Môn bất đẳng thức và áp dụng Tamthucbac2

Tam thức bậc haiTa cã bất đẳng thức cơ bản: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Gần với bất đẳng thức 1.1 là bất đẳng thức dạng sau:... Xét tam thức bậc hai: Khi đó với... Xét tam thức b

1.1 Tam thức bậc hai

Ta cã bất đẳng thức cơ bản:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:

Xét tam thức bậc hai:

Khi đó

với

Định lý 1.1 Xét tam thức bậc hai:

i) Nếu thì ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

iii) Nếu thì với

Trong trường hợp này, khi

và khi hoặc

Định lý 2 (Định lý đảo) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao

cho là:

và

trong đó: là các nghiệm của xác định theo (1.2).

Định lý 3 Với mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều tồn tại một

nguyên hàm là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực

Định lý 4 Tam thức bậc hai có nghiệm (thực)

khi và chỉ khi hệ số có dạng:

Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )

Khi đó, nếu thì

Vậy khi và thì hiển nhiên

trường hợp riêng khi ta nhận lại được kết quả

1.1.3 Áp dụng lý thuyết:

Ví dụ 1 Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 2 Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức

Ví dụ 3 Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu