Ứng dụng tính chất hình học vào bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân, với O là gốc tọa độ.. Cách giải: Để ý rằng hai trục tọa độ vuông góc với

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Bài toán liên quan đến tiếp tuyến:

Bài toán 1 Cho hàm số y=f(x) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân, với O là gốc tọa độ

Cách giải:

Để ý rằng hai trục tọa độ vuông góc với nhau và các đường thẳng tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân tại gốc tọa độ khi và chỉ khi đường thẳng đó tạo với trục hoành và trục tung một góc 45o nên hệ số góc của đường thẳng chỉ có thể là 1 hoặc −1 Từ đó dễ dàng suy ra hoành

độ tiếp điểm của tiếp tuyến bằng cách giải phương trình f′(x) = 1 và

f′(x) = −1

Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1

2x − 1 sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B và tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O với O là gốc tọa độ

Lời giải:

Để ý rằng tam giác OAB với O là gốc tọa độ và A, B nằm trên hai trục tọa độ thì đường thẳng AB có hệ số góc là 1 hoặc −1 Do

(2x + 1)2 < 0 ∀x 6= 1

2 nên ta chỉ xét phương trình y′ = −1

(2x − 1)2 = −1 ⇔ (2x − 1)2

= 4

⇔











x = 3

2

2 Với x = 3

2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x + 7

2 Với x = −1

2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x − 1

2

x− 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận tại A, B và tam giác IAB vuông cân với I là giao hai đường tiệm cận

của đồ thị.

Lời giải:

Để ý rằng hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với hai trục tọa

độ Lập luận tương tự như trên ta có:

(x − 1)2 < 0 ∀x 6= 1 nên tiếp tuyến cần dựng có hệ số góc là −1 Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: −1

(x − 1)2 = −1

⇔x = 0x = 2

Với x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x

Với x = 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x + 4

Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x− 1

x+ 1 biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân tại I với I là giao hai đường tiệm cận

Lời giải:

Lập luận như ví dụ trên ta cũng có y′ = 2

(x + 1)2 > 0, ∀x 6= −1 và

y′ = 1 (vì hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với các trục Ox và Oy) Khi đó xét phương trình:

y′ = 1 ⇔ (x + 1)2 2 = 1 ⇔ (x + 1)2

= 2

⇔





2 − 1

2 + 1 Với x = √2 + 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x

Với x = √2 − 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 2 −√2

Ví dụ 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

y = x3

− 3x2

+ x + 1 với hệ số góc dương sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ là A và B để tam giác OAB là tam giác cân tại O

Lời giải:

Tương tự như ví dụ trên, tuy nhiên, yêu cầu hệ số góc của tiếp tuyến dương nên ta chỉ xét giá trị 1 Như vậy, nếu giả sử xo là hoành độ tiếp điểm thì y′(xo) = 1

Từ lập luận trên ta đi giải phương trình y′(x) = 1 (1)

Ta có: y′(x) = 3x2

− 6x + 1

y′(x) = 1 ⇔ 3x2

− 6x = 0 ⇔





x = 0

x = 2 Với mỗi giá trị x tìm được ở trên ta có phương trình tiếp tuyến tương ứng:

x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1

x = 2 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x − 1

2 Bài toán liên quan đến cực trị:

Bài toán 2 Cho hàm số y = f(x, m) Tìm điều kiện của tham số m để

đồ thị hàm số có các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Cách giải: ta thường chú ý đến điều kiện của tam giác Chẳng hạn tam giác cân, vuông, đều đồng thời các công thức tính diện tích, độ dài trung tuyến, để từ đó tìm ra hướng giải quyết bài toán

Ví dụ 5 Cho hàm số: y = x4

− 2m2

x2

+ 4m + m4 Tìm điều kiện của tham số m để

a) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và các cực trị này tạo thành một tam giác vuông cân

b) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và các cực trị tạo với nhau thành một tam giác đều

c) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và tam giác tạo bởi ba cực trị có diện tích bằng 32

Lời giải:

Dễ thấy hàm số có đạo hàm f′(x) = 4x3

− 4m2x = 4x(x2

− m2)





x = 0

khi m 6= 0

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m > 0

Với m > 0 ta có ba cực trị của hàm số là:

A(0; 4m+m4

), B(−m; 4m) và C(m; 4m) trong đó A là điểm nằm trên trục tung

x

y

O H

Nhìn trên hình vẽ ta dễ dàng nhận thấy:

