Một số phương pháp giải các bài toán biên Elliptic

Các phương pháp trên có tên gọi là các phương pháp chia miền.Tóm lại, có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán biên elliptic,việc có thể tìm được nghiệm tường minh hay chỉ có thể gi

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 6

1.1.1 Không gian Ck( ¯Ω) 6

1.1.2 Không gian Lp(Ω) 6

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 7

1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz Định lí nhúng 8 1.1.5 Khái niệm vết của hàm 9

1.2 Lí thuyết về phương trình elliptic 11

1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến tính 11

1.2.2 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 11

1.2.3 Các bài toán biên thường gặp 12

1.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 14

1.3 Phương pháp lưới 17

1.4 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử 20

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC 23 2.1 Phương pháp chia miền 23

2.1.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền 23

2.1.2 Phương pháp chia miền Saito-Fujita 27

2.1.3 Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh Quang 33

2.2 Phương pháp sai phân 39

2.2.1 Tính nhất quán của lược đồ sai phân 41

2.2.2 Sự ổn định của lược đồ 42

2.2.3 Các ứng dụng trong cơ học 43

2.2.4 Sai phân hữu hạn cho phương trình elliptic 43

Bài tập 59

2.3 Phương pháp Fourier 60

2.3.2 Giải bài toán Dirichlet trong mặt tròn bằng phương

pháp tách biến (phương pháp Fourier) 60

2.3.3 Giải bài toán Poisson 66

2.3.4 Giải bài toán biên trên hình chữ nhật 69

Bài tập 72

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, toán họcngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, vào các nghành khoa họckhác như: Hóa học, sinh học, tin học, và đặc biệt là trong vật lí Cáchiện tượng vật lí trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải mô

tả bằng các phương trình đạo hàm riêng Mỗi loại phương trình đạo hàmriêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệmphù hợp với hiện tượng vật lí quan sát

Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kĩ thuật thông qua môhình hóa toán học đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trìnhđạo hàm riêng

Các bài toán biên thường được xét đến là các bài toán biên ellipticgồm có: Bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán biên hỗn hợp.Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản (miền hình học làmiền đơn giản, hệ số của phương trình là hệ số hằng, ) có thể tìm đượcnghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, chẳng hạn như phươngpháp Fourier Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minhkhông có hoặc rất phức tạp

Hơn nữa, một số bài toán trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bàitoán tại một số điểm rời rạc nào đó Khi đó, chúng ta buộc phải sử dụngcác phương pháp giải gần đúng, chủ yếu là phương pháp số như phươngpháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp đặc trưng.Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán và hầu hết đưa về việc giảiphương trình đại số tuyến tính cỡ lớn, dẫn đến nhu cầu phát triển cácphương pháp hữu hiệu để giải các hệ phương trình lưới

Tuy nhiên, khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ

số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp nào

đó cho cả miền sẽ gặp rất nhiều khó khăn

Vì vậy trong nhiều năm qua, người ta đã và đang phát triển các phương

pháp với mục đích chính là đưa các bài toán biên trong miền hình học phứctạp về một dãy các bài toán biên trong miền hình học đơn giản để có thể

sử dụng các thuật toán hữu hiệu đã được phát triển cho các miền đơn giảnnày Các phương pháp trên có tên gọi là các phương pháp chia miền.Tóm lại, có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán biên elliptic,việc có thể tìm được nghiệm tường minh hay chỉ có thể giải gần đúngnghiệm của bài toán đó phụ thuộc vào các điều kiện biên tương ứng Vàtrong các trường hợp cụ thể khi giải các bài toán biên elliptic thì việc ápdụng phương pháp nào là hợp lí, giúp ta tìm được nghiệm của bài toán với

độ chính xác cao nhất là một vấn đề cần nghiên cứu Với lí do như vậy em

đã quyết định nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháp giải các bàitoán biên elliptic"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Việcnghiên cứu sẽ giúp ta hiểu rõ hơn về các bài toán biên elliptic, các phươngpháp giải và một số ứng dụng của phương trình elliptic trong vật lí Đồngthời cũng chỉ ra rằng chỉ có một số ít các bài toán biên elliptic có thể tìmđược nghiệm tường minh bằng phương pháp giải tích, còn đa số các bàitoán đó ta chỉ có thể tìm được nghiệm gần đúng bằng các phương phápsố

