Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán đại số trong chương trình trung học phổ thông

Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một sốbài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số 162.1.. Thực tế, có nhiều phương pháp để giải các bài toán về phương trình,hệ phương

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian làm khóa luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bảnthân, em còn nhận được sự giúp đỡ của bạn bè, người thân, nhất là cácthầy giáo cô giáo trong khoa Toán - Công Nghệ, Trường Đại họcHùng Vương

Qua đây em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sự biết ơn sâu sắc vàtoàn diện tới các thầy giáo, cô giáo đặc biệt là cô Nguyễn Thị ThanhTâm Cô đã giành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo

em trong quá trình thực hiện khóa luận, đồng thời giúp em lĩnh hội đượcnhững kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho em tác phong khi thực hiệncông việc

Do khóa luận được thực hiện trong một thời gian ngắn, nên chắc chắnkhông tránh khỏi những thiếu sót Vì thế em rất mong nhận được những ýkiến đóng góp quý báu của các thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.Cuối cùng em xin chúc các thầy giáo, cô giáo sức khỏe, hạnh phúc vàthành đạt, chúc các thầy cô có nhiều các công trình nghiên cứu khoa họcđóng góp cho sự nghiệp phát triển của trường Chúc Trường Đại học HùngVương ngày càng thu hút được học sinh trong các kì thi tuyển sinh Đạihọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Việt Trì, ngày 30 tháng 4 năm 2012

Người viết khóa luậnSinh viên

Nguyễn Thị Thu

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Mục lục

1.1 Lôgic mệnh đề 61.2 Hàm mệnh đề 71.3 Điều kiện cần và đủ 111.4 Một số định lí cơ bản trong lí thuyết phương trình, bất

phương trình 13

Chương 2 Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một sốbài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số 162.1 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm

duy nhất" 162.2 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm

thỏa mãn một điều kiện cho trước" 262.3 Một số bài toán khác 31

Chương 3 Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một sốbài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa

3.1 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm

duy nhất" 413.2 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm

thỏa mãn một điều kiện cho trước" 473.3 Một số bài toán khác 54

có nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện chotrước Tuy nhiên việc giải hoặc đề xuất ra hướng đi đúng không phải đơngiản Thực tế, có nhiều phương pháp để giải các bài toán về phương trình,

hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số nhưphương pháp biến đổi tương đương, phương pháp hàm số, phương phápđiều kiện cần và đủ Phương pháp điều kiện cần và đủ là một phươngpháp rất hiệu quả để giải lớp các bài toán chứa tham số

Trên thực tế, việc giải quyết một số bài toán về phương trình, hệphương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số còngặp nhiều khó khăn Với mong muốn giúp các bạn học toán có thêm tàiliệu tham khảo để khắc phục những khó khăn khi giải bài toán về phươngtrình, bất phương trình chứa tham số tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Sử dụngphương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán đại sốtrong chương trình trung học phổ thông"

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Hệ thống bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán

về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trìnhchứa tham số

Nghiên cứu mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán từ đóđưa ra định hướng giải cho một số dạng bài tập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khóa luận này nghiên cứu một số bài toán về phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số được giải bằngphương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các giáo trình tài liệu liênquan đến phương pháp điều kiện cần và đủ và một số bài toán về phươngtrình, bất phương trình chứa tham số để phân loại và hệ thống hóa cáckiến thức

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiếnthức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếphướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng nhưhình thức của khóa luận

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về lôgicmệnh đề, điều kiện cần và đủ Sử dụng điều kiện cần và đủ vào bài toángiải phương trình, bất phương trình chứa tham số

Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh phổthông, sinh viên đại học, cao đẳng và các bạn yêu môn toán

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dungkhóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trình bày một số kiến thức về cơ sở lôgic toán: Lôgicmệnh đề, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ; một số định

lí, mệnh đề của lí thuyết phương trình được áp dụng trong quá trình giảitoán

Chương 2: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bàitoán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Trong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiệncần và đủ vào giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình liênquan đến tham số Nội dung chính của chương này là phương pháp giảicác dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp điều kiện cần

và đủ

Chương 3: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bàitoán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham sốTrong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiệncần và đủ vào giải một số bài toán về bất phương trình, hệ bất phươngtrình liên quan đến tham số Nội dung chính của chương này là phươngpháp giải các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương phápđiều kiện cần và đủ

4) Số 57 có phải là số nguyên tố không? - không là mệnh đề.

Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng màcũng không sai Cũng không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai

Để chỉ các mệnh đề chưa xác định tính đúng, sai ta dùng các chữ cái

in thường: p, q, r và gọi chúng là các biến mệnh đề

Ta quy ước viết p = 1 khi p là mệnh đề đúng, p = 0 khi p là mệnh đềsai

∗) Các phép toán lôgic trên các mệnh đề

• Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề p, kí hiệu là p ( đọc là " không p") là một mệnh

đề sai khi p đúng và đúng khi p sai

mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp cònlại.

Ví dụ: Mệnh đề: " −2 ∈ Z " nhưng " −2 /∈ N " là hội của hai mệnh

Ví dụ: Mệnh đề " nếu 2 = 2 thì 4 = 4" là mệnh đề đúng theo địnhnghĩa của phép kéo theo, đồng thời cũng là một mệnh đề đúng của toánhọc vì từ 2 = 2 suy ra 4 = 4 bằng cách bình phương hai vế của đẳng thức

2 = 2

• Phép tương đương

Cho hai mệnh đề p, q Mệnh đề " p tương đương q", kí hiệu là p ⇔ q,

là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q hoặc cùng đúng hoặc cùngsai và sai trong các trường hợp còn lại

Ví dụ: Mệnh đề " Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếuhai đường chéo giao nhau tại điểm giữa mỗi đường " là mệnh đề đúng

1.2 Hàm mệnh đề

∗) Định nghĩa

Xét câu " x là số nguyên tố" (x ∈ N ) ta thấy đây không phải là mộtmệnh đề vì ta không thể xác định được là đúng hay sai Nhưng khi thay xbởi một số tự nhiên cụ thể thì ta được một mệnh đề

Với x = 3 ta được mệnh đề đúng " 3 là số nguyên tố "

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Với x = 4 ta được mệnh đề sai " 4 là số nguyên tố "

Ta gọi câu " x là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề một biến xác địnhtrên tập N các số tự nhiên

Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thaybiến đó bằng một phần tử cụ thể thuộc một tập hợp nhất định

Ta kí hiệu một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập X bởi P(x),Q(x), F(x),

Nó trở thành mệnh đề đúng với x = 1 và x = −3

2, trở thành mệnh đềsai với các giá trị khác của x

+ Phương trình 2x − 3y = 5 là một hàm mệnh đề hai biến

Chú ý: Người ta coi mệnh đề là hàm mệnh đề không biến

∗) Sự tương đương lôgic giữa hai hàm mệnh đề.

Giả sử P(x) và Q(x) là hai hàm mệnh đề cùng xác định trên tập X Tanói rằng P(x) tương đương lôgic với Q(x) và kí hiệu:

P (x) = Q(x)nếu và chỉ nếu EP (x) = EQ(x)

Ví dụ: Hai bất phương trình tương đương là hai hàm mệnh đề tươngđương lôgic với nhau Chẳng hạn hai bất phương trình:

2x2 − 3 < −x2x2 + x − 3 < 0

là hai bất phương trình tương đương và đó cũng là hai hàm mệnh đềtương đương lôgic với nhau

∗) Các phép toán lôgic trên các hàm mệnh đề

Cho hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) cùng xác định trên tập X

• Phép phủ định

Phủ định của P(x) kí hiệu là P (x), là một hàm mệnh đề xác định trêntập X và nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X sao cho P (a) = 0 vànhận giá trị 0 trên miền đúng của P(x), nghĩa là:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Ví dụ: Hệ phương trình

(3x + 5y = 2

EP (x)⇒Q(x) = CX(EP (x)) ∪ EQ(x)

Ví dụ: Hàm mệnh đề " Nếu x là số nguyên tố thì x là số lẻ" xác địnhtrên N và có dạng P (x) ⇒ Q(x), trong đó:

Tương đương của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x) ⇔ Q(x)

là một hàm mệnh đề xác định trên tập X và nhận giá trị 1 trên tập cácphần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) và nhận giá trị 0 trong các trường hợp

còn lại, nghĩa là:

EP (x)⇔Q(x) = (X − (EP (x) ∪ EQ(x))) ∪ (EP (x)∩ EQ(x))

Ví dụ: Hàm mệnh đề " n chia hết cho 6 khi và chỉ khi n chia hết cho

2 và cho 3" xác định trên N và có dạng P (n) ⇔ Q(n), trong đó:

Các mệnh đề toán học thường được viết dưới dạng mệnh đề kéo theo

p ⇒ q, trong đó p là giả thiết, q là kết luận

Nếu ta gọi p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì:

q ⇒ p (2) là mệnh đề đảo của (1)

p ⇒ q (3) là mệnh đề phản của (1)

q ⇒ p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)

Ta gọi 4 mệnh đề (1) (2) (3) (4) là những mệnh đề liên hợp với nhau

Ví dụ: Nếu ta gọi mệnh đề: " Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chiahết cho 3 " (a) là mệnh đề thuận, ta có:

Mệnh đề " Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6" (b) làmệnh đề đảo của (a)

Mệnh đề " Nếu một số không chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho3" (c) là mệnh đề phản của (a)

Mệnh đề " Nếu một số không chia hết cho 3 thì nó không chia hết cho6" (d) là mệnh đề phản đảo của (a)

∗) Sự liên quan giữa các mệnh đề liên hợp

Từ đẳng thức : p ⇒ q ≡ q ⇒ p suy ra q ⇒ p ≡ p ⇒ q

Vậy mệnh đề thuận tương đương lôgic với mệnh đề phản đảo

Mệnh đề đảo tương đương lôgic với mệnh đề phản

Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q là đúng thì

ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà không cần phải chứng

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

minh Khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luận q ⇒ p là sai

∗) Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

Cho mệnh đề p và q

Nếu mệnh đề p ⇒ q là đúng thì p gọi là điều kiện đủ để có q

Nếu mệnh đề p ⇒ q là đúng thì q gọi là điều kiện cần để có p

Vì vậy mệnh đề toán học có dạng p ⇒ q có thể được phát biểu bằngnhững cách khác nhau:

Các mệnh đề toán học có dạng p ⇔ q thường được phát biểu bằngnhững cách sau:

Nếu p thì q và đảo lại

Có p khi và chỉ khi có q

p xảy ra nếu và chỉ nếu q xảy ra

Điều kiện cần và đủ để có p là có q

Ví dụ: Ta có 2 mệnh đề

p: " Tam giác MNP là một tam giác đều"

q: " Tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng 60"

Ta thấy cả hai mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p đều đúng Do vậy ta có thểnói: " Điều kiện cần và đủ để tam giác MNP là tam giác đều là tam giácMNP là một tam giác cân và có một góc bằng 60."

∗) Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải các phương trình,bất phương trình chứa tham số

Cho một bài toán có ẩn số là x thuộc miền Dx, tham số là m thuộcmiền Dm Ta cần tìm điều kiện của tham số m để bài toán trên thỏa mãn

một tính chất P nào đó ( thí dụ tìm m để bài toán có nghiệm duy nhất,hoặc tìm m để bài toán có nghiệm đúng ∀x ∈ Ωx ⊂ Dx, )

Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải bài toán trên được tiến hànhtheo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần

Giả sử bài toán thỏa mãn tính chất P mà đề bài yêu cầu Ta dựa vàođặc thù của tính chất P, dạng cấu trúc của bài toán, miền xác đinh Dxtừ

đó tìm được một ràng buộc nào đó đối với m Ràng buộc ấy chính là điềukiện cần để thỏa mãn tính chất P và giả sử nó có dạng m ∈ Ωm ⊂ Dm.Điều đó có nghĩa là: Nếu m0 ∈ Ω/ m thì chắc chắn ứng với giá trị m0 bàitoán đã cho không có tính chất P

Bước 2: Điều kiện đủ

Giả sử m ∈ Ωm Ta phải tìm xem trong các giá trị ấy của m, giá trịnào làm cho bài toán đã cho thỏa mãn tính chất P Nói chung ở bước hai,

ta chỉ phải xét các bài toán cụ thể ( thường là bài toán không có tham số,hoặc nếu có thì bài toán đã đơn giản hơn nhiều) Dựa vào đặc trưng củacác bài toán ấy, ta vận dụng các kiến thức cần thiết về lí thuyết phươngtrình, bất phương trình để giải chúng Kết quả của phép giải cho phép taloại đi khỏi tập Ωm các giá trị không thích hợp của m Kết hợp cả hai bướctrên ta tìm được lời giải của bài toán đã cho

Như vậy ý tưởng của phương pháp điều kiện cần và đủ là rõ ràng vàđơn giản Tuy nhiên điều quan trọng là ở chỗ: làm thế nào để phát hiện rađiều kiện cần một cách hợp lí, và chọn ở đó điều kiện đủ một cách đúngđắn

1.4 Một số định lí cơ bản trong lí thuyết phương

trình, bất phương trình

∗) Định lí Viét đối với phương trình bậc hai

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Bằng cách viết lại ax2 + bx + c dưới dạng a(x − x1)(x − x2), sau đóđồng nhất các hệ số của các lũy thừa tương ứng, sẽ cho ta kết quả trên

∗) Hệ phương trình dạng

(

F1(x) = F2(x) (1)

G1(x) = G2(x) (2)tương đương với một trong các hệ phương trình sau đây

∗) Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D

Đặt

m = minx∈D f (x), M = max

x∈D f (x) = M

Mệnh đề 2 Giả sử D = [a, b] Nếu f (a).f (b) < 0 thì phương trình

f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b)

b) m> α là điều kiện cần và đủ để bất phương trình f (x) > α nghiệmđúng với mọi x ∈ D.

x∈D g(x)thì hệ trên thỏa mãn với mọi x ∈ D

Mệnh đề 6

Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D

Giả sử trên miền x ∈ D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luônnghịch biến Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm, thì nghiệm là duynhất

Chương 2

Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán về phương trình,

hệ phương trình chứa tham số

2.1 Bài toán"Tìm điều kiện của tham số để bài toán

có nghiệm duy nhất"

Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y, thuộcmiền Dx, Dy, tham số là m thuộc miền Dm Tìm điều kiện của tham số

m để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm duy nhất

Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần dựa vào tính đối xứng củabiểu thức có mặt trong bài toán

Chẳng hạn: Cho phương trình f (x, m) = 0 Tìm điều kiện của m đểphương trình có nghiệm duy nhất

Cụ thể: Giả sử bài toán đã cho có nghiệm x = x0 Dựa vào cấu trúccủa phương trình, ta suy ra do x = x0 là một nghiệm nên x = g(x0) cũng lànghiệm ( trong đó g(x0) là biểu thức nào đó của x0) Do tính duy nhất tasuy ra x0 = g(x0) Giải phương trình này thay nghiệm của nó vào phươngtrình ban đầu ta được điều kiện cần đối với m

Do tính đa dạng và phức tạp của bài toán " Tìm điều kiện của tham

số để bài toán có nghiệm duy nhất " ta khó có thể đưa ra phương phápgiải tổng quát cho tất cả các bài toán, mà tùy từng bài cụ thể ta có thểtiếp cận và giải theo các hướng sau

• Đối với những bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình,bất phương trình có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng trực tiếp địnhnghĩa, hoặc tính chất của hàm số chẵn ( như đối với một số hàm số:

y = x2, y =| x |, y = cosx, ) Nếu gọi x0 là nghiệm của phương trình, hệ

phương trình thì −x0 cũng là nghiệm của phương trình, hệ phương trình.

Do vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = −x0 hay suy ra

x0 = 0 Từ đó ta sẽ tìm được điều kiện để phương trình có nghiệm duynhất

• Ta cũng có thể sử dụng tính chất đối xứng nghiệm của hệ phươngtrình đối xứng ( hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ phương trình đối xứngloại 2 ) Nếu gọi (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của

hệ Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 Từ đó ta sẽ tìm được điềukiện cần và sẽ giải quyết được yêu cầu bài toán đặt ra

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x2 − 2msin(cosx) + 2 = 0 cónghiệm duy nhất

Lời giảiNhìn vào phương trình thấy hàm y = x2 và hàm y = cosx là các hàmchẵn, nên các biểu thức chứa ẩn x của phương trình đều là hàm chẵn

1 Điều kiện cần

Giả sử phương trình có nghiệm là x = x0 Nếu x = x0 là nghiệm thì

x = −x0 cũng là nghiệm Từ tính duy nhất nghiệm suy ra x0 = −x0 hay

x0 = 0 Thay vào phương trình đã cho, ta có:

2,

π

2] suy ra ∀x ∈ R thì hàm y = sin(cosx) là hàmđồng biến Kết hợp với sin1 > 0 ta có

2sin(cosx)

sin1 = 2, ∀x ∈ R (2).