AH = f (0) − f(m) = m4, và HC = BC

a) Để ý rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A khi AH =

HC Khi đó:

m4 − m = 0

Khi đó m = 0

m = 1 Do m > 0 nên chỉ nhận giá trị m = 1

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B, C và tam giác

b) Tương tự như trên Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

\

HC = tan 60o

3

4

m

√

3 ⇔ m =√6

3 c) Ta thấy diện tích tam giác ABC: SABC = 1

m5

Như vậy, để diện tích tam giác ABC bằng 32 ta có ngay:

m5 = 32 ⇒ m = 2

Ví dụ 6 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x4

có 3 điểm cực trị A, B, C và tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 1

Lời giải:

Dễ dàng thấy f′(x) = 4x(x2

− m) nên đồ thị hàm số có 3 cực trị khi

và chỉ khi m > 0 Khi đó 3 điểm cực trị lần lượt có tọa độ là:

A(0; m − 1), b(−√m; −m2

+ m − 1) và C(√m; −m2

+ m − 1), trong

đó A là đỉnh nằm trên trục tung

Chú ý rằng tam giác ABC luôn cân nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên trục tung Khi đó giả sử I(0; a) là tâm đường tròn thì ta có:

⇔

(

(m − 1 − a)2

= 1 (√

m)2

+ (−m2

+ m − 1 − a)2

= 1

⇔

(

(m − 1 − a)2

(−m2

+ m − 1 − a)2

Từ (2) thế vào (1) ta được:

(−m2

+ 1)2

= 1 − m (−m2

− 1)2 = 1 − m

4

− 2m2 + 1 = 1 − m

m4 + 2m2

+ 1 = 1 − m

3

− 2m + 1) = 0 m(m3

+ 2m + 1) = 0

⇔ m3 − 2m + 1 = 0 (do điều kiện m > 0)

Giải phương trình trên ta được













2

2

Do điều kiện m > 0 nên ta chỉ còn hai giá trị





2

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

3 − 2x2

3 có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của hàm số nằm về hai phía của

Lời giải:

Ta có: y′ = x2

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 ⇔ x2

− 4x + 10m − 7 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆′ = 11 − 10m > 0 ⇔ m < 11

10 Không mất tính tổng quát, ta gọi: A(x1y1) và B(x2; y2) là các cực trị của đồ thị hàm số trong đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)

y1 = f (x1) = (20m − 22)(x1 + 1)

y2 = f (x2) = (20m − 22)(x2 + 1)

A và B khác phía với nhau đối với đường thẳng d : x+ y + 1 = 0 khi và chỉ khi:



x1 + (20m − 22)(x1 + 1)

 

x2+ (20m − 22)(x2 + 1)



< 0

⇔ (x1 + 1)(x2 + 1) 20m − 19

3

2

< 0

⇔







m 6= 19

20

x1x2 + x1 + x2 + 1 < 0 (∗)

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1) ta có:

(

x1 + x2 = 4

x1x2 = 10m − 7

Khi đó (∗) ⇔







m 6= 19 20 10m − 2 < 0

⇔ m < 1

5 Vậy với m < 1

5 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán

3 Bài toán liên quan đến khoảng cách:

Trong các bài toán này thường thì tìm điều kiện của tham số hoặc chứng minh các khoảng cách giữa điểm trên đồ thị đến một điểm nào

đó hoặc một đường nào đó Tùy trong từng trường hợp cụ thể ta có thể vận dụng các tính chất hình học một cách linh động để tìm ra phương

án giải quyết bài toán

Ví dụ 8 Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) của đồ thị hàm số

y = 2x + 1

Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng các

từ đó đến ∆ là ngắn nhất

Lời giải:

Chú ý rằng khoảng cách từ một điểm trên (C) đến ∆ là ngắn nhất khi và chỉ khi điểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến song

song với ∆.

Mặt khác, ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) nên ta có:

(1 − x)2 ⇒ y′(0) = 3

Gọi A(xo; yo) là điểm cần tìm thì xo > 1 và khoảng cách từ A đến ∆

là ngắn nhất Do đó xo là nghiệm của phương trình y′ = 3

(1 − x)2 = 3 ⇔





x = 2

x = 0

Do x = 0 < 1 nên ta chỉ còn xo = 2

Khi xo = 2 ta có yo = y(2) = −5

Vậy điểm cần tìm là A(2; −5)

Ví dụ 9 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(−2; 0) sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = −x3

+ 3x − 2 đến d là lớn nhất

Lời giải:

Xét đạo hàm của hàm số y = −x3

+ 3x − 2:

y′ = −3x2

+ 3 Khi đó y′ = 0 ⇔  x = 1x = −1

Từ trên ta có thể lập bảng biến thiên và suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là B(1; 0)

Với đường thẳng d bất kỳ đi qua A(−2; 0), gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d Khi đó ta có:

Để BH là lớn nhất thì BH = AH hay B ≡ A ⇒ d⊥MA hay d⊥Ox Vậy d là đường thẳng có phương trình x = −2

Ví dụ 10 Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y = x− m

x− 2 (với

m 6= 2) có ít nhất một điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành

độ và tung độ trái dấu nhau

Lời giải:

Những điểm cách đều hai trục tọa độ nằm trên một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = −x Hơn nữa hoành độ và tung độ trái dấu nên điểm đó nằm trên y = −x

Giả sử điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:

−x = x− m

(

x 6= 2

x2 − x + m = 0 (∗) Phương trình (∗) có ít nhất một nghiệm khác 2 khi và chỉ khi:

(

∆ = 1 + 4m ≥ 0

2 − m 6= 0

⇔







4

m 6= 2

Ví dụ 11 Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số:

Lời giải:

Gọi (C1) và (C2) là hai nhánh của đồ thị Giả sử M ∈ (C1) và N ∈ (C2) thì ta có:

M



a+ 2



và N

 b; 2b

b+ 2

 với

(

a > −2

b < −2

−−→



b− a; 2b

a+ 2



(x + 2)2

M N là khoảng cách của hai nhánh đồ thị khi và chỉ khi tiếp tuyến của đồ thị tại M và N song song với nhau và hai tiếp tuyến đó vuông góc với MN Khi đó ta có:

Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M có phương trình: y = 4

(a + 2)2(x −

a) + 2a

a+ 2

⇔ 4x − (a + 2)2y + 2a2

= 0

Từ trên ta có hệ:











4

(b + 2)2 (1) (b − a)(a + 2)2

+ 4

 2b

a+ 2



= 0 (2)

Từ (1) suy ra b = −4 − a Thế vào (2) ta được:

(−4 − 2a)(a + 2)2

+ 4 −8 − 2a

2a

a+ 2



= 0

⇔ −2(a + 2)4

+ 32 = 0 ⇔ a = 0 (do a > −2)

Từ đây suy ra b = −4 nên −−→M N = (−4; 4)

2

Ví dụ 12 (Khối B-2003) Cho hàm số y = x3

− 3x2

+ m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Lời giải:

Chú ý rằng nếu hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì AB nhận O(0; 0) làm trung điểm

Gọi hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là hai điểm nằm trên đồ thị hàm

số thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:







x1 + x2

y1 + y2

(

x1 + x2 = 0 (1)

y1 + y2 = 0 (2)

Xét y1 + y2 = (x3

1 + x3

2) − 3(x2

1+ x2

2) + 2m

= (x1 + x2)3

− 3(x1+ x2)x1x2 − 3(x1 + x2)2

+ 6x1x2 + 2m Thế (1) vào (2) ta được:

6x1x2 + 2m = 0 hay x1x2 = −m

3

Từ đó suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai:

x2

Để tồn tại hai điểm A, B thì phương trình (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi và chỉ khi m > 0

4 Bài tập đề nghị:

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

2x + 3 biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân với O là gốc tọa độ

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

y = 2x + 1

x− 1 biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số tại A và B sao cho tam giác IAB cân với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

Bài 3 Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số

y = 2x + 1

x− 3

Bài 4 Cho hàm số:

y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x + 3m2 − 1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Bài 5 (Khối D-2007) Cho hàm số:

x+ 1 Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B để tam giác OAB có diện tích bằng 1

4 với O là gốc tọa độ

Bài 6 (Khối A-2004-Dự bị) Cho hàm số:

y = x4 − 2m2x2 + 1 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác vuông cân

Bài 7 (Khối A-2008) Cho hàm số

2

+ (3m2

− 2)x − 2

Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận là 45o

Bài 8 (Khối A-2007) Cho hàm số

2

+ 2(m + 1)x + m2

+ 4m

Tìm m để đồ thị hàm số (C) có hai cực trị A, B và tam giác OAB vuông, với O là gốc tọa độ

x− 1 Cho điểm

M(xo; yo), tiếp tuyến với đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A và B Chứng minh M là trung điểm của AB