Tính diện tích thiết diện BCNM... Tính diện tích thiết diện BCNM.
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Môn thi: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu)
ĐỀ THI:
Câu 1 Giải phương trình:
2 2
sin
x x
π
C©u 2: Cho khai triÓn ( 2 14)15 2 210
C a −C a +C a − −C a = −
C©u 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0 =2; 2
u + = u + u −
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của u n
b) Chứng minh rằng số 2
1
5 u n + có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp
C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh 3, SA ⊥(ABCD),
SA = 2 3 Mặt phẳng( ) qua BC tạo với AC một góc 30α o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N Tính diện tích thiết diện BCNM
C©u 5: Cho x y z, , lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x y z+ + =3 Chøng minh r»ng:
( ) ( ) ( ) 2
x y z y z x z x y
xyz
HƯỚNG DẪN
Trang 2Câu 1 Giải phương trình:
2 2
sin
x x
π
Điều kiện: cos 0
2
(*) Phương trình đã cho tương đương với: 2 2
2cos (tanx x+tan ) sinx = x+cosx
2
2sin 2sin cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(2sin 1) 0
+ Với sin cos 0 tan 1
4
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
5
C©u 2: Cho khai triÓn ( 2 14)15 2 210
C a −C a +C a − −C a = −
Ta cã ( 15) (15 2 14)15( )15 210 15 ( )
15
i
i k
= =
Suy ra hÖ sè cña 15
x trong khai triÓn ( 15)15
15
i
i k
C a C a C a C a C a
+ =
∑ MÆt kh¸c ( 15)15 15 225
1−x = −1 15x + − x Suy ra hÖ sè cña x15 trong khai triÓn ( 15)15
1 x− lµ − 15
C a −C a +C a − −C a = − (®pcm)
C©u 3: Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi:
u =
2
u + = u + u −
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của u n
b) Chứng minh rằng số 2
1
5 u n + có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp
a)Theo bài ra ta có: 2 2
n n n n
Thay n bởi n-1 ta được:
n n n n
u − u u− +u − + =
Trừ theo từng vế (1) cho (2) được:
(u n+1−u n−1) (u n+1−8u n+u n−1)= ⇔0 u n+1−8u n+u n−1=0 (3)
(do u n+1>4u n >16u n−1 ⇒u n+1−u n−1>0
Phương trình đặc trưng của (3)
Trang 32 4 15
8 1 0
4 15
t
t t
t
= −
− + = ⇔
= +
Số hạng tổng quát: u n= −(4 15) (n+ +4 15)n
b) Với mỗi số n≥1, thì tồn tại số k∈¥ để: (4+ 15) (n− −4 15)n=k 15
4 15 n 4 15 n 15.k 4 15 n 4 15 n 15.k 2
2
n
C©u 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh 3, SA ⊥(ABCD),
SA = 2 3 Mặt phẳng( ) qua BC tạo với AC một góc 30α o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N Tính diện tích thiết diện BCNM
Ta có:
BC// AD
( ) (SAD) MN MN// BC// AD
BC ( ); AD (SAD)
°Mà:BC BA; BC SA (SA (ABCD))⊥ ⊥ ⊥ ⇒ BC (SAB)⊥ ⇒ BC BM⊥
Suy ra thiết diện BCNM là thang vuông tại B, M
°Dựng AH⊥BM
Ta có: BC⊥AH (vì BC (SAB))⊥ Suy ra:AH ( )⊥ α ⇒ ACH 30 · = o
°Tam giác ABM vuông tại A, đường cao AH có:
3
⇒ BM= 6 (tam giác ABM vuông cân) và MN= 3
2
°Diện tích hình thang vuông BCNM:
C©u 5:
Cho x y z, , lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x y z+ + =3 Chøng minh r»ng:
x y z y z x z x y
xyz
C D
N M
S
H B
α
A
Trang 4( )1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2
yz yz zx zx xy xy
Ta có ( )
+
18
2
6 3
+ Vậy (2) đúng (đpcm).