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là các kiến thức liên quanđến phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic và một số phươngpháp giải các bài toán biên elliptic

Phạm vi nghiên cứu là một số phương pháp giải các bài toán biênelliptic

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương trình elliptic để hệ thốnglại các kiến thức về các bài toán biên elliptic

Nghiên cứu ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm:Phương pháp chia miền, phương pháp sai phân và phương pháp Fourier(phương pháp tách biến)

Lựa chọn, phân loại và đưa ra các ví dụ, bài tập áp dụng ba phươngpháp trên trong việc giải một số bài toán biên elliptic cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, các tài liệu có liên

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

quan đến phương trình elliptic, các bài toán biên và điều kiện biên elliptic,một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic, gồm : Phương pháp chiamiền, phương pháp sai phân (phương pháp lặp) và phương pháp Fourier(phương pháp tách biến) nắm được các khái niệm cơ bản về phương trìnhelliptic và cơ sở của ba phương pháp trên

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa cáckiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Đề tài này hệ thống lại các kiến thức liên quan đếnphương trình elliptic, các bài toán biên elliptic và các phương pháp giảicác bài toán biên đó

Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài giúp tôi hiểu rõ hơn về phương trình elliptic.Đồng thời sản phẩm của đề tài có thể phần nào trợ giúp cho các bạn sinhviên chuyên ngành toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trìnhđạo hàm riêng và các ứng dụng của nó trong vật lí

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dungkhóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm, phương trìnhelliptic, lí thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử, lí thuyết

về phương pháp sai phân, Đây là những kiến thức quan trọng làm nềntảng cho các kết quả sẽ trình bày trong chương sau

Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán biên ellipticTrình bày ba phương pháp giải các bài toán biên elliptic: Phương phápFourier, phương pháp chia miền (phương pháp lặp), phương pháp sai phân(phương pháp lưới) và một số ví dụ, bài tập áp dụng cho từng phươngpháp

Ω là bao đóng của Ω Ta kí hiệu Ck( ¯Ω) (k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm

có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong biên Ω, liên tục trong ¯Ω Ta đưa vào

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong ¯Ω của các hàm và tất

cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k Rõ ràng tập Ck( ¯Ω) với chuẩn(1.1) là một không gian Banach

1.1.2 Không gian Lp(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương Ta kí hiệu

Lp(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Z

Ω

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Trong Lp(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trong Ω Nhưvậy các phần tử của Lp(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏamãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên

Ω Vì

|f (x) + g(x)|p ≤ ( |f (x)| + |g(x)|)p ≤ 2p( |f (x)|p+ |g(x)|p)

nên rõ ràng Lp(Ω) là một không gian vectơ

Với mỗi u ∈ Lp(Ω), ta đưa vào Lp(Ω) chuẩn ||.||p được xác định bởi

||u||p =

(Z

1.1.3 Không gian W1,p(Ω)

Định nghĩa 1.4 Cho Ω là miền trong Rn Hàm u(x) được gọi là khả tíchđịa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x0 ∈ Ωđều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong Ω

Định nghĩa 1.5 Cho Ω là miền trong Rn Giả sử u(x), v(x) là hai hàmkhả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k(Ω), k = k1 + + kn, ki ≥ 0, ki ∈ Z (i = 1, 2, ,n) Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).

Kí hiệu

ku

∂x1k 1 ∂xnk n.Định nghĩa 1.6 Giả sử p là một số thực, 1≤ p < ∞, Ω là miền trong

Rn Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa như sau:

W1,p(Ω) =

u|u ∈ Lp(Ω), ∂u

∂xi ∈ Lp(Ω), i = 1, 2, , n

,

trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

Với p = 2, ta kí hiệu W1,2(Ω) = H1(Ω), nghĩa là

H1(Ω) =

u|u ∈ L2(Ω), ∂u

∂xi ∈ L2(Ω), i = 1, 2, , n



1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz Định lí nhúng

Định nghĩa 1.8 Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nó giớinội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các hệ tọa độđịa phương x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n và m hàm ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r = 1, 2, ,

m liên tục trong các khối (n - 1) chiều K(r) sao cho

i) Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn ít nhất một hệ tọa độ dạng

x = (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1, ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1))ii) Các điểm x = (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1, x(r)n ) thỏa mãn

|x(r)i | < α, i = 1, 2, , n − 1

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

và

ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) < x(r)n < ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) + β

hoặc

ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) − β < x(r)n < ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1)

nằm trong hoặc nằm ngoài ¯Ω

iii) Mỗi hàm ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r = 1, 2, , m thỏa điều kiện chitz trên khối K(r), tức là với mọi (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), (y1(r), y2(r), , yn−1(r) ) ∈

