CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI

Kiểm tra bài cũ:1.. Giải ph ơng trình sau bằng cách biến đổi ph ơng trình thành ph ơng trình có vế trái là một bình ph ơng, còn vế phải là một hằng số... Kiểm tra bài cũ:2.. a, Phát biểu

Kiểm tra bài cũ:

1 Giải ph ơng trình sau bằng cách biến đổi ph ơng trình thành ph ơng trình có vế trái là một bình ph ơng, còn vế phải là một hằng số.

3x2 + 7x + 1 = 0

Kiểm tra bài cũ:

2 a, Phát biểu định nghĩa ph ơng trình bậc hai một ẩn ?

b, Trong các ph ơng trình sau, ph ơng trình nào là ph ơng trình bậc hai một ẩn ? Chỉ rõ hệ số a, b, c của mỗi ph ơng trình ấy

A 5x2 - 9x + 2 = 0 B 2x3 + 4x + 1 = 0

C 3x2 + 5x = 0 D 15x2 - 39 = 0

a = 15, b = 0 , c= - 39

a = 3, b= 5, c= 0

* Đối với ph ơng trình dạng câu C, câu D ở trên

( có b = 0 hoặc c = 0 ) ta giải nh thế nào?

a = 5, b= - 9, c= 2

Tiết 53: Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai

2

x

3

1



 x2 + x

3

 x2+ 2.x

1

 3

2

7

=

2

6

7













2

6

7













 x2+ 2.x

6

7

3

1



3x2 + 7x = - 1



3x2+ 7x+1=0



1 Công thức nghiệm:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

 ax2 + bx = - c

 x2 +

a

c x

a

b







a

c a

b x

.

2

.

2

2

a

c a

b a

b











2 2

4 2



2

2 2

4

4

ac

b a

b

x   















2

2 











a

b

a

b x

x

2

2

2



a

c





2

2 











a b

3

1



 x2 + x

3

 x2+ 2.x

1

 3

2

7

=

3x2 + 7x = - 1



2

x



Em hãy biến đổi ph ơng trình tổng

quát về dạng có vế trái là bình ph

ơng của một biểu thức, vế phải là

hằng số ?

2

6

7













2

6

7













 x2+ 2.x

6

7

3

1



Dựa vào các b ớc biến đổi đã có

của ph ơng trình

1 Công thức nghiệm:

ax2 +bx +c = 0 (a ≠0) (1)

 ax2 +bx = - c

 x2 +

a

c x

a

b







a

c a

b x

.

2

.

2

2

a

c a

b a

b











2 2

4 2



2

2 2

4

4

ac

b a

b

x   













Ng ời ta kí hiệu =b 2 -4ac



2

2 











a

b

a

b x

x

2

2

2



a

c





2

2 











a b

Nh vậy, chúng ta đã biến

đổi ph ơng trình (1) thành ph

ơng trình (2) có vế trái là

một bình ph ơng của một

biểu thức, còn vế phải là

một hằng số.

Ta có thể khai ph ơng hai

vế để tìm đ ợc x ch a ?

Tiết 53: Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai

Ta có:

2

2

4

b











?1 Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các chỗ trống ( ) d ới đây:

a) Nếu  >0 thì từ ph ơng trình (2) suy ra



a

b x

Do đó, ph ơng trình (1) có hai nghiệm: x1 = , x2 =

b) Nếu  = 0 thì từ ph ơng trình (2) suy ra



a

b x

Do đó, ph ơng trình (1) có nghiệm kép x =

?2 Hãy giải thích vì sao khi  < 0 thì ph ơng trình vô nghiệm

Do đó, ph ơng trình (1) có hai nghiệm:







a

b x

2

a) Nếu  > 0 thì từ ph ơng trình (2) suy ra

?1

?2 Nếu  < 0 thì ph ơng trình (1) vô nghiệm

(vì ph ơng trình (2) vô nghiệm do vế phải là một số âm còn vế trái là một số không âm )

a

2



b) Nếu  = 0 thì từ ph ơng trình (2) suy ra 0



a

b x

Giải:

2

2

4

b











,

a

b

2







x1 =

a

b

2







x2 =

Do đó, ph ơng trình (1) có nghiệm kép

a

b

2



x =

Tõ kÕt qu¶ vµ ,víi ph ¬ng tr×nh bËc hai

ax2 +bx +c = 0 (a 0) vµ biÖt thøc ≠0) vµ biÖt thøc  = b2 - 4ac

Víi ®iÒu kiÖn nµo cña  th×:

+ Ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt?

+ Ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp?

+ Ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm ?

?2

?1

 > 0

 = 0

 < 0

Kết luận chung (SGK):

a

b x

2

2









a

b x

2

1







Đối với ph ơng trình ax2 + bx +c = 0 (a 0) ≠ 0)

và biệt thức  = b2 - 4ac :

a

b x

x

2

2

1   

• Nếu  < 0 thì ph ơng trình vô nghiệm .

Đáp án:

Ph ơng trình 7x2 – 2x + 3 có:

a = 7; b = -2; c = 3

 = b2 -4ac = (-2)2 – 4.7.3 = -80 < 0 Vậy ph ơng trình vô nghiệm

Bài tập:

Không giải ph ơng trình, hãy xác định các hệ số a; b; c Tính biệt thức  và xác định số nghiệm của ph ơng trình sau:

7x2 – 2x + 3

Kết luận chung (SGK):

a

b x

2

2









a

b x

2

1







Đối với ph ơng trình ax2 + bx +c = 0 (a 0) ≠ 0)

và biệt thức  = b2 - 4ac :

a

b x

x

2

2

1   

• Nếu  < 0 thì ph ơng trình vô nghiệm .

