Một số bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số

Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đại số để giải một số bài tập hình học.. Phương pháp đại số áp dụng vào giải quyết những bài tập hình khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Đối với một bài toán hình có rất nhiều phương pháp giải Tùy thuộc vào đặc điểm bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp Đối với học sinh Trung học Phổ thông thì phương pháp phổ biến và chủ yếu là phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ, phương pháp sử dụng biến hình,… Tuy nhiên,

có những loại bài tập mà các phương pháp kể trên không thể đưa đến những kết quả đẹp cũng như những lời giải hay

Trong chương trình Toán Phổ thông, Hình học – Đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đại số để giải một số bài tập hình học Phương pháp đại số là một phương tiện Toán học trong việc giải phương trình tuyến tính Nói đến phương pháp đại số là ta đang đề cập đến phương pháp giải quyết một phương trình hai hay nhiều biến khi một trong các biến được biểu diễn như là một hàm thông qua các biến khác Hai phương pháp đại số thường được sử dụng là phương pháp thế và phương pháp khử Phương pháp đại số áp dụng vào giải quyết những bài tập hình khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học như tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải, vận dụng toán học vào thực tiễn

Sử dụng phương pháp đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa

và rèn luyện những đức tính như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho học sinh

Chẳng hạn trong hình học sơ cấp, tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu thức lượng giác, bằng đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình Chính nhờ dạng biểu diễn này người ta

có thể áp dụng các phép biến đổi thuần túy đại số để xác lập các tính chất mới

giữa các yếu tố hình học, để khẳng định sự tồn tại hay thiết lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó Các yếu tố hình học ta thường gặp trong chương trình là cạnh, góc, đoạn thẳng, chu vi, diện tích, thể tích, v.v…và các quan hệ giữa chúng được cho bằng các công thức cơ bản Trên cơ sở các công thức này và các giả thiết được cho trong mỗi bài Toán, ta lập các biểu thức mới và sau đó ta sử dụng chủ yếu các phép biến đổi đại số để rút ra các kết luận cần thiết Sử dụng các tính chất đại số trong biến đổi các biểu thức cho phép chúng ta gắn quá trình lập luận với một hình vẽ cụ thể, và kết quả sau cùng của phép biến đổi gợi lên cho ta một kết luận tổng quát hơn, đó là một tính chất của một lớp các hình hình học

Với những lí do trên mà em mạnh dạn chọn vấn đề: “ Một số bài Toán hình học giải bằng phương pháp đại số” làm vấn đề nghiên cứu của mình

2 Mục tiêu khóa luận

Giới thiệu thêm một phương pháp khác để giải bài tập hình đó là phương pháp đại số và nghiên cứu về việc sử dụng chúng trong hình học từ

đó vận dụng chúng vào việc giải một số bài toán trong hình học

Phân loại, nhận dạng bài tập hình giải được bằng phương pháp đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

∗ Nghiên cứu một số phép biến đổi đại số sử dụng trong hình học

∗ Nghiên cứu và phân loại bài toán hình học vào 3 dạng: tính toán, chứng minh và dựng hình

∗ Nghiên cứu về nội dung và hệ thống bài tập về hình học có thể giải được bằng phương pháp đại số

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng trong khóa luận này là phương pháp phân loại hệ thống hoá bài tập: phương pháp này sử dụng chủ yếu để phân dạng bài tập cũng như đưa ra các cách giải đặc trưng cho từng phương pháp

Bên cạnh đó em còn sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm: qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu và các phương pháp toán học khác

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán hình học giải được bằng phương pháp đại số

Khóa luận là tài liệu giúp bạn đọc tham khảo, làm tài liệu để nghiên cứu những bài tập nâng cao Trung học Cơ sở hoặc Trung học Phổ thông

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành 2 chương

Chương 1: Một số bài toán hình học phẳng giải bằng phương pháp đại số

Chương 2: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp đại số

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG

PHÁP ĐẠI SỐ

Trong chương này, em xin đề cập tới một số bài toán tính toán, chứng minh, dựng hình giải bằng phương pháp đại số

1.1 Bài toán tính toán

1.1.1 Một số kiến thức về giải tam giác

Trong tam giác ABC với a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB; A, B,

