Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K.. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC.. Tìm ,x y để
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Môn thi: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I Giải phương trình: cosx 1
12 x sin 2
− π
(1)
Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:
1
* 2
1
2
2012 2013
n
u
n N
=
Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi:
n
i n
u S
u
=
−
∑ Tìm limn S n
→∞
Câu III Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
Câu IV
1)Cho hình chop S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho 2
3
SM = SA, 2
3
DN = DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K
a) Chứng minh rằng: MH / /(SBD )
b) Gọi O là giao điểm của SB với (MNH) Chứng minh: OK/ /SC
2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM =x,
AN = y Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43 Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phần nguyên của 3 8 2 1
3
n
là một số nguyên tố
Trang 2HƯỚNG DẪN
Câu I Giải phương trình: cosx 1
12 x sin 2
− π
(1)
12
sin 12 x 2 sin
2 − π=
− π
⇔
1 sin 2x sin
12
cos 6 sin 2 12
sin 4
sin 12 x 2
− π
⇔
12
5 sin 12
cos 12
x 2
− π
⇔
( )
x k hay x k k Z( )
Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:
1
* 2
1
2
2012 2013
n
u
n N
=
Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi:
n
i n
u S
u
=
−
∑ Tìm limn S n
→∞
Giải:
Tacó:
( )
1
*
1
(*) ; 2013
n
n n
n
n n
u
u u
+
+
−
= ⇒ < < < < <
Suy ra un là dãy tăng
Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho limn u n L (L 2)
→∞ = > Từ (*) ta có : 1
( 1)
2013
n n
u u
−
1 ( 1)
0 2013
L
L L
L
=
−
⇒ = + ⇒ = (vô lý) ⇒ un không bị chặn trên Suy ra limn n limn 1 0
n
u
u
→∞ = +∞ ⇒ →∞ = Mặt khác :
Trang 3( ) ( )
2 1
1
n
u
+
+
1
u Cho n
Tương tự
2
2013
2013
n
u
u
M M
Cộng vế theo vế ta được :
1
2013 1
n
i
n
u
S
1
1
1
n
n
S
u
→∞ →∞
+
−
Câu III Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
HD:
Áp dụng BĐT cauchy ta có: ( ) ( )
Câu IV
1)Cho hình chop S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho 2
3
SM = SA, 2
3
DN = DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần
lượt tại H, K
a) Chứng minh rằng: MH / /(SBD )
b) Gọi O là giao điểm của SB với (MNH) Chứng minh: OK/ /SC
a) Chứng minh: MH / / ( SBD )
Chỉ ra được 2
3
DA SM
DA= SA = Suy ra MH/ /SD⊂(SBD)⇒MH//(SBD) b) Chứng minh: OK / / SC
Chỉ ra được: MO SB O SB/ / ( ∈ ) 1; 1
SB BC
Trang 42) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt
,
AM =x AN = y Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Kẻ DH ⊥MN , do (DMN)⊥(ABC) suy ra DH⊥(ABC)
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC
Ta có: SAMN =
2
1 AM.AN.sin600 = xy
4
3
; SAMN = SAMH + SANH
=
2
1
.AM.AH.sin300+
2
1 AN.AH.sin300 =
3
3 4
1 (x+y)
Suy ra xy
4
3
= 3
3 4
1 (x+y)⇒ x+y= 3xy (0≤x,y≤1 )
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN =
2
1 AD.AM.sin600+
2
1 AD.AN.sin600
+
2
1
DH.MN +
2
1 AM.AN.sin600 = 3 xy + 3xy(3xy 1)
6
xy x y= + ≥ xy ⇒ xy ≥ ⇒ xy≥
Suy ra min 3(4 2),
9
3
x= =y
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43 Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11
Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nên tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 của 5 chữ số lớn nhất bằng
45 Nhưng theo giả thiết, tổng của các chữ số trong số được chọn là 43 = 45 – 2 nên có thể xảy
ra các trường hợp sau:
- Một chữ số là 7, tất cả các chữ số còn lại đều bằng 9 là 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 :
có 5 số như vậy
Trang 5- - Hai chữ số đều là 8, ba chữ số còn lại đều là 9 có tất cả 5.4 10
2 = số như vậy Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; ; 99988
- Vậy tất cả có 15 số trong đó mỗi số có 5 chữ số có tổng bằng 43
để số được chọn chia hết cho 11 thì cần và đủ là:
- d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11
-Chỉ có 3 số trong 15 số nói trên thoả mãn điều kiện đó:
97999 ; 99979 và 98989 Nên xác xuất cần tìm là 3 1
15 = 5 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phần nguyên của 3 8 2 1
3
n
+ + là một số
nguyên tố
Gọi S là tập hợp các số nguyên tố
Trường hợp 1:
3
n = k
2
2
2
[ ] A ∈ ⇔ = ⇔ = S k 1 n 3
Trường hợp 2:
n = k +
[ ] ( ) ( )
[ ]
2
2
∈ ⇔ = ⇔ =
Trường hợp 3:
( )
n = k + n >
[ ]
Kết luận: [ ] A ∈ ⇔ ∈ S n { } 1;3