Tìm các số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín.. 2 Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác sin 3 cos 22 x x + sin2x = 0.
Câu II (2,0 điểm)
1) Cho a, b, c là ba hằng số và ( ) u là dãy số được xác định bởi công thức:n
n
u = a n + + b n + + c n + ∀ ∈ n ¥ Chứng minh rằng limn un 0
→∞ = khi và chỉ khi a b c + + = 0.
2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các
số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là
số hạng thứ chín.
Câu III (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 23n + 1 chia hết cho 3n+1 nhưng không chia hết cho 3n+2.
2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho hình hộp ABCD A B C D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là ' ' ' '.
mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ACD ').
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S
Câu V (1,0 điểm)
Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = sin ( π sin x )
HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 2CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu I
1) Giải phương trình lượng giác sin 3 cos 22 x x+sin2x=0
2) Giải hệ phương trình ( ) ( )
x y
x y y x
I.1
(1,0đ)
Có: sin 3x=3sinx−4sin3x= −(3 4sin2 x)sinx= +(1 2cos 2 )sin ,x x
0,25
x
x k x
=
= −
I.2
(1,0đ)
Điều kiện: ;x y∈ −[ 2; 2] Đặt 2cos 2
2cos 2
=
=
y v với ,u v∈ π[0; ]2
HPT ⇔ (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 2cos 2 sin 2− u u v++cos 2 sin 2v v = u=1
⇔
u v
u v
4
u v
u v
+ =
4
u v u v
u v
+ =
⇔
4
u v
u v
− =
+ =
4 4
u v
u v
− =
+ =
π
π ⇔ 04
u v
=
=
π
(thỏa)
0,25
2cos 0 2
x y
π
Câu II
1) Cho a, b, c là ba hằng số và ( )u là dãy số được xác định bởi công thức: n
n
u =a n+ +b n+ +c n+ ∀ ∈n ¥ Chứng minh rằng limn u n 0
→∞ = khi và chỉ khi a b c+ + =0.
2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các số
đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số
II.1
(1,00đ)
1
n
n
cho nên: nếu a b c+ + ≠0 thì limn u n( ) 0.
→+∞ = ∞ ≠
0,25 Ngược lại nếu a b c+ + =0 ⇒ a= − −b c thì khi n→ +∞ ta có
n
II.2
(1,00đ)
Gọi u1=a u, 2 =b u, 3=c là ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội q; (v n)
Trang 31 1
1 1
2 3
2
3 9
u v a
u v a
aq a d
u v b
u v c aq a d
= =
+ + = + =
Dễ thấy q = 1 ⇔ d = 0, nên:
q = 1 ⇔ 26
3
a b c= = =
0,25 Nếu q ≠ 1 (ad ≠0) hệ trên trở thành
2
2 1
d a
q
q q
a d
=
− + =
+ =
2
q
a d
=
= =
0,25
Câu
III
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; số 23n +1 chia hết cho 3n+1 nhưng không chia
hết cho 3n+2
2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu
nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác
III.1
(1,0đ)
Đặt A n = 23n+1
n = 0 thì A 0 = 21+1 = 3 chia hết cho 31 mà không chia hết cho 32
0,25
Giả sử A k = 23k +1chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 ; với B nguyên,
không chia hết cho 3).Ta có:
A k+1 = 1 ( )3 ( ) ( ) ( 2 )
A k+1 = A A k( k2− ×3 23k ) = 1 ( 1)2 3
B× + B× + − ×
= 3k+2B3×32k+1− ×B 23k
0,25
Dễ thấy: B3 2 1.3 k+ chia hết cho 3 mà B×23k không chia hết cho 3 (vì B không chia hết cho 3)
nên B2 2.3 k+1−23k không chia hết cho 3
⇒ A k+1 chia hết cho 3k+2, nhưng không chia hết cho 3k+3 Kết luận: 0,25
Ý.2
(1,0đ)
Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là 3
9
C Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:
TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5!
hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị
của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả
3!
TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác
trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c
tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị
của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy
5!
2!2!
0,25
9!
3!6!
A
0,25
Trang 4Kết luận: ( ) 12.600 1.400 0,213382106
A
P A Ω
Câu
IV
1) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt
phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ACD ')
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một
mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S Chứng
SB SD
SB SD
3,0 đ
IV.1.a
(0,75đ)
S
J
R
P
K
I
Q F
O
C'
B'
A'
C
A
B D
D'
M
Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N
Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại
R, Q
Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S
IV.1.b
(1,25đ)
Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên
MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.
⇒ MN MJ = MA MB = NC NB = NM NK = PC PC' = PK PQ = QD QC'' =QP QI ⇒ MJ=NK và PK=QI
⇒ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích
AB = ta có điều kiện 0< <k 1 và có:
2 1
k
= ÷ = ÷ = ÷ =
⇒ S1 = k
2S
0,25
( )
2
S JK JM MK JM MK
k
+
= ÷ = ÷ = + ÷ = +
Trang 5⇒ Diện tích thiết diện: S td =S2−3S1
2
td
S
S S k k S k
= − + + = − − ÷ ≤
1 2
k = )
0,25
S lớn nhất ⇔ 1
2
0,25
VI.2
(1,00đ)
P
N
D'
I O
M D
B
C A
S
B'
Lấy I = AM∩B'D' và O = AC∩BD,
ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)
⇒ S, O, I thẳng hàng.
Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC
⇒ 2
3
SI
SO =
0,25
SD SB
SD SB
SB SD SP SN SO
x y
SB SD SI SI SI
0,25 Suy ra:
2
3
3
x y xy x y
+ = ≥ ÷ =
+
Từ (*): 1≤ ≤x 2 ⇔ x2− + ≤3x 2 0 ⇔ (3x − ≥x) 2 ⇔ x y× ≥2
⇔ xy3 ≤32 ⇔ 3
2
x y
xy+ ≤ ⇔ 1 1 3
2
x+ ≤y
0,25
Câu V Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin(πsinx) 1,0đ
V
(1,0đ)
Tập xác định của hàm số y= f x( ) sin= (πsinx) là D=¡ (đối xứng qua 0)
,
x f x f x
,
x f x f x
0
t
≤ ≤π
= =
0
t
≤ ≤π
0,25