Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.. Xác định điểm M bên trong tam
Trang 1Câu I: (2 điểm)
1.Giải phương trình: (1 t anx)cos x (1 cot x)sin x+ 3 + + 3 = 2sin 2x
2 Tìm các nghiệm trong khoảng (−π π; ) của phương trình:
2sin 3x 1 8sin 2x cos 2x.2
4
π
+ = +
Câu II: (3 điểm)
1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn
và 3 số lẻ ?
2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011.≤ ≤
C C +C C − + + C C − =C
3.Cho dãy số (u n) xác định bởi : 1
1
11
u
=
Tìm công thức tính un theo n
Câu III: (2 điểm)
+ +
−
−
3.42
1 2.32 1 Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn Tìm Un
n→lim+∞
2 Tìm giới hạn:
x 0
lim
x
→
Câu IV: ( 3 điểm)
1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là
điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và
BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a,
b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó
2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho
MA + MB + MC nhỏ nhất
-Hết -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x 0.> Khi đú pt trở thành:
sinx cos x 2 sin x cos x+ = (1) 0.25
ĐK: sinx cos x 0+ > dẫn tới
sinx 0;cos x 0.> > 0.25 Khi đú:
(1) sin 2x 1 x k
4
π
⇔ = ⇔ = + π 0.25
KL nghiệm :
x 2m
4
π
= + π 0.25
2 (1.0 đ).ĐK: sin 3x 0.
4
π
+ ≥
(1) 0,25
Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với pt:
sin 2x 1
2
=
x k ;
12
π
12
π
= + π
0.25
Trong khoảng (−π π; ) ta nhận cỏc giỏ trị :
x
12
π
= ; x 11 ;
12
π
= − x 5
12
π
= ; x 7
12
π
= −
0.25
Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giỏ trị thỏa món là:
x
12
π
= ; x 7
12
π
= −
0,25
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: toán 11 THPT
Trang 3
-II 3.0
1 (1.0 đ)
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0
Số các số tìm được là 2 3
4 5
5.C C 5! 36000= (số)
0.5
TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0
Số các số tìm được là C C 6! 2880034 35 = (số)
0.25 Đ/ số 36000 28800 64800+ = số 0.25
2 (1.0 đ) Dễ thấy ( ) (5 )2011 ( )2016
M= +1 x =C +C x +C x +C x +C x +C x
N= +1 x =C +C x + + C x + + C x
P= +1 x =C +C x C+ + x + + C x
0.25
0.25
Ta có hệ số của x trong P là k Ck2016
Vì P M.N= , mà số hạng chứa x trong M.N là : k
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
nên
3 (1 điểm)
Ta có:
1 2 3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
= = +
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1
Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k 0.25
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1)
đúng với n=k+1
1 (1 đ)
Trang 4Ta có: (k 1)(k 2)
3)
k(k 2)
1)(k (k
2 1
+ +
+
= + +
0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta được
1.4.2.5.3.6 n(n 3)
2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1)
n
+
0.25 ⇒ Un=3(n 1)(n 3)++ 0.25 ⇒ Un
lim
n 3(n 1) 3+ =
2.(1 điểm)
Ta có
3 3
x 0
1 2x 1 4x 1 1
L Lim x 1 2x 2012 2012
→
3
x 0
Lim x 1 2x 0
3
0.5
Vậy L 0 2012 2 2012.2 16096
1.(2 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành 0.5 +) MNPQ là hình vuông =
⇔ =
MN NP
+) Lúc đó S MNPQ = 1 2
4b
0.5
2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng
0.5
Trang 5
Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200
Ta được vị trí của M trong tam giác ABC
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa