm

Xét các cặp số không âm Ta gọi hiệu

là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp sốNếu ρ(x,y) = 0  x = y  cặp đều

Nếu x ≠ y  ρ(x,y) > 0  độ gần đều

 ta được thứ tự sắp chặt của bộ số đó  tiến gần đến trường hợp đều.

Định lý 1 Xét các cặp số không âm với tổng không đổi

(để đơn giản, ta chọn ) Khi đó

Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp

Định lý 2 Xét các cặp số không âm với tích không đổi

(để đơn giản, ta chọn ) Khi đó

khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp

Định lý 3 (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với mọi cặp dãy số dương

và sao cho hoặc

ta đều có

đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1]

Kỹ thuật tách và ghép bộ số Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số Tuy nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này)

Đây là một bài toán được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc Thực chất của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm

Ứng dụng của chúng cho các bài toán tối ưu trong đời sống hàng ngày là khá nhiều

Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số Cho bộ số gồm 3 số a,b, c thoả mãn a < b < cKhi đó gọi:

Cho một Δ ABC bất kỳ Dưới góc độ bất biến, không kể độ lớn ta có thể khẳng định:

Ba góc A, B, C > 0 và A + B + C = π

Trong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3

Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và min của tam giác này luôn lớn hơn hoặc bằng không, còn hiệu giưa max và min của tam giác đều bao giờ cũng bằng không

Do đó trong các bài toán BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các BĐT của các tam giác đều

Không mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:

A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3C≤ π/3

Xét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:

A ≥ π/2

C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2

Ta có thể thấy ngay rằng:

Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân là tam giác gần đều nhất

Vì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân

Ứng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều

Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max

và min của các dạng phân thức

Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc không quá hai

Cấu trúc đề tìm max và min khi dùng BĐT Cauchy cũng như tam thức bậc hai

là cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống các bài toán sử dụng các phép tính vi phân