29 Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số docx

Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) +1 –m = 0 (1)

(C): y = f(x)

1) Phương trình (1) f(x) =m-1

2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1

3) Chia ra các trường hợp để biện luận Nếu thì Bài 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm /

y 3)Hàm số đồng biến trên tập xác định D  /

y 0  x D  0

0

a 





 

 Bài 3: Tìm m để để hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm y/ 3)Hàm số nghịch biến trên tập xác định D y/ 0  x D  0

0

a 





 

 Bài 4: Tìm m để để hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)

1) Đạo hàm /

y 2)Hàm số có hai cực trị  phương trình /

y =0 có hai nghiệm phân biệt 

0 0

a 





 

 Bài 5: Tìm m để để hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = x0

1) Đạo hàm y/ 2)Hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = x0  y x  /( )0 0 m=?

2) Thử lại với m=? thì y/=?

3) /

y =0  xx0



4) / /

?

y  ; / / 

y x a  x0 là điểm cực tiểu / / 

y x a  x0 là điểm cực đại

4) Vậy với m= ? thì hàm số đạt cực trị (cực đại), (cực tiểu) tại x = x0

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) đồng biến trên tập xác định của nó TXĐ: D=? 2) Đạo hàm /

y

3)Vì   0 suy ra /

y 0  x D nên hàm số đồng biến trên tập xác định Bài 7: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm /

y 3) Vì   0 suy ra /

y 0  x D nên hàm số nghịch biến trên TXĐ D Bài 8: Chứng minh hàm số y = f(x) có hai cực trị (Có 1 cực đại và một cực tiểu)

1) Đạo hàm /

y 2) Vì   0 nên pt /

y =0 có hai nghiệm phân biệt 3)Vậy hàm số đã cho luôn có hai cực trị Bài 9: Tìm m để hàm số y = f(x) có ba cực trị

Đạo hàm /

y 2) /

y =0 ( 0) ( ) 0 0

( ) 0

x x

x x g x

g x









3)Hàm số có 3 cực trị PT /

y =0 có 3 nghiệm pbg(x) =0 có hai nghiệm phân biệt khácx0

0

0 ( ) 0

g x

 



 



 Bài 10: Tìm điểm cố định của đồ thị (C m): y=f(x)

1) y=f(x)  mg(x) +h(x) –y=0 2) Tọa độ của điểm cố định là nghiệm của hệ ( ) 0

( ) 0

g x







 



 ( ) 0

( )

g x









 3)vậy (C m) có các điểm cố định là A( : ) B( : ) Trung tâm dạy kèm toán lý hóa 140 LNQ Bài 11: Tìm k để đt d : y = kx +b cắt (C) ; y = f(x) tại 3 điểm phân biệt

1) Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của PT kx+b = f(x) (1)

2) (1) ( 0) ( ) 0 0

( ) 0

x x

x x g x

g x









3) d cắt (C) tại 3 điểm phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình g(x) =0 có hai nghiệm

0

 



Bài11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b)

1) TXĐ: D = ? 2) đạo hàm y/ cho y/=0 4) lập BBT

( ; )

a b

1

x ( ; )a b 2

( ; )

c t

a b

2

x ( ; )a b

Bài12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]

1)TXĐ: D = ? 2) đạo hàm /

y cho /

y =0  1

2

( ; ) ( ; )

x x a b

x x a b

 





 



3)Tính y a( )m y b; ( )n y x; ( )1  p giả sử p>n>m

[ ; ]

a b

M y  y x  p

[ ; ]

( )

a b

Bài 13: Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = f(x)

1) TXĐ: D= ? 2) đạo hàm /

y cho /

y =0 (nếu có) 3) BBT 4) Kết luận Chú ý: + Giả sử 2

4

   <0 thì y   0 x R + Giả sử 2

4

   <0 thì y   0 x R

+ Giả sử 2

4

   =0 thì y   0 x R + Giả sử 2

4

   =0 thì y   0 x R Bài 14: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)

1)TXĐ: D= ? 2) đạo hàm y/ cho y/=0  1

2

x x

x x











3) / /

Cách 1: Lập bảng biến thiên Căn cứ vào bảng biến thiên rút ra kêt luận Dấu hiệu 1

Cách 2: Đạo hàm cấp 2 / /

y Dấu hiệu 2 Nếu y x( )1 a0thì x1là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu y x( )2 b0thì x2là điểm cực đại của hàm số

Bài 15: Viết PTTT của đồ thị (C) tại Điểm M có M x o:y o

a Điểm M có hoành độ xx0 y f x( )0 y0M x y 0 ; 0

b Điểm M có tung độ y y0 y0  f x( )xx0 M x y( ;0 0)

1) /

y =? Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y 0 ; 0 là: y x( )0 ?

2) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M x y 0 ; 0 là: yy0 y x( )(0 xx0)

Bài 16: Viết PTTT biết tiếp tuyến

a)Tiếp tuyến có hệ số góc k Tiếp tuyến d: y=kx+c

b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=kx+b Tiếp tuyến d: y=kx+c (cb)

c)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= 1x b

k

  Tiếp tuyến d: y=kx+c d)Tiếp tuyến đi qua điểm M x y 0 ; 0 có hệ số góc kTiếp tuyến d: y-y0=k(x-x0) y=kx+c

1) d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( )

( )

 





 

 2) Giải hệ phương trình tìm x  c=? Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=kx+c

Chú ý: 1) Đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với đồ thị (C): y=f(x) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ( )

( )







2) Tiếp tuyến d hợp với trục hoành 1 góc 0

45

   tiếp tuyến có hệ số góc k=tan 0

45 = 1

Bài 17: Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của đồ thị (c m): y=f(x)

1) Chia y cho /

y được 2

ax bx c dư ex +f ta có /  2 

2) Gọi M1x y1 ; 1;M2x y2 ; 2là 2 điểm cực trị của (c m)

3) Vì M1x y1 ; 1 (C m) nên ta có / 2

1 ( )(ax 1 1 1 ) ex 1 1 ex 1

y  y x bx c   f  y   f do /

1

( ) 0

y x  Tương tự M2x y2 ; 2 (C m) nên ta có / 2

y  y x bx c   f  y   f do /

2

( ) 0

y x  2) Vậy đường thẳng d qua 2 điểm cực trị của (c m) có phương trình là y ex  f

Bài 18: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt

1) PT f(x) =0 ( 0) ( ) 0 0

( ) 0

x x

x x g x

g x









2) PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt phương trình g(x)

=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

0

0 ( ) 0

g x

 



 



 Bài 19: Tìm m để phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt

PT f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt hàm số có 2 cực trị và y cd.y  ct 0 pt /

0

y  có hai nghiệm phân biệt

và y cd.y  ct 0 0

cd ct

y y

 



 





Sử dụng trong th không đoán trước 1 nghiệm hoặc không giải được bằng đồ thị Bài 20: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) sử dụng đồ thị

1) Phương trình (1) f(x) =m-1 (C): y = f(x)

2)PT (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm, 1 nghiệm ) đồ thị (C): y = f(x) cắt đường thẳng d: y = m-1 tại 3 điểm

(2 điểm , 1 điểm ) 

Bài 21: Tìm m để đường thẳng d: y= am+b (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm)

Đường thẳng d: y= m (hằng số) cắt (C):y= f(x) tại 1 điểm (2 điểm, 3 điểm) ? < m < ?

Bài 22: Tìm m để phương trình f(x) +1 –m = 0 (1) có 3 nghiệm (1nghiêm, 2 nghiệm)

1) Phương trình (1) f(x) =m-1 (C): y = f(x)

2)Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = m-1

1) Phương trình (1) có 3 nghiệm d cắt (C) tại 3 điểm ? < m-1 < ?

Bài 23: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục tung Oy

Gọi M=(C) I Oy Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( )

0

x











Bài 24: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) : y=f(x) với trục hoành Ox

Gọi M=(C) I Ox Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ ( ) ( ) 0



Bài 25: 7 bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm /

y cho /

y =0 nếu có 3) Chiều biến thiên (để trống 4 dòng) 4) Giới hạn 5) BBT 6) Cực trị 7) Vẽ

Bài 26: Tìm m để hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (  ;+)

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2

( )

y g x ax bx c (a > 0 ) 3) lập = ? 4) Nếu   0 thì /

y 0  x R nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên ( ;+) 5) Nếu   0 thì PT /

y =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 (x1x2)BBT x Hàm số đồng biến trên ( ;+) PT /

y =0 có 2 nghiệm pb x x1; 2 /

y

thỏa đk x1x2 a 

0 ( ) 0

ag S





 









Bài 27: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (  ;  )

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm y/ g x( )ax2bx c (a > 0 ) 3) lập = ?

4) Nếu   0 thì /

y 0  x R nên hàm số đồng biến trên R do đó nó đồng biến trên ( ;  ) o thỏa đkbt 5) Nếu   0 thì PT /

y =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 (x1x2)BBT x Hàm số nghịch biến trên ( ;  ) PT /

y =0 có 2 nghiệm pb x x1; 2 /

y

thỏa đk x1  x2  ( ) 0

( ) 0

ag ag















y Bài 28: Tìm m để hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (  ;+)

1) TXĐ: D=? 2) Đạo hàm / 2

( )

y g x ax bx c (a < 0 ) 3) lập = ? 4) Nếu   0 thì /

y  0  x R nên hàm số nghịch biến trên R do đó nó nghịch biến trên ( ;+) 5) Nếu   0 thì PT /

y =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 (x1x2) x Hàm số nghịch biến trên ( ;+) pt /

y =0 có 2 nghiệm pbx x1; 2 y /

thỏa đk x1x2 a 

0 ( ) 0

0 2

ag S







 









  



Bài 29: (C) : y= f(x) có đạo hàm y/  g x( )ax2bx c (a 0)

1) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực trị

trái dấu PT /

y =0 có 2 nghiệm trái dấu P=x x1. 2 c 0

a

 

2) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục tung Oy hàm số có 2 (điểm ) cực

trị cùng dấu PT /

y =0 có 2 nghiệm cùng dấu  0

0

P

 







 3) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên phải đối với trục tung Oy hàm số có 2

(điểm ) cực trị cùng dấu dương PT /

y =0 có 2 nghiệm dương pb 

0 0

0

c P a b S a



 





 









 

 4) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía bên trái đối với trục tung Oy hàm số có 2

(điểm ) cực trị cùng dấu âm PT /

y =0 có 2 nghiệm âm pb 

0 0

0

c P a b S a



 





 









 

 5) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục hoành Ox hàm số có 2 giá trị cực

trị cùng dấu PT /

y =0 có 2 nghiệm pb và y cd.y  ct 0 

0

cd ct

y y

 



 



 6) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành Ox hàm số có 2 giá trị cực trị

0

 

