Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn.. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau.. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đợc một loại
Trang 1Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu)
Cõu I Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
4
π
Cõu II lim 2( 2 3 3)
x
x x
x x x
+
−
+
∞
→
Cõu 3 Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,
mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đợc một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đợc cùng một loại đề Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Cõu IV
Cho hỡnh chúp S.ABC cú
4
1 ) cos(
;
=
∠
=
; SB=SC= 2SA, SA=a
K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK Đặt AM=x
1 Chứng minh: SA ⊥(ABC)
2 Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất
Cõu V
Cho a b c , , > 0 Chứng minh:
+ +
Hết:
HƯỚNG DẪN
Trang 2Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình.
Điều kiện: 1
; 1 3
x ≥ y ≥
(2) ⇔ − + y x + 3 y + 2 x + 6 x + = 4 0; ∆ = 3 x + 5
Vậy ta có:
1 0
y x
x y
+ + =
− + =
1 0
; 1 3
x ≥ y ≥
2 x y − + = ⇔ = 4 0 y 2 x + 4, thay vào (1) ta có:
( ) * ⇔ 3 x − = 1 2 x + ⇔ = ⇒ = 3 x 4 y 12
Kết luận: ( x y , ) ( = 4;12 )
4
π
4 sin 3 cos3 2 cos sin 1 0
π
sin 3 sin cos3 cos cos sin 1 0 2sin 2 cos 2sin 2 sin cos sin 1 0 2sin 2 cos sin cos sin 1 0
4
π
Ta có: 2(1 − t t t2) − + = ⇔ − 1 0 2 t3+ + = ⇔ = t 1 0 t 1
Câu II lim 2( 2 3 3)
x
x x
x x x
+
−
+
∞
→
Trang 3Đặt x= 1y khi x→∞ thỡ y →0
− +
− +
= +
− +
=
→
3 2
0 2
3 0
) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 1 lim 3
1 2 1 lim
y
y y
y
y y
y
y y
I
y y
2
1 1 2 1
) 3 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 1 (
3 2
1 1
1 lim
) ) 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 3 1 ( (
) 3 ( )
1 ( 2 1 lim
3 2
0
2 3
2
2 2
2 0
= +
−
=
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
−
=
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
−
=
→
→
y y
y y
y y
y
y y
y y
y
y y y
y y
y
y y
Vậy
2
1
=
I
Cõu 3 Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,
mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đợc một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đợc cùng một loại đề Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Lời giải
Gọi sn là số cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh a a1, , ,2 an
Ta viết ai = a ij( ≠ j ) nếu ai và aj cùng nhận đợc một loại đề và ai ≠ ajtrong trờng hợp
ng-ợc lại
Xét một cách phát đề hợp lệ cho ( n + 1) thí sinh a a1, , , ,2 a an n+1
- Nếu a1 ≠ an thì bỏ đi thí sinh an+1ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh
n
a a1, , ,2 a Khi đó có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh an+1 (khác với 2 đề của a a1, n)
- Nếu a1 = an thì bỏ đi hai thí sinh a an, n+1 ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho ( n − 1) thí sinh a a1, , ,2 an−1 Khi đó có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho a an, n+1(cụ thể an = a1, còn
n
a +1 phát 1 trong 9 đề khác a1)
Nh vậy ta có hệ thức sau
s +1 = 8 s + 9 ,−1 ∀ ≥ n 2 Mặt khác, dễ tính đợc : s2 = 10.9 90, = s3 = 10.9.8 720 =
Do đó tính đợc s10 = 3486784410
Cõu IV
Cho hỡnh chúp S.ABC cú
4
1 ) cos(
;
=
∠
=
; SB=SC= 2SA SA=a
K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK Đặt AM=x
1 Chứng minh: SA ⊥(ABC)
2 Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp
Trang 4S.ABC cắt bởi mp(a) có diện tích lớn nhất
1 CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác); ∆SAB =∆SAC(c-g-c) ; vuông cân tại A:
SA (ABC)
AC SA
AB SA
⊥
⇒
⊥
⊥
2.BC⊥ AK; SA ⊥ AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF : S td = PQ.PF
Ta có : BC=a 3; AK= a/ 2
Tính được PQ =2x 3;PF =(a−2x)
4 4
3 2
) 2 2
( 3 ) 2 (
3
x Max S a x
a x x
a
x
Câu V
Cho a b c , , > 0 Chứng minh:
+ +
2
2 2 2
2
2
2 2 2
a b c
+ +
≥
+ +
Trang 5( ) ( )
2 2 2
1 1 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = =