Tìm m để C mcó điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi.. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và P.. b Trong một
Trang 1THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN
Đề số 10 – Thời gian làm bài: 180 phút
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 4 ( 1) 2 2 1
4
y x m x m có đồ thị (C m), với m là tham số thực
2
−
I Tìm m để ( C m)có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác
ABIC là hình thoi
Câu 2 (0,5 điểm): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết số phức z1 = −(2 z) ( )i+z là một số thuần ảo
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình ( )2 ( 2 )
1
2 x− − x − x ≥
Câu 4 (1,0 điểm): Tính tích phân
1
π
3π 4
2 tan cos
= + +
Câu 5 (1,0 điểm): Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 P x+ +y 2z+ =4 0, đường
thẳng : 2 1 1
− = + = −
d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x=1, y+ − =z 4 0 Viết
phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P)
Câu 6 (1,0 điểm):
2
x+ x= Tính giá trị biểu thức A=tan2 x+cot2x
b) Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có đúng 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 6 sản
phẩm từ lô hàng đó Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm
Câu 7 (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C 1 1 1 có AA1 =a 2, đường thẳng B C tạo với 1
mặt phẳng (ABB A một góc 451 1) 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và BC 1
Câu 8 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn (C) tâm I
bán kính R=5 Tiếp tuyến của (C) tại C cắt tia đối của tia AB tại 4;26
3
−
Biết diện tích tam giác
ABC bằng 20 và A thuộc : d x+ − =y 4 0 Viết phương trình đường tròn (C)
Câu 9 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình
( , )
+ + + = + + +
∈
+ − + − =
ℝ
x y
Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x> y và xy+ +(x y z) +z2 =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 1 + 1 + 1
P
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT (Thân tặng các em học sinh của thầy Hùng đz nhân dịp Tết Bính Thân 2016 ^^)
Câu 1 (2,0 điểm): Khi m=1 hàm số trở thành 1 4 2 2 3
4
+) Tập xác định: D=R; y là hàm số chẵn
+) Sự biến thiên:
- Giới hạn tại vô cực: Ta có lim
- Chiều biến thiên: Ta có y'=x3−4 ;x
= ⇔ > ⇔ < ⇔
= ± − < < < <
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 0 , 2;) ( + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng
(−∞ −; 2 , 0; 2 ) ( )
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, y CĐ =3, hàm số đạt cực tiểu tại x= ±2, y CT = −1
- Bảng biến thiên:
+) Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
b) Ta có y'= x3−2(m+1) ,x với mọi x∈R
(C m) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu ⇔ y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔2(m+ > ⇔ > −1) 0 m 1 (1) Khi đó 3 nghiệm phân biệt của 'y =0 là x=0,x= − 2(m+1) và x= 2(m+1)
Điểm cực đại của (C m) là A(0; 2m+1), hai điểm cực tiểu là ( 2)
2( 1);
2( +1);−
Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại ( 2)
0; −
H m và H là trung điểm của BC Do đó tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung điểm của AI Hay là
2
= +
3 2
= −
m
Đối chiếu điều kiện (1) ta được giá trị của m là 1
2
=
m
Câu 2 (0,5 điểm)
z = −z + = − +z z z−z z= − +z z− z
Đặt ( ) ( ) ( 2 2) ( 2 2 )
z= + → = − +x yi z x yi + x−yi − x +y ↔ = − −z x y + −x yi
x
'
y
y
2
−
∞
3
∞ +
1
−
–
0 +
∞
+
1
−
x
O
y
2 1
−
3
2
−
Trang 3Để z là số thuần ảo thì 1