Từ kết luận trên, theo các em để giải một ph

ơng trình bậc hai, ta có thể thực hiện qua những b ớc nào?

Các b ớc giải một ph ơng trình bậc hai:

B ớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.

B ớc 2: Tính .

B ớc 3: Kết luận số nghiệm của ph ơng trình

B ớc 4: Tính nghiệm theo công thức nếu ph ơng trình có nghiệm.

Giải:

 = b2- 4ac

=52- 4.3.(-1)

=25 + 12 = 37 > 0

a

b x

2

1









6

37

5 3

2

37









2 áp dụng:

Ví dụ: Giải ph ơng trình 3x2 + 5x - 1 = 0

6

37

5 3

2

37









B ớc 2: Tính  ?

B ớc 4: Tính nghiệm

theo công thức?

B ớc 1: Xác định các

hệ số a, b, c ?

a

b x

2

2









a= 3, b= 5, c= - 1

B ớc 3: Kết luận số

nghiệm của ph ơng

trình ?

Bài tập 1 :

áp dụng công thức nghiệm để giải các ph ơng trình:

a ) 10x2 - 2x + 6 = 0 b) - 4x2 + 4x - 1 = 0

c) x2 - 7x - 2 = 0

b) - 4x2 + 4x - 1 = 0

a= - 4, b = 4, c = - 1

 = b2 - 4ac =162 - 4.(-4).(- 1) = 16 - 16 = 0

2

1 )

4 (

2

4









Giải:

a) 10x2 - 2x + 6 = 0

a= 10 , b = -2 , c = 6

 = b2- 4ac =(-2)2- 4.10.6

= 4-240= -236 < 0

a

b

2



x1= x2 =

c) x2 - 7x - 2 = 0

a=1, b = -7, c =- 2

= b2 - 4ac

= (-7)2 - 4.1.(- 2)

=49 +8 =57 >0

a

b x

2

1









a

b x

2

2









2

57

7 1

2

57 )

7











2

57

7 1

2

57 )

7











Cả hai cách giải trên đều đúng Em nên chọn cách giải nào ? Vì sao?

Bài tập 2: Khi giải ph ơng trình 15x2 - 39 = 0

Bạn Mai và Lan đã giải theo hai cách nh sau:

Bạn Lan giải:

15x2 - 39 = 0

a=15, b = 0, c = -39

=b2 - 4ac = 02 - 4.15.(-39)

= 0 + 2340 = 2340 >0

 Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

a

b x

2

1









5

65 30

65

36 15

2

2340

0









a

b x

2

2









5

65 30

65

36 15

2

2340











Bạn Mai giải:

15x2 - 39 = 0

5

13 15

39

2





x





5

13





x

 15x2 = 39



5

65

1 

x

5

65

2





x

Chú ý:

1 Giải ph ơng trình bậc hai dạng đặc biệt ( b = 0 hoặc c = 0 )

ph ơng pháp riêng đã biết.

2 Nếu ph ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) ≠0) và biệt thức có a và c trái dấu

 = b2 - 4ac > 0

 Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

 ac < 0 Nếu a và c trái dấu thì biệt thức  = b2 - 4ac có dấu

nh thế nào? Hãy xác định số nghiệm của ph ơng trình?

Bµi tËp 3: §iÒn dÊu X vµo « v« nghiÖm , cã nghiÖm kÐp ,

cã hai nghiÖm ph©n biÖt t ¬ng øng víi mçi ph ¬ng tr×nh

sau:

Ph ¬ng tr×nh nghiÖm V« nghiÖm Cã

kÐp

Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 2x 2 + 6x + 1 = 0

3x 2 - 2x + 5 = 0

x 2 + 4x + 4= 0

2007x 2 - 17x - 2008 = 0

X

X

X

X

Gi¶i thÝch

 = 6 2 - 4.2.1 = 28 > 0

= 4 2 - 4.1.4 = 0

=(-2) 2 - 4.3.5 = -54 < 0

a vµ c tr¸i dÊu

b 2 - 4ac

v« nghiÖm

=

a

b

2



• NÕu  0 th× ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

,

§èi víi ph ¬ng tr×nh ax 2 + bx +c = 0 (a 0) ≠ 0)

vµ biÖt thøc  =

• NÕu  0 th× ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

• NÕu  < 0 th× ph ¬ng tr×nh

Bµi tËp 4 : §iÒn vµo chç trèng:

x1 = x2 =

>

a

b

2







a

b

2







T×m chç sai trong bµi tËp 1(c):

Bµi gi¶i 1:

x2 - 7x - 2 = 0

a=1, b = - 7, c= - 2

=b2 - 4ac = - 72 - 4.1.(-2)

=- 49 +8 =- 41 < 0

Ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm

a

b x

2

1









a

b x

2

2









Bµi gi¶i 2:

x2 - 7x - 2 = 0

a=1, b = - 7, c=- 2

=b2 - 4ac = (- 7)2 - 4.1(-.2)

= 49 + 8 = 57 > 0

57





2

57

7 1

2

57









2

57

7 1

2

57









 Ph ¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

Bµi tËp 5

H ớng dẫn học bài:

Xem lại cách giải các ph ơng trình đã chữa

Làm bài tập15,16 /SGK tr45