C là các góc; r, R là bán kính các đường tròn nội, ngoại tiếp,

• Định lí hàm số tan và cot

tan2tan2cot

• Công thức phân giác

A bc l

b c B ac l

a c C ab l

a b

=+

=+

=+

• Bán kính đường tròn nội tiếp (1), đường tròn ngoại tiếp (2), đường tròn bàng tiếp (3)

M

N

B

( )3 tan

2.tan2.tan2

a b c

p b p c A

bc

p p a A

bc

p b p c A

Tam giác AIE vuông tại I, theo Pi –

Tam giác vuông ABI có: c2=4(x2+y2) Do đó 5c2=a2+b2

Vì a, b, c là các cạnh của một tam giác nên

5

a b− < ⇔c a −b <c = + (1.3) Bất đẳng thức (1.3) tương đương với 2a2+2b2−5ab<0 hay

trong đó R và r lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC

Từ (1.5) và (1.6) suy ra 2 cot cot

R r

A

Theo giả thiết cot cot 6

r ≥ là biểu thức liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp cần tìm

Ví dụ 1.1.2.3: Trong tam giác ABC, một đường thẳng đối xứng với

đường trung tuyến qua đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng Tìm tỉ số giữa hai đoạn thẳng này so với hai cạnh còn lại

Lời giải

Gọi AN là đường thẳng đối xứng với trung tuyến AM qua đường phân giác AD Gọi BN=x, NC=y, đương cao

Ví dụ 1.1.2.4: Các tiếp điểm của một đường tròn nội tiếp trong một

tam giác là ba đỉnh của một tam giác mới Biểu diễn tỉ số diện tích của hai tam giác này qua các góc của tam giác ban đầu Để tỉ số này lớn nhất thì tam giác ban đầu phải là tam giác gì?

Lời giải

Gọi r và R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC Gọi S là diện tích tam giác ABC

12

S là lớn nhất nếu tam giác ABC đều

Ví dụ 1.1.2.5: Cho đường tròn tâm O Xác định điều kiện để tồn tại tam

giác ngoại tiếp đường tròn (O) nếu cho trước một góc và cạnh đối diện góc đó

Theo (1.13), điều kiện để tồn tại một tam giác theo điều kiện đã cho là

OO =cos2

a

R r

α

′+ ≤ (1.14)

αα

r a

α α

Từ đó ta thấy diện tích S là lớn nhất khi và chỉ khi vế phải của (1.16) là lớn

Ví dụ 1.1.2.7 : Trong một hình thang cân, một đường chéo vuông góc

với cạnh bên Tìm góc nhọn và đáy lớn nếu cho trước đường cao và cạnh đáy nhỏ

Ví dụ 1.1.2.8 : Cho hai điểm A và B ở ngoài đường thẳng d cho trước

Xác định điểm M trên d sao cho AM:BM là lớn nhất; là bé nhất

Lời giải

Vẽ đường thẳng l là

đường trung trực của đoạn

thẳng AB, l cắt d ở O, rõ ràng OA:OB=1 Giả sử M

là điểm trên d và thuộc

nửa mặt phẳng chứa điểm

A , bờ là đường thẳng l

Lúc đó, AOM =α<BOM =β ⇒AM <BM hay AM BM: <1 (1.19)

Gọi OM=x và OA=R Ta có

Trường hợp A, B nằm về hai phía của d chứng minh tương tự

Ví dụ 1.1.2.9: Tam giác ABC là tam giác gì nếu các cạnh của chúng là

l

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A

1.2 Bài toán chứng minh

Ngoài ra, trong phạm vi khóa luận này em xin giới thiệu một số cách dùng bất đẳng thức đại số để tìm cực trị hình học

a Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai

Với A là biểu thức tùy ý thì A2 ≥ −0; A2≤0

Do đó, với m là hằng số, ta có:

Nếu f = A2+m thì f ≥ m ,min f = m khi A=0

Nếu f = −A2+m thì f ≤ m max f , = mkhi A=0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Định lí 2: Với 3 số thực không âm x, y, z ta có: 3

Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c

Với bốn biến dương a, b, c, d ta có:

2

Dấu bằng xảy ra khi a b c d= = =

Với sáu biến dương a, b, c, d, e, f ta có:

3

b c+c d +d e+e f + f a+a b≥

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d = e = f

Bài toán cực trị hình học liên quan đến bất đẳng thức

Các bài toán cực trị trong hình học thường có dạng như sau:

Trong tất cả các hình có cùng một tính chất Tìm hình sao cho một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất

Một trong các phương pháp giải toán cực trị hình học là sử dụng các bất đẳng thức, trong đó có bất đẳng thức Cô – si

Ở cấp Trung học Cơ sở, các bạn đã được làm quen với bất đẳng thức Cô – si dưới dạng 2

Dạng 6: Nếu tổng x+y là hằng số thì tích x.y lớn nhất khi và chỉ khi x=y

Trong các bất đẳng thức trên, điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức là x = y và trừ các dạng 1 và 4, các dạng khác đòi hỏi x và y là các số dương

1.2.2 Ví dụ minh họa

Dưới đây là một số bài tập tìm cực trị hình học có sử dụng bất đẳng thức đại số

Ví dụ 1.2.2.1: Cho tam giác ABC Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh

AC, kẻ các đường song song với hai cạnh kia, chúng tạo với hai cạnh đấy một

hình bình hành Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất

2S Khi đó x = y , tức là M là trung điểm của đoạn thẳng AC

Khai thác ví dụ 1 Từ 1

2

S S

Ví dụ 1.2.2.3: Trong các hình thang ABCD (BC//AD)có diện tích S không đổi E là giao điểm các đường chéo Ở hình thang nào thì tam giác ABE

Đặt BC=x, AD=y, ta sẽ biểu thị các tỉ số S S1, 2,S

S S S

′

theo x và y Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD ở K Ta có DK=BC=x;

Khi đó x = y, tức là hình thang ABCD trở thành hình bình hành

Ví dụ 1.2.2.4: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC =a Các

điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC Vẽ DH và EK vuông góc với

BC (H K, ∈BC) Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH khi D và E thay đổi vị trí trên các cạnh AB và AC

Ví dụ 1.2.2.5: Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với

nhau Tìm điểm M (M và d nằm khác phía đối với AB) sao cho các tia MA,

MB tạo với đường thẳng d thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất

Như vậy có vô số điểm M thỏa mãn bài toán, tập hợp của chúng là đường

thẳng d ′ đối xứng với đường thẳng d qua trục AB

Ví dụ 1.2.2.6: Cho điểm A nằm bên trong dải tạo bởi hai đường thẳng

song song d và d ′ Dựng điểm B thuộc d, điểm C thuộc d ′ sao cho tam giác

ABC vuông ở A và có diện tích nhỏ nhất

Cô-si) mà sin2α+cos2α=1, do đó (2sin cosα α ) lớn nhất bằng 1 Như vậy S nhỏ

nhất khi và chỉ khi sinα =cosα ⇔α=45° Bài toán có hai nghiệm hình

Cách giải khác Không đặt biến số là góc α mà đặt HB=x, KC=y rồi áp dụng

Biểu thị các đại lượng thay đổi bởi các biến : các độ dài x và y ở các ví

dụ 1.2.2.1; 1.2.2.3; độ dài x ở ví dụ 1.2.2.5 ; góc α;sin , osα c αở ví dụ 1.2.2.6 Ngoài cách biểu thị trực tiếp đại lượng phải tìm cực trị theo các biến

(diện tích S ở các ví dụ 1.2.2.4; 1.2.2.5; 1.2.2.6), còn có thể biểu thị gián tiếp

thông qua các tỉ số trung gian (tỉ số S

S

′

ở các ví dụ 1.2.2.1 và 1.2.2.3) Sau đó

sử dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm cực trị của biểu thức đang xét

Ví dụ 1.2.2.7: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Gọi đường

vuông góc từ điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là

Lúc đó H vừa là trực tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC, nên ABC là tam

Lập luận như trên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Ví dụ 1.2.2.9: Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a, b, c tương ứng,

đường cao AH=h Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một hình chữ nhật MNPQ sao cho hình chữ nhật này có diện tích lớn nhất, biết M thuộc AB, N thuộc AC, P,Q thuộc BC

Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC Suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Ví dụ 1.2.2.10: Trong các tam giác nội tiếp cùng một đường tròn, tam

giác nào có diện tích lớn nhất?