2
0
y
y
− ≠
hay
2 2
Vậy tập hợp những điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1; 0
2
bán kính
3 2
R= và trừ 2 điểm
( 1; 0)
A − và B( )2; 0
Câu 3 (0,5 điểm)
Điều kiện: x∈ −∞( ; 0) (∪ 2;+∞)
log 2x− ≥1 log x −2x 2
• TH1: Nếu x<0 Ta được hệ 0 2 2 0 1 0
x
⇔ ⇔ − ≤ <
− ≥ − ≤
• TH2: Nếu x>2 Ta được hệ 2 2 2 2
⇔
− ≥ − − + ≤
2
x
x x
>
− ≤ ≤ +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = −[ 1; 0)∪(2; 2+ 3
Câu 4 (1,0 điểm)
Ta có:
1
1
x
x
+) Ta có
3 2
3
4
π
π
= − = − = − +
+) Xét
2 2 3
4
cos
x
x
π
π
= ∫ Đặt
2
2
2 1
t anx os
v
=
2
3
4
9
16
π π
π
⇒ = − ∫ = − ∫
Thay vào (1) ta có
16
I = − +e e +
Câu 5 (1,0 điểm)
Mặt cầu có tâm (2I t+ − − − + ∈2; t 1; t 1) d
9 ( ; ( ))
3
+
= t
d I P Chọn u∆ =(0;1; 1)− và M(1;1;3)∈∆ Khi đó MI =(2t+ − − − −1; t 2; t 2)
Suy ra [u ∆,MI]= − − − − −( 2t 4; 2t 1; 2y−1)
Suy ra
2
[ , ] 12 24 18 ( , )
2
∆
∆
+ +
d I
u
Từ giả thiết ta có ( ; ( ))d I P =d I( ;∆ =) R
Trang 42 2
0 9
3
53
=
= −
t t
t
+) Với t=0 Ta có (2; 1;1),I − R=3
Suy ra phương trình mặt cầu là (x−2)2+ +(y 1)2+ −(z 1)2 =9
+) Với 90
53
= −
t Ta có 74 37 143 129
Suy ra phương trình mặt cầu là
+ + − + − =
x y z
Câu 6 (1,0 điểm)
sin cos 2 cos sin sin cos sin cos
A
+
2 1 2 2 1 2 2 62
8
−
Vậy gái trị biểu thức đã cho là A=62
Câu 7 (1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra ABC∆ đều và BB1 ⊥(ABC )
Kẻ CH ⊥ AB, H là trung điểm AB Khi đó
CH ABB A CB H B C ABB A
1
⇒∆CHB vuông cân tại H
2
= > ⇒ = x
2
4
Từ
2
2 1
3
4
= ⇒ = ⇒ ABC = x =
CH B H x a S a , suy ra thể tích lăng trụ V = AA S1 ABC =a3 6
Gọi K K là trung điểm , 1 BC B C Kẻ , 1 1 KE⊥ AK 1
Vì B C1 1⊥(AKK nên 1) B C1 1 ⊥KE⇒KE⊥(AB C1 1)
Vì BC/ /(AB C nên 1 1) d BC AB( , 1)=d K( , (AB C1 1))=KE (1)
Tam giác AKK1 vuông tại K nên 2 2 2 2
1
= + = ⇒KE=a = a
Từ (1) và (2) suy ra ( 1, ) 30
5
=a
d AB BC
Câu 8 (1,0 điểm):
Trang 5Gọi CH là đường cao của ∆ABC
2
ABC
Đặt AK =x ta có:
( )2
Mặt khác CH cũng là đường cao ∆KCI do đó:
Gọi I a b( ); là tâm của đường tròn
+) Với A(−2; 6)ta có:
( )
( )
3
1 2
1; 2
− − = −
=
− =
a
a IA
b AK
b
Vậy ( ) ( ) (2 )2
+) Với 20 32;
3 3
−
A
( )
32 41
;
2
3
− − = = −
− = − =
I b
b
Vậy ( ) 32 2 41 2
Vậy có 2 đường tròn như trên thõa mãn yêu cầu bài toán
Câu 9 (1,0 điểm):
Điều kiện: 2, 1
2
x≥ − y≥ −
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với x2 = −2y2+2x− +y 2
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được x2+ −( 2y2+2x− + + +y 2) x x+ =2 2y2+ +y 2y+1
Xét hàm số f t( )= + +t2 t t+1 với t≥ −1
Ta có
3
'( ) 2 1 ; "( ) 2 ; "( ) 0
4
Suy ra '( ) ' 3 1 0
4 2
≥ − = >
f t f với mọi t∈ − + ∞( 1; ) Do đó hàm ( )f t đồng biến trên [ 1; + ).− ∞ Suy ra phương trình (1)⇔ f x( + =1) f(2 )y ⇔ + =x 1 2y⇔ =x 2y−1
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
(2y−1) +2y −2(2y− + − =1) y 2 0 2
1
=
⇔ − + = ⇔
=
y
y
Trang 6Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là ( ) 2 1
; (1; 1), ;
3 6
= −
x y
Câu 10 (1,0 điểm):
Đặt x+ =z a Từ giả thiết bài toán ta có (x+z y)( + =z) 1, hay y z 1
a
+ =
Do x> y nên x+ > +z y z Suy ra a>1
Ta có
2
− = + − + = − = a
Khi đó
2
1
Đặt a2 = >t 1 Xét hàm số ( ) 2 3 1
4( 1) 4
−
f t
t với t>1.
Ta có '( ) 13 3;
4( 1) 4
− −
−
t
f t
t
2
'( )= ⇔ −0 ( 2)(3 − + = ⇔ =3 2) 0 2
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có ( )f t ≥3 với mọi t>1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra P≥3, dấu đẳng thức xảy ra khi 2, 1
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
( )
f t
'( )
f t
–
3