SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 – THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH Trong số này chúng ta sẽ làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết của bạn
Trang 1SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 – THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH
Trong số này chúng ta sẽ làm quen với
hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài
viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang
lớp 10A13
1 Hệ gồm một phương trình bậc
nhất và một phương trình bậc hai
Hệ này có dạng
a x b y c 0 (1)
ax by cxy dx ey f 0 (2)
Phương pháp chung ñể giải hệ này là
từ (1) rút một ẩn thế vào (2)
VD1 Tìm m ñể hệ sau có nghiệm
x 4y 8
x 2y m
+ =
HD Từ phương trình thứ hai của hệ ta
có x= −m 2y, thế vào phương trình
ñầu ta ñược 8y2−4my m+ 2− =8 0 (*)
Hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*)
có nghiệm, tức là ∆ =' 64 4m− 2≥0
4 m 4
2 Hệ gồm hai phương trình bậc hai
Với hệ dạng
ax by cxy dx ey f 0
a x b y c xy d x e y f 0
ta thường cố gắng ñưa về dạng gồm
một phương trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai
VD2 Tìm giao ñiểm của hai ñường
tròn (C ) : (x 1)1 − 2+ −(y 2)2 =4 và
2
(C ) : x +y − −x 5y=0
HD Xét hệ
x y 1 0
x y x 5y 0
− − =
x y 1 (y 1) y (y 1) 5y 0
= +
2
x y 1 x 1, y 0
x 3, y 2
y 2y 0
= +
Vậy hai ñường tròn ñã cho cắt nhau tại hai ñiểm A(1; 0), B(3; 2)
3 Hệ ñối xứng loại 1
Hệ phương trình ñối xứng loại 1 hai ẩn
x, y có dạng F(x; y) 0
G(x; y) 0
=
=
trong ñó F(x; y)≡F(y; x),G(x; y)≡G(y; x) ðể giải, người ta thường ñặt S = x + y và
P = x.y, với ñiều kiện S2 ≥4P, và lưu
ý ñến ñịnh lí Viét ñảo
VD3 Giải hệ
x xy y 4
x xy y 2
+ + =
HD ðặt S = x + y, P = x.y, với ñiều
kiện S2 ≥4P, hệ ñã cho trở thành
P 0
=
hoặc S 3
P 5
= −
=
(loại) Do ñó
x y 2
xy 0
+ =
=
x 0, y 2
x 2, y 0
Vậy hệ phương trình
ñã cho có hai nghiệm (2; 0), (0; 2)
VD4 Cho hệ phương trình
x y 6
+ =
+ =
1) Tìm m ñể hệ có nghiệm
2) Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ, tìm giá trị nhỏ nhất của F = x + y – 2xy
HD 1) Hệ phương trình ñã cho tương
ñương với
x y 6
m
xy 18
2
+ =
= −
Vậy x, y là hai nghiệm của phương trình
t 6t 18 0 (*)
2
Trang 2Hệ ñã cho có nghiệm khi (*) có
nghiệm, tức là ' m 9 0 m 18
2
∆ = − ≥ ⇔ ≥
Chú ý: Dễ thấy m≤0 thì hệ ñã cho vô
nghiệm Với m > 0 thì phương trình
ñầu của hệ là phương trình ñường tròn
(C) tâm O(0;0), bán kính R= m
Còn phương trình thứ hai của hệ là
phương trình ñường thẳng ∆ Hệ
phương trình ñó có nghiệm khi (C) và
∆ có ñiểm chung, tức là d(O, )∆ ≤R
2) Với m 18≥ thì hệ ñã cho có nghiệm
(x; y), và F = x + y – 2xy = m – 30
Do ñó F 18 30≥ − = −12 Dấu “=” xảy
ra khi m = 18 Vậy minF = –12
4 Hệ ñối xứng loại 2
Hệ ñối xứng loại 2 hai ẩn x, y có dạng
F(x; y) 0
F(y; x) 0
=
=
Ta thường biến ñổi hệ
này thành F(x; y) F(y; x) 0
F(y; x) 0
=
ý, với hệ phương trình ñối xứng loại 1
hay loại 2, nếu (x; y) = (a; b) là nghiệm
thì (x; y) = (b; a) cũng là nghiệm
VD5 Gải hệ
HD Hệ
2x 3x y 2
3(x y)(x y 1) 0
− = −
TH1
= =
TH2
2
y 1 x
= −
hệ
này vô nghiệm
Vậy hệ phương trình ñã cho có hai
nghiệm (1; 1), (2; 2)
5 Hệ ñẳng cấp bậc hai
Hệ ñẳng cấp bậc hai có dạng
ax bxy cy d
a x b xy c y d
ðể giải ta thường biến ñổi hệ về dạng
Ở (1) ta ñặt x = ty, ñược
2
y.(At +Bt+C)=0
+ Xét trực tiếp y = 0
+ Với y khác 0, ta có At2 + Bt + C = 0, tìm ra t, từ ñó tìm ra x, y
Cũng có những trường hợp hệ loại này ñược biến ñổi ñưa về hệ ở mục 1 Sau ñây là một số bài tập mời các bạn tham khảo
1 Giải các hệ phương trình
2
x y 1 xy
2 x y xy 0
x 2y 1
x xy 3y y 0
x y x y 2
xy 1
x 1 4 y 2
y 1 4 x 2
x 4xy y 1
y 3xy 4
+ = +
=
+ + − =
− + = −
2 Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm
2 2
3 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ
x y 2a 3
+ = −
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x.y
4 Biện luận theo m số nghiệm của hệ
x y 2x 2
x y m
− + =
+ =
Chúc các bạn thành công!