Mặt khác x2 + 2 > 2, ∀x ∈ R (3)

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Từ (4) suy ra x = 0 Thay vào (5) thấy đúng Vậy hệ phương trình (1)

có nghiệm duy nhất x = 0

Vậy với m = 1

sin1 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Nhận xét: Với các bài toán tìm điều kiện của tham số để bài toán

có nghiệm duy nhất mà các biểu thức chứa ẩn đều là hàm chẵn thì ta sửdụng chính định nghĩa của hàm chẵn để giải tức là nếu x0 là nghiệm thì

−x0 cũng là nghiệm của bài toán Từ đó tìm được điều kiện cần và thử lạitìm được điều kiện đủ của bài toán

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

2 vào (1), ta được m = 3

√2

Đó chính là điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất

2 Điều kiện đủ

2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Nhận xét: Bài toán trên có sự đối xứng giữa x0 và −1 − x0 Nên nếugọi x = x0 là nghiệm thì ta tìm được nghiệm thứ hai là: x = −1 − x0 Từ

đó dựa vào tính duy nhất ta tìm được điều kiện cần của bài toán

Tổng quát: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2n√

x + a + 2n√

b − x = m

Giả sử phương trình có nghiệm x = α Vì phương trình có nghiệm

x = α, nên x = (−α − a + b) cũng là nghiệm của phương trình Vì nghiệm

là duy nhất nên α = (−α − a + b) ⇔ α = −a + b

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Với m = 2np22n−1(a + b), khi đó phương trình đã cho có dạng:

2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy với m = 2np22n−1(a + b) thì phương trình đã cho có nghiệm duynhất

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Thay x0 = 1 vào phương trình ta được m = 4

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy với m = 4 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Nhận xét: Bài toán trên có sự đối xứng giữa x0 và 2 − x0 Nên nếugọi x = x0 là nghiệm thì ta tìm được nghiệm thứ hai là: x = 2 − x0 Từ đódựa vào tính duy nhất ta tìm được điều kiện cần của bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

(

x + y + xy = m

x2 + y2 = mLời giải

Hệ trên là một hệ đối xứng loại 1 ( khi ta thay đổi đồng thời x và ycho nhau thì từng phương trình trong hệ không đổi)

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

Dễ thấy hệ này vô nghiệm

Vậy khi m = 8 thì hệ cũng có nghiệm duy nhất

Tóm lại, với m = 0 hoặc m = 8 thì hệ phương trình có nghiệm duynhất

Nhận xét: Đối với những bài toán mà hệ ở dưới dạng đối xứng ta sửdụng tính đối xứng nghiệm của hệ tức là nếu (x0, y0) là nghiệm của hệ thì(y0, x0) cũng là nghiệm của hệ Dựa vào tính duy nhất ta tìm được điềukiện cần của bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

(

2|x|+ | x |= y + x2 + m

x2 + y2 = 1

Lời giảiNhận xét: Hệ phương trình trên có các biểu thức chứa biến x đều làhàm chẵn như là x2 và | x |

1 Điều kiện cần

Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) Vì (x0, y0) là nghiệm của hệ nên (−x0, y0)cũng là nghiệm của hệ Do hệ có nghiệm duy nhất nên x0 = −x0 ⇒ x0 = 0

Thay vào hệ đã cho, ta có

(

1 = y0 + m

y02 = 1

⇒ m = 0 hoặc m = 2Vậy m = 0 hoặc m = 2 là điều kiện cần của bài toán

+) Với m = 2, hệ trở thành

(

2|x|+ | x |= y + x2 + 2 (3)

x2 + y2 = 1 (4)

Rõ ràng hệ (3) (4) nhận ít nhất hai nghiệm là (1, 0) và (−1, 0) Vậy

m = 2 không thỏa mãn điều kiện đầu bài

Tóm lại, với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Bài toán trên có các biểu thức chứa ẩn đều là hàm chẵnnên ta sử dụng chính định nghĩa của hàm chẵn để giải tức là nếu x0 là

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

nghiệm thì −x0 cũng là nghiệm của bài toán Dựa vào tính duy nhất củanghiệm từ đó tìm được điều kiện cần

