Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số... Hãy tìm các giao điểm của Cvà C1... Củng cốCó thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =

Một số bài toán liên quan đến

khảo sát hàm số

Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đ ờng

Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có

đồ thị là (C1) Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C1)

0(x0 ;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ y = f(x)

y = g(x)

Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và

(C1) ta giải ph ơng trình : f(x) = g(x) (1)

Nếu x0, x1…là nghiệm của (1) thì các điểm là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ;

M1(x1; f(x1)) …là các giao điểm của (C) và (C1)

ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm

số y =

2 x

3 x

6

x2







Và y= x- m

Giải :

2 x

3 x

6

x2











( X  - 2 )

 x2-6x+3 = (x-m)(x+2) (x  - 2 )

 x2-6x+3 = x2+ (2-m)x-2m (x  - 2 )  (8-m)x-3-2m = 0 (2) (x  -

2 )

Biện luận

* m=8 : (2) có dạng 0x-19 = 0

 (2) vô nghiệm

 Không có giao điểm

* m  8 : ph ¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt

m 8

m 2

3 x







m 8

m 2

3









 3+2m =-16 +2m  3= -16 (v« lý )

VËy trong tr êng hîp nµy , cã mét giao ®iÓm lµ (x;y) víi :

m 8

m 2

3 x





( 8 - m ) x -2m -3 = 0 ( 2 )

x 0

-2

-4

-2

1

b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của

Giải

a, Ta có đồ thị sau (C)

b, Số nghiệm của ph ơng trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đ ờng thẳng y = m

y =m

0

-2

-4

-2

1

y = m

KÕt luËn :  Cã 1 giao ®iÓm  (*) cã 1 nghiÖm

y

x 0

-2

-4

-2

1

+

+ m = 0

m = - 4  Cã 2 giao ®iÓm  (*) cã 2 nghiÖm

+ - 4 < m < 0  Cã 3 giao ®iÓm  (*) cã 3 nghiÖm

y= m

m > 0

m < -4

Bài toán 2 : Viết ph ơng trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) Gọi (C) là đồ thị , viết ph ơng trình tiếp tuyến của (C) biết :

Tr ờng hợp 1 : Tiếp điểm M0(x0 ; y0) (C)

y - y0 = f ’ (x0) (x -x0)

Tr ờng hợp 2 : Đi qua điểm M1(x1; y1 )

1(x1; y1 ) và có hệ số góc k có ph

ơng trình : y-y1 = k(x-x1)  y= k (x-x1) + y1

- Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm :

f(x) = k(x-x1) + y1

f ’(x) = k

+ x0  y0 ; f’(x0) + y0  x0 ; f’(x0) + f’(x0)  x0 ; y0

(y0= f(x0) )

(Gpt : f(x) =y0  x0…là nghiệm của (1) thì các điểm …là nghiệm của (1) thì các điểm ) ( Gpt : f’(x) = f’(x0)  x0 …là nghiệm của (1) thì các điểm )

Ví dụ 3 : Cho đ ờng cong y=x3 Viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng cong đó :

a, Tại điểm (-1 ;-1 )

b, Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Ph ơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y+1 =3(x+1)

 y = 3x +2

b , Giải ph ơng trình : 3x2 = 3  x =  1 x= 1  y(1) = 1  pttt : y- 1 =3(x -1 )

 y = 3x -2

x =-1  pttt : y =3x +2

Củng cố

Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có

đồ thị t ơng ứng là (C) và(C’)

Hai đồ thị (C) và (C’) đ ợc gọi là tiếp xúc với nhau tại một

điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp

tuyến, khi đó diểm chung đ ợc gọi là tiếp điểm

Nh vậy ,hai đồ thị (C ) và (C’) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ ph ơng trình sau có nghiệm :

f(x)=g(x) f’(x) =g’(x)

Bµi tËp vÒ nhµ : 3 ;4 ; «n tËp ch ¬ng 2