Lời giải

Xét tam giác ABC nội tiếp (O,R) Giả sử BC là cạnh nhỏ nhất của tam giác

ABC Gọi A′ là điểm chính giữa cung BC chứa A

Ta có S ABC ≤S A BC′ Kẻ A H′ ⊥BC , do BC là cạnh nhỏ nhất nên BAC ≤ 60 ,

vậy nên O không nằm ngoài đoạn thẳng A H′

4

3 3

43

Ví dụ b Trong tất cả các hình chóp tam giác nội tiếp hình nón cho

trước, tìm hình chóp tam giác có thể tích lớn nhất

Ví dụ 1.2.2.11: Trong tam giác ABC kẻ các đường phân giác

1 1 , 1

AA , BB CC Gọi khoảng cách từ điểm A1đến AB là

1

a , khoảng cách từ điểm

2 khi và chỉ khi tam giác ABC là

tam giác đều

Ví dụ 1.2.2.12: Lấy điểm D đối xứng với tâm I của đường tròn nội tiếp

tam giác ABC qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp nó Chứng

minh:CD2=4R2−AC BC

Lời giải

Gọi a, b, c là độ dài cạnh đối diện với

các góc tương ứng của ∆ABC I và O, r

và R là tâm và bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC

Theo công thức đường trung tuyến CO

của ∆DIC, ta có

Kẻ IF⊥BC,IF=r CF, =(p c− )2với 2p=a+b+c

Trong tam giác vuông CFI có CI2=r2+(p c− )2

Theo công thức Ơ-le: OI2=R2−2Rr

C

1.3 Bài toán dựng hình

1.3.1 Những bài toán dựng hình cơ bản

∗ Các tiên đề

Ta thừa nhận các tiên đề sau đây, quy định những hình nào là dựng được

TĐ 1: Đường thẳng đi qua hai điểm dựng được là dựng được

TĐ 2: Đường tròn là dựng được nếu tâm dựng được và bán kính bằng độ dài một đoạn thẳng dựng được

TĐ 3: Nếu H1 và H2 là các hình dựng được thì giao H1∩H2 là dựng được

TĐ 4: Nếu hình H là dựng được thì có thể dựng được một điểm M tùy ý thuộc hình H, hoặc một điểm N tùy ý không thuộc hình H

TĐ 5: Các hình đã cho xem là dựng được

∗ Phương pháp đại số trong dựng hình

Giả sử a, b, c, là độ dài của các đoạn thẳng nào đó Ta cần dựng đoạn thẳng

có độ dài x biểu thị bởi x= f a b c( , , , ) trong đó f a b c( , , , ) là một biểu

thức nào đó đối với a, b, c Dễ dàng thấy rằng có thể dựng được các đoạn thẳng có độ dài x biểu thị bởi:

Chúng được xem là các tiên đề trong dựng hình bằng đại số

1.3.2 Ví dụ minh họa

1.3.2.1 Dạng toán dựng hình khi cho trước các yếu tố cần dựng

Ví dụ 1.3.2.1.1: Cho các đoạn thẳng có độ dài a, b, c, d, e Dựng các

đoạn thẳng có độ dài x biểu diễn bởi các công thức sau:

Ví dụ 1.3.2.1.2: Cho một đoạn thẳng AB=a Hãy dựng điểm C trên

đoạn AB sao cho AB.BC AC= 2( phép chia Gônđen)

25

+ Dựng y= ab

+ Dựng z= a2−b2

+ Dựng x= yz

Ví dụ 1.3.2.1.4: Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong đường

tròn tâm O, bán kính R cho trước Áp dụng kết quả đó dựng một ngũ giác đều

nội tiếp trong một đường tròn cho trước

sin 72 sin108 2.sin 36 cos36 3sin 36 4sin 36

2cos36 3 4sin 36 2cos36 3 4 1 cos 36

• Ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn tâm O, bán kính R cho

trước là dựng được nếu dựng được đoạn thẳng có độ dài

10 2 52

+ Dựng giao điểm K của (I, IB) và tia OA + Dựng trung trực của OK cắt (O) tại M, N + Dựng giao điểm P khác A của (O) và (M, MA) + Dựng giao điểm Q khác B của (O) và (N, NA) Ngũ giác AMPQN là ngũ giác đều cần dựng

+ Dựng đường kính AB của (O, R)

+ Dựng điểm chính giữa D của cung AB của (O)

+ Dựng trung điểm G của đoạn OB

+ Dựng giao điểm H của tia OA và của đường tròn (G; GD)

+ Dựng giao điểm K, N của (D; DH) và (O; R)

+ Dựng giao điểm L khác D của (O) và (K;KD)

+ Dựng giao điểm M khác D của (O) và (N; ND)

Ngũ giác MNDKL là ngũ giác đều cần dựng

−

M L

N K

D

A