Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 23

Câu III 2,0 điểm 1 Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số chia hết cho nhưng không chia hết cho 2 Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11

NĂM HỌC 2010-2011

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình lượng

giác

2) Giải hệ phương trình

Câu II (2,0 điểm)

1) Cho a, b, c là ba hằng số

và là dãy số được xác định bởi công thức:

Chứng minh rằng khi và chỉ khi

2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các

số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là

số hạng thứ chín.

Câu III (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số chia hết cho nhưng không

chia hết cho

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu

nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác

nhau.

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho hình hộp Trên cạnh AB

lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M

là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các

điểm B', D' khác S Chứng minh rằng:

Câu V (1,0 điểm)

Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần

hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số

HẾT

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

sin 3 cos 2 x x  sin x  0.





n

u  a n   b n   c n     n

lim n 0

n u

  0.

a b c   

3

2 3 3n n n 21 1

' ' ' '.

ABCD A B C D ( ACD ').

sin sin

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM

2) Giải hệ phương trình 2,0 đ

I.1

(1,0đ)

Có:

0,25 nên PT 0,25

0,25

(với k nguyên)

0,25

I.2

(1,0đ)

Điều kiện: Đặt với

HPT 

0,25   

0,25   (thỏa)

0,25 Kết luận: nghiệm hệ phương trình là

0,25

Câu II

1) Cho a, b, c là ba hằng số và là dãy số được xác định bởi công thức:

Chứng minh rằng khi

và chỉ khi

2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các số đó,

biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng

II.1

(1,00đ)

Đặt khi

Ta có: 0,25 cho nên: nếu thì

0,25 Ngược lại nếu thì khi ta có

0,50

II.2

(1,00đ)

Gọi là ba số theo thứ tự lập thành

một cấp số nhân có công bội q; (v n)

là cấp số cộng có công sai d với Khi đó ta có:

Dễ thấy q = 1  d = 0,

q = 1

0,25 Nếu q  1 hệ trên trở thành

 a = 2, b = 6, c = 18

0,25

Câu

III

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; số chia hết cho nhưng không chia hết

cho

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu

sin 3 cos 2x xsin x0







sin 3x3sinx 4sin x(3 4sin )sin x x (1 2cos 2 )sin ,x x

[(1 2cos 2 ) cos 2x x 1]sin x 0

(4cos 2 4cos 2 cos 2 1)sin 0 (1 cos 2 )(1 4 cos 2 )sin 0

sin 0

2 cos 2 1

x

x k x







 x y  ; 2cos 2[ 2; 2]

2cos 2











y, [0; ]2 v

u v  

(1 cos 2 )(1 cos 2 ) 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1





 sin2 cos2 1/ 2

sin 2( ) 1

u v



 

 sin cos 1/ 2

4

u v





 





 sin( ) sin( ) 2

4

u v





 





 sin( ) 1/ 2

4

u v

u v





 





 4 4

u v

u v



 





  







4 0

u v









 



 2cos 0 2 2cos 0 2

x y











 u n

1 2 3 ( *)

n

u a n b n c n   n

lim n 0

a b c  

1

n

n



n  

1

u v n 0

a b c   lim n( ) 0

0

a b c  n   a b c

n

u v1a u a v, 3 b v b u, 9 c c

2

2 (1)

8 (2)

26 3 10 26 (3)

 





 



 26 3

a b c   (ad 0)

2

2 1

4 3 0

3 10 26

d a q







   





3 2

q

a d







 





3

233n n n 2 1.1

nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác

nhau

III.1

(1,0đ)

Đặt A n =

n = 0 thì A 0 = = 3 chia hết cho 31 mà không chia hết cho 32 0,25

Giả sử A k = chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 ; với B

nguyên, không chia hết cho 3).Ta có:

A k+1 = =

0,25

Dễ thấy: chia hết cho 3 mà không chia

hết cho 3 (vì B không chia hết cho 3)

nên không chia hết cho 3

Ý.2

(1,0đ)

Ta có:

0,25

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là Chọn 2 chữ số

còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1

trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi

hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số

(chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a,

a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy số tự nhiên.

TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1

trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia

bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó:

có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự

nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà

b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy số tự nhiên. 0,25

Vậy:

0,25 Kết luận:

0,25

Câu

IV

1) Cho hình hộp Trên cạnh AB lấy

điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt

phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình bình hành và M là

trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S Chứng minh rằng:

3,0 đ IV.1.a

(0,75đ)

Trong

mp(AB

CD),

qua M

vẽ

đường

thẳng

song

song với

AC cắt

DB, BC

0,50

3

2 n 1

1

2 1

3

2 k 1

2 k  1 2 k  1 2 k 1 2 k  2 k 1

A A

1  12 3

3k 3k 3 2 k

B3k2B3B32k1 B23k  

3 2 1.3 k

B B 23k

2 2.3 k 1 23k

5

9 59.049

  

3 9

C 5!

3 60 3!

 

5!

2!2!

3 9

9!

(60 90)C 150 150 7 4 3 12600

3!6!

A

         

  12.600 1.400 0,213382106

59.049 6.561

A

 ABCD A B C D(ACD ' ' ' '.')

4 ' ' 3

S

J

R

P

K

I

Q F

O

C'

B'

A'

C

A

B D

D'

M

lần lượt tại E, N

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại

R, Q

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P

IV.1.b

(1,25đ)

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên

MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

 Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

  MJ=NK và

PK=QI

 Các tam giác

RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam giác JKI,

Đặt ta có điều kiện và có:

 S2 =( k2 +

 Diện tích thiết diện:

S lớn nhất   M là trung điểm của AB

0,25

VI.2

(1,00đ)

Lấy I = AMB'D' và O = ACBD,

ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)

 S, O, I thẳng hàng

Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC



0,25

Vẽ BP // B'I và DN // D'I  Đặt

  (*) 0,25 Suy ra:

0,25

Từ (*):   

  

0,25

Câu V Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuầnhoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị

'

MN MB NB NM PC PQ QC QP

;

AM k

AB 

0k 1

2 1

k

      

 

 

2

k



        

td

S S  S

2

td

S

S  S k  k  S  k   

1 2

k 

1 2

k 

P

N

D'

I O

M D

B

C A

S

B'

2 3

SI

SO 

P N SO OP ON,  

;

2 3

x y

   x y , [1; 2]   

2

3

3

     



1 x 2

x x(3x y x x ) 22

3 3 2

xy

3 2

x y xy





1 1 3

2

x y 

sin sin

(1,0đ)

Tập xác định của hàm số là (đối xứng qua 0)

Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó

không đồng nhất bằng 0) 0,25

Vậy, f tuần hoàn 0,25

( ) sin sin

yf x D   x

( ) ( )

,

   

( 2 ) ( )

,

    

sin

t0;  x

0

min min sin 0,

t

 

0

max max sin 1

t

 