Lips-K(r), tồn tại hằng số dương L sao cho

|ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) − ar(y1(r), y2(r), , yn−1(r) )| ≤

≤ L[(x(r)1 − y1(r))2 + + (x(r)n−1− yn−1(r) )2]1/2.Định lý 1.9 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó:

Định nghĩa 1.10 Không gian Sobolev W01,p(Ω) được định nghĩa như cácbao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ωtương ứng với chuẩn của W1,p(Ω)

Không gian H01(Ω) được định nghĩa bởi

Định lý 1.12 (Định lí vết)

Giả sử Ω là tập mở trong Rn với biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó,tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục

γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω)sao cho với bất kì u ∈ H1(Ω) ∩ C0( ¯Ω) ta có γ(u) = u |∂Ω Hàm γ(u) đượcgọi là vết của u trên ∂Ω

Định nghĩa 1.13 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian

H1/2(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là:

ii) Tồn tại một hằng số Cγ(Ω) sao cho:

||γ(u)||H1/2 (∂Ω) ≤ Cγ(Ω)||u||H1 (Ω), ∀u ∈ H1(Ω)

Khi đó, Cγ(Ω) được gọi là hằng số của vết

Bổ đề 1.15 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian H1/2(∂Ω)

||ug||H1 (Ω) ≤ C1(Ω)||g||H1/2 (∂Ω), ∀g ∈ H1/2(∂Ω)

Bổ đề 1.16 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó

H01(Ω) = {u|u ∈ H1(Ω), γ(u) = 0}

Định lý 1.17 (Bất đẳng thức Poincare)

Tồn tại hằng số CΩ sao cho:

||u||L2 (Ω) ≤ CΩ||∇u||L2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc hai tuyến tínhXét phương trình tuyến tính cấp hai:

b2− ac < 0 phương trình (*) có hai nghiệm cùng dấu Theo cách phân loại

ở trên ta có kết luận sau:

i) Phương trình (1.4) là phương trình hyperbolic nếu b2 − ac > 0.ii) Phương trình (1.4) là phương trình parabolic nếu b2 − ac = 0.iii) Phương trình (1.4) là phương trình elliptic nếu b2 − ac < 0

lấy tích phân ta được:

−Z

ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L2(Ω)

Định nghĩa 1.18 Giả sử u ∈ H1(Ω), f ∈ L2(Ω), u được gọi là nghiệmyếu của phương trình (1.5) nếu (1.7) được thỏa mãn

Mệnh đề 1.19 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.5) và u ∈

C2(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −∆u = f

Chứng minh

Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.5), tức là u ∈ H1(Ω) và

ta có (1.7) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C2(Ω) ta suy

1.2.3 Các bài toán biên thường gặp

• Bài toán Dirichlet

Xét bài toán:

(

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

- Nghiệm yếu của bài toán (1.8) là nghiệm yếu của phương trình

−∆u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm

u ∈ H1(Ω) thỏa mãn (1.10) với mọi v ∈ C0∞(Ω) ⊂ H01(Ω)

- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.8) và u, f, ϕ đủ trơn thì u lànghiệm theo nghĩa cổ điển

• Bài toán Neumann

trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C( ¯Ω), u ∈ C2( ¯Ω) là nghiệm cổ điển

Nhân hai vế của phương trình −∆u = f với v ∈ H1(Ω) rồi lấy tíchphân ta được:

−Z

Nhận xét:

Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ có một loại điềukiện biên Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp Xét bài toánsau:

V = {v ∈ H1(Ω), v |Γ1 = 0}

Giả sử w ∈ H1(Ω) : w |Γ1 = ϕ Khi đó, nghiệm yếu của phương trình

−∆u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H1(Ω) sao cho u − w ∈ V

|B(v, u)| ≤ k ||v||||u||, ∀u, v ∈ H

và tồn tại α > 0 sao cho

B(v, v) ≥ α||v||2, ∀v ∈ H

Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễntrong dạng

F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và

||z|| ≤ 1

α||F ||

(Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F (v)

có duy nhất nghiệm z ∈ H thỏa mãn ||z|| ≤ 1

α||F ||)

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

• Bài toán Dirichlet thuần nhất

• Bài toán Dirichlet không thuần nhất

Vì ϕ ∈ H1/2(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H1(Ω) sao cho w|∂Ω = ϕ

Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.16) là hàm u ∈ H1(Ω) thỏa mãnđiều kiện u − w ∈ H01(Ω) và

B(u, v) = (f, v)L2 (Ω), ∀v ∈ H01(Ω),trong đó

Ta đi đánh giá nghiệm: Theo định lí Lax-Milgram, từ (1.17) ta có

||z||H1 (Ω) ≤ 1

α

sup

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An



||w||H1 (Ω)

Do ánh xạ vết liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho

||w||H1 (Ω) ≤ C||ϕ||H1/2 (∂Ω).Kết hợp các điều kiện trên ta suy ra

- Rời rạc hóa miền Ω Sai phân hóa điều kiện bờ (biên)

- Thay toán tử vi phân bằng toán tử sai phân

- Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thu được

- Khảo sát sự hội tụ và ổn định của lược đồ sai phân

Trước hết, ta chọn bước lưới theo x, y là h, l tương ứng Kẻ trên miền

Ta sẽ tìm gần đúng nghiệm u tại các điểm của Ωh Nếu lưới càng mauthì nghiệm gần đúng cho ta hình dung nghiệm của bài toán liên tục càngchính xác hơn

Bây giờ chúng ta chuyển sang xấp xỉ các điều kiện biên (bờ)

1 Bài toán Dirichlet

Ta dùng phương pháp nội suy tuyến tính để biểu diễn uA qua uC và

2 Bài toán Neumann

Kẻ pháp tuyến từ Q cắt Γ := ∂Ω tại Q1 và cắt cạnh lưới gần nhất tạiR

Ta chuyển sang nghiên cứu bước tiếp theo: Thay toán tử vi phân bằngtoán tử sai phân Từ công thức Taylor:

um±1,n = umn ± h∂umn

12!h

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Gộp các số hạng đồng dạng trong phương trình trên, ta được:

Lh(umn) := Amnum+1,n+Bmnum−1,n+Cmnum,n+1+Dmnum,n−1−Emnumn = fmn,trong đó:

i) a, b > 0, ∀(x, y) ∈ Ω (điều kiện để L(u) là toán tử elliptic)

ii) g ≤ 0, ∀(x, y) ∈ Ω (điều kiện để (1.18) có nghiệm)

Dễ thấy nếu các điều kiện i), ii) thỏa mãn thì khi h, l > 0 đủ bé,

giải được duy nhất, ta cần chứng tỏ hệ phương trình (tuyến tính) thuầnnhất tương ứng

(

Lh(umn) = 0,

umn|∂Ωh = 0,chỉ có nghiệm tầm thường

• Lược đồ lặp hai lớp:

Xét bài toán:

trong đó A : H −→ H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực

n chiều H với tích vô hướng (,) và chuẩn ||y|| =p(y, y)

Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là vectơ tùy ý.Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0 ∈ H, y0 bất kì, người ta đưa racách xác định nghiệm xấp xỉ y1, y2, , yk, của phương trình (1.19) Cácxấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá trị yk+1 có thể được tính thôngqua các giá trị lặp trước: yk, yk−1,

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bướcnếu xấp xỉ yk+1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị lặp trướcđó

Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

Bkyk+1 − yk

θk+1 + Ayk = f, k = 0, 1, 2, (1.20)trong đó θk+1 là các tham số lặp

Giả thiết Bk là toán tử tuyến tính từ H vào H, tồn tại toán tử ngược

Bk−1 Do đó từ (1.20) ta có:

yk+1 = yk − θk+1Bk−1(Ayk − f ), (1.21)hoặc dạng tương tự

yk+1 = yk − θk+1Bk−1rk = yk − θk+1wk,trong đó rk = Ayk − f và wk = Bk−1rk là phần hiệu chỉnh

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Với yk đã biết, giá trị của yk+1 có thể được tính từ (1.21) Biết y0 taxác định được y1, y2, Tất nhiên nó chỉ có nghĩa khi phép lặp hội tụ, tứclà

||yk − u|| −→ 0 khi k −→ ∞

Thông thường, nghiệm được tìm với độ chính xác ε liên quan đến

độ chính xác ||yk− u||

||y0 − u||
, có nghĩa là sự tính toán được dừng khi

Vì u chưa biết nên ta thay điều kiện (1.22) bằng bất đẳng thức:

Ta chấp nhận điều kiện dừng

trong đó, D là toán tử đối xứng, xác định dương Với D = A2, từ (1.24) tasuy ra được (1.23)

Bây giờ chúng ta xét phương trình liên quan đến phần dư: zk = yk− u

k = n − 1 ta có:

zn = Tnz0, Tn = SnSn−1 S2S1

Ta có đánh giá

||zn||D = ||Tnz0||D ≤ ||Tn||D||z0||D,hay

||zn||D ≤ qn||z0||D, qn = ||Tn||D

Từ đó ta suy ra điều kiện dừng là qn ≤ ε Từ đây dẫn đến vấn đề về

sự hội tụ của phép lặp theo ước lượng chuẩn của toán tử Tn

Lược đồ (1.20) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình

Au = f với bất kì toán tử Bk và cách chọn tham số θk+1 Nhưng qn phụthuộc vào cả Bk và θk+1 Vấn đề ở đây là nên chọn Bk và θk+1 như thế nào

Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC

2.1.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền

Trong phần này, chúng tôi trình bày cơ sở toán học của phương phápchia miền bao gồm giới thiệu khái niệm về các điều kiện chuyển giao quabiên chung, các công thức biến phân, các sơ đồ lặp ở mức vi phân và ứngdụng của toán tử Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền

Giả sử miền Ω được chia thành hai miền con không giao nhau Ω1, Ω2

Ta kí hiệu: Γ = ¯Ω1∩ ¯Ω2, Γ1 = ∂Ω1\Γ, Γ2 = ∂Ω2\Γ Ta cũng giả sử Γ là biênliện tục Lipschitz (d-1) chiều

Kí hiệu ui là giá trị của nghiệm u của bài toán (2.1.1) trong miền

Ωi, ni là hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ωi∩ Γ(i = 1, 2)

Khi đó, bài toán (2.1.1) có thể viết lại dưới dạng đa miền như sau:

Ω1 và Ω2

Như vậy, việc giải bài toán trong miền Ω được đưa về việc giải bàitoán trong hai miền con Nghiệm của bài toán trong hai miền con phảiđảm bảo điều kiện chuyển tiếp qua biên phân chia Điểm mấu chốt là phảixác định được điều kiện trên biên phân chia giữa hai miền con

Kí hiệu g là giá trị chưa biết của u trên Γ Với i = 1, 2, ta xét hai bàitoán biên Dirichlet:

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

So sánh (2.1.2) và (2.1.3) ta thấy: wi = ui(i = 1, 2) khi và chỉ khi:

Định nghĩa 2.1 Toán tử Si được gọi là toán tử Steklov-Poincare tươngứng với miền Ωi(i = 1, 2) nếu Siξ = ∂Hiξ

∂ni , trong đó Hiξ là mở rộng điềuhòa của ξvào Ωi,

ξ ∈ H001/2(Γ) = {v|Γ : v ∈ H01(Ω)}

Phương trình (2.1.6) được gọi là phương trình Steklov-Poincare Tacũng sử dụng các toán tử Si−1(i = 1, 2) và gọi là các toán tử Poincare-Steklov

Xuất phát từ công thức đa miền, phương tình Steklov- Poincare, cáctoán tử Steklov- Poincare, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuấtcác phương pháp lặp cơ sở để xét một dãy các bài toán trong miền con

Ω1, Ω2 với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann tương ứng Cácphương pháp đó được thực hiện bởi một trong các sơ đồ lặp sau đây:

* Các sơ đồ lặp cơ bản:

Hiệu chỉnh:

λ(k+1) = λ(k)− θ(σ1ψ1(k+1)|Γ − σ2ψ2(k+1)|Γ),trong đó θ > 0 là tham số lặp, σ1, σ2 là hai hệ số ước lượng trung bìnhdương

3 Sơ đồ Robin:

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Trong trường hợp này xuất phát từ u(0)2 với mỗi k ≥ 0, giải các bàitoán:

∂n − γ2u(k+1)1 , x ∈ Γ,trong đó γ1, γ2 là các tham số gia tốc không âm thỏa mãn γ1 + γ2 > 0.Xuất phát từ cơ sở của phương páp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơbản, nhiều tác giả trên thể giới đã đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giảibài toán biên elliptic Phần tiếp theo của khóa luận trình bày hai phươngpháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trìnhelliptic với điều kiện biên Dirichlet của hai nhóm tác giả Nhật Bản và ViệtNam trong những năm gần đây

2.1.2 Phương pháp chia miền Saito-Fujita

Với tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên phân chia, năm 2001 hainhà toán học Nhật Bản là Norikazu Saito và Hiroshi Fujita dựa trên cơ sở

sơ đồ lặp Dirichlet-Neumann đã đề xuất một phương pháp chia miền giảibài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet Cho Ω là miền trong R2với biên Lipschitz ∂Ω Xét bài toán (2.1.1):

1 Cho trước g(0) xác định trên Γ.

2 Với g(k) xác định trên Γ(k ≥ 0), tiến hành giải hai bài toán:

∂n1 , x ∈ Γ

(2.1.8)

3 Hiệu chỉnh giá trị của g(k) theo công thức:

trong đó θ là tham số cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ, 0 < θ < 1

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia Γ đãthỏa mãn, còn điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ phụ thuộcvào sự hội tụ của dãy lặp (2.1.9)

∂n1 + ∂G2f

∂n1 , x ∈ Γ

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

S2−1χ = S2−1Sg = S2−1S1g + g,thay vào (2.1.11) ta suy ra được:

ξ(k+1) = (1 − θ)ξ(k) − θS2−1S1ξ(k).Vậy

Đẳng thức trên có dạng (1.28) với toán tử B ≡ E, toán tử A =

E + S2−1S1 Ta phải đi tìm θ để sơ đồ lặp (2.1.12) hội tụ

Đặt H = S2−1S1 Như ta đã biết, các toán tử Steklov-Poincare Si, (i =

Do đó, Si, (i = 1, 2) là toán tử tác động giữa không gian các hàm

Λ = H001/2(Γ) và không gian đối ngẫu của nó Λ0 = H00−1/2(Γ)

Như vậy, Si là toán tử đối xứng và cũng là toán tử xác định dương bởi

vì với mọi ξ ∈ Λ, áp dụng bất đẳng thức Poincare ta có:

C1i2||Hiξ||2H1 (Ωi) ≥ C2i2||ξ||2H1/2 (Γ)

Từ đây ta suy ra

hSiξ, ξi ≥ C1i2||Hiξ||2H1 (Ω i ) ≥ C2i2||ξ||2H1/2 (Γ) (2.1.13)Hơn nữa, áp dụng bổ đề 1.15-iii trong trường hợp g = ξ, ug = Hiξ tacó

hSiξ, ξi1/2 ≤ ||Hiξ||H1 (Ω i ) ≤ C3i||ξ||H1/2 (Γ) (2.1.14)

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Từ (2.1.13) và (2.1.14) ta nhận được

C2i||ξ||H1/2 (Γ) ≤ hSiξ, ξi1/2 ≤ C3i||ξ||H1/2 (Γ)

Như vậy, hSiξ, ηi, (i = 1, 2) được định nghĩa là một tích vô hướng của

ξ, η ∈ Λ Kí hiệu tích vô hướng này là (, )Si, (i = 1, 2) và chuẩn sinh bởitích vô hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H1/2(Γ) Kíhiệu chuẩn này là ||.||Si, (i = 1, 2) Ta có

(ξ, η)S2 = hS2ξ, ηi, ||ξ||S2 = hS2ξ, ξi1/2.Trong tích vô hướng này

(Hξ, η)S2 = hS2Hξ, ηi = hS2(S2−1S1)ξ, ηi = hS1ξ, ηi

Vì S1 là toán tử đối xứng nên H = S2−1S1 là toán tử đối xứng Do đó,

Chứng minh: Thật vậy, nếu (Ω, Γ) thỏa mãn cả hai điều kiện (Fm)

và (Fl) thì tồn tại m ≥ 1, l ≥ 1 sao cho

hS1ξ, ξi ≤ mhS2ξ, ξi ≤ mlhS1ξ, ξi, ∀ξ ∈ Λsuy ra

hS2(S2−1S1)ξ, ξi ≤ mhS2ξ, ξi ≤ mlhS2(S2−1S1)ξ, ξi, ∀ξ ∈ Λ

Ví dụ 2.1 (Ω, Γ) thỏa mãn điều kiện (Fm) và (Fl):

Cho Γ là một đoạn thẳng trên trục y, m ≥ 1, l ≥ 1,

Như vậy, giả sử rằng phép chia miền Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2

có tồn tại các hằng số m, l ≥ 1 sao cho các điều kiện (Fm) và (Fl) đượcthỏa mãn Khi đó, theo bổ đề trên ta có

1

l ≤ H ≤ m,suy ra

m + 1

l + 2

Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặpcần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.1.7) trong Ω1, sau đó giải một bàitoán Neumann (2.1.8) trong Ω2

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia,năm 2004, hai nhà toán học Việt Nam là Đặng Quang Á và Vũ Vinh Quang

đã đề xuất một phương pháp chia miền mới Nội dung chính của phươngpháp như sau:

Cho Ω là miền trong R2 với biên liên tục Lipschitz ∂Ω Xét bài toán(2.1.1)

Tư tưởng của phương pháp DQuangA-VVQuang là tìm ra xấp xỉ của

g nhận được bởi sơ đồ lặp sau:

trong đó θ là tham số lặp cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ (0 < θ < 1)

Ta thấy rằng, điều kiện liên tục của hàm qua biên phân chia Γ đượcthỏa mãn, còn điều kiện liên tục của đạo hàm qua biên phân chia Γ phụthuộc vào sự hội tụ của dãy lặp (2.1.17)

Ta đi nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp: (2.1.17) được viết lạidưới dạng

g(k+1)− g(k)

(k)+ ∂u

(k) 2

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

trong đó wi là nghiệm của bài toán

Như ở phần trước đã trình bày, các toán tử Steklov-Poincare Si, (i =

1, 2) là đối xứng, xác định dương, tác động giữa không gian các hàm Λ =

H001/2(Γ) và không gian đối ngẫu Λ0 = H00−1/2(Γ), hSiξ, ηi được định nghĩa làmột tích vô hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn được sinh bởi tích vô hướng nàytương đương với chuẩn thông thường của H1/2(Γ) Ta đã kí hiệu tích vôhướng và chuẩn tương ứng này là (, )Si và ||.||Si, (i = 1, 2) Vậy ta có:

(ξ, η)S1 = hS1ξ, ηi, ||ξ||S1 = hS1ξ, ξi1/2.Trong tích vô hướng này

(Aξ, η)S1 = hS1(E + S1−1S2)ξ, ηi = hS1ξ, ηi + hS2ξ, ηi

Do S1, S2 là các toán tử đối xứng nên toán tử A = E + S1−1S2 cũng làtoán tử đối xứng Hơn nữa, giả sử phép chia miền Ω thành các miền con

Ω1, Ω2 có tồn tại các hằng số 0 < m ≤ M sao cho

m ≤ hS2ξ, ξi

Khi đó ta có

m||ξ||2S1 ≤ hS1S1−1S2ξ, ξi ≤ M ||ξ||2S1, ∀ξ ∈ Λ,suy ra

Một số phương pháp giải các bài toán biên elliptic Trần Thị Thúy An

Định lý 2.4 Với giả thiết (2.1.24) về các miền con Ω1, Ω2 phương pháp lặp(2.1.15)-(2.1.17) hội tụ nếu tham số lặp θ thỏa mãn điều kiện (2.1.25) Hơnnữa, với giá trị tối ưu θopt được cho bởi (2.1.26) ta có ước lượng (2.1.30)cho các sai số e(k)i = u(k)i − u trong đó ρ được tính bởi (2.1.28)

Ví dụ 2.2 Xét trường hợp khi Ω là hình chữ nhật [0, 1] × [0, b] đượcchia thành hai miền con bằng đoạn thẳng: Γ = {x1 = a, 0 ≤ x2 ≤ b}, 0 <

a < 1

GiảiTrong trường hợp này, nghiệm của bài toán

λn = nπ

b , en(x2) =

r2