Ví dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

(√

x + 1 +√

x + y = 2m + 1 (2)Lời giải

Hệ trên là hệ phương trình đối xứng loại 1

Do vậy nếu gọi (u0, v0) là nghiệm của hệ phương trình thì (v0, u0) cũng

là nghiệm của hệ phương trình Từ đó suy ra nếu (x0, y0) là nghiệm của

hệ phương trình ban đầu thì (y0 − 2, x0 − 2) cũng là nghiệm của hệ đó

⇒p2(2m + 1) = m

⇔

(

m > 02(2m + 1) = m2

⇔ m = 2 +√6Vậy m = 2 +√

6 là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

⇒ u = v = 2 +

√62

√

y − 1 = 2 +

√62

y = 7 + 2

√62

là nghiệm duy nhất của hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 2 +√

6

Chú ý: Có những bài toán chưa ở dạng đối xứng thì ta phải đặt ẩnphụ để đưa về dạng đối xứng Ở bài này hệ phương trình cho ban đầu saukhi đặt ẩn phụ đã trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1 Từ đó dựavào tính duy nhất của nghiệm việc giải quyết bài toán trở nên đơn giảnhơn nhiều

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

2.2 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán

có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước"

Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y, thuộcmiền Dx, Dy, tham số là m,n thuộc miền Dm, Dn Tìm điều kiện củatham số để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm thỏa mãn một điềukiện cho trước

Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần bằng cách sử dụng điểmthuận lợi

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0

Nhận xét: Việc lựa chọn điểm thuận lợi trong mỗi bài toán khác nhau

là khác nhau.Ta không thể đưa ra một cách tìm điểm thuận lợi chung chotất cả các bài toán Với bài toán trên ta chọn điểm thuận lợi là x = 0, làđiểm đầu mút của (0; +∞)

Ví dụ 2: Tìm a,b để phương trình sau nghiệm đúng với ∀x ∈ R

apx2 + 1 −px2 + bx + 1 = 0 (1)

Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.

Nhận xét: Với bài toán nhiều hơn một tham số ta sẽ thấy tầm quantrọng của việc lựa chọn điểm thuận lợi cùng với việc xác định các giá trịtham số được thực hiện tuần tự Ở bài trên ta chọn điểm thuận lợi là

x = 0, là điểm giữa của khoảng (−∞; +∞)

Ví dụ 3: Tìm a,b để phương trình sau đúng (∀x ∈ R)

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

+) Nếu a = −1; b = 0 thì (1) thành

−cosx + 1 = cosx − 1 ⇔ cosx = 1 (5)

Rõ ràng (5) không thể đúng (∀x ∈ R ) vậy a = −1; b = 0 không thỏamãn

Tóm lại b = 0 và a = 0; a = 1 và b = 0 là điều kiện cần và đủ để (1)đúng (∀x ∈ R )

Nhận xét: Việc lựa chọn điểm thuận lợi tùy thuộc vào đặc điểm, yêucầu của từng bài toán như bài toán trên ta chọn x = 0 là điểm chính giữacủa khoảng (−∞, +∞) Từ đó việc giải quyết bài toán sẽ trở nên đơn giảnhơn

Ví dụ 4: Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b ∈ R

((x2 + 1)a+ (b2 + 1)y = 2

a + bxy + x2y = 1

Rõ ràng hệ (I) luôn có nghiệm, còn hệ (II) có nghiệm khi a = 1.

Vậy điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm với ∀b ∈ R là a = 0 hoặc

Vậy hệ (3) (4) vô nghiệm khi b 6= 0 ⇒ a = 0 ( loại)

+) Với a = 1

Lúc đó ta có

(

x2 + (b2 + 1)y = 1 (5)bxy + x2y = 0 (6)

Rõ ràng ∀b ∈ R hệ (5) (6) đã nhận x = y = 0 là nghiệm

Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm ∀b ∈ R.Nhận xét: Dựa vào giả thiết cho và yêu cầu của bài toán mà ta lựachọn điểm thuận lợi sao cho hợp lí Bài toán trên yêu cầu ta tìm điều kiện

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu

của a để hệ có nghiệm với mọi b ( tức là với mọi b ∈ (−∞, +∞)) chínhvậy ta thấy với b=0 thì hệ có nghiệm Vậy ta chọn điểm thuận lợi là b=0

là điểm chính giữa của khoảng (−∞, +∞)

Ví dụ 5: Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b ∈ R

(

2bx+ (a + 1)by2 = a2(a − 1)x3 + y2 = 1Lời giải

Vậy hệ chắc chắn vô nghiệm khi b > 1

2.+) Với a = −1, ta có

là các điểm đặc biệt thì việc giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều