Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB=2.. Tìm quỹ tích của điểm M.. a Xác định số hạng tổng quát của dãy số un... Thay vào 3 thỏa mãn.
Trang 1Trường THPT Lê Quý Đôn
-o0o -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN- KHỐI 11-VÒNG 2
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình :
= + +
4 6 4 2
x y x
y z y y
z x z z z
Câu 2 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB=2 Trong mặt phẳng
chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 = MC2 Tìm quỹ tích của điểm M.
Câu 3 (2,5 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
1
a b + b c + c a ≤
Câu 4 (3,0 điểm) Cho dãy số ( ) un xác định bởi u1 = 1 và 2
u + = u + , n N∀ ∈ * a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) un .
1 2 3 2015
-HẾT -Họ và tên học sinh:……… SBD:………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- VÒNG 2
Câu/
điểm
Câu
1(2,5đ)
Nếu x=0 thì (1) => y=0, (2)=> z=0 Thay vào (3) thỏa mãn 0,5
Nếu x≠0 thì (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0 0,25
Ta có 2x2 = y(1 + x2) ≥ 2xy (BĐT cosi)⇔ x ≥ y
3y3 = z(y4 + y2 +1) ≥ z.3y2⇔ y ≥ z (vì y4 + y2 + 1 ≥ 3y2)
4z4 = x(z6 + z 4 + z2 +1) ≥ x.4z3⇔ z ≥ x (vì z6 + z4 + z2 + 1 ≥ 4z3)
=> x ≥ y ≥ z ≥ x ⇔ x = y = z
1,5
Khi đó thay vào hệ ta được: x = y = z = 1 Hệ có 2 nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) 0,25
Câu
2(2đ) Chọn hệ trục tọa độ Bxy sao cho B( )0;0 , tia Bx qua A và tia Byqua C Vì
2
AB = , ABC ∆ vuông cân tại B, nên ta có:A( )2;0 , C( )0;2 Giả sử M x y( ; )
0,5
MA + MB = MC ( )2 2 2 2 2 ( )2
⇔ x2+y2−4x+4y=0 Đây là pt của đường tròn tâm I(2; 2− ), R=2 2.
1,0
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I(2; 2− ), bán kính R=2 2. 0,5
Câu
3(2,5đ) a b+ =( 3 a +3 b) ( 3 a2 −3 ab +3 b2) ≥ 3 ab(3 a +3 b) 0,5
0,5
Tương tự:
0,5
Vậy:
1
+ +
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
0,5
Câu 4a
(1,75đ)
Dễ thấy u n > ∀ ∈0, n N* Có 2 2 2
v =u thì có: v n+1 =3v n + ⇔2 v n+1+ =1 3(v n +1) , n N∀ ∈ * 0,5 Đặt x n = +v n 1 , ta có: x n+1=3x n *
, n N∀ ∈ Suy ra ( )x n là cấp số nhân với x1 =2,
ccông bội q= 3
0,5
Câu 4b
(1,25đ)
Ta có S=2.30+2.31+2.32+ + 2.32014−2015 0,5 ( 0 1 2 2014)
2 3( 2015 1)
2015
3 1
−
−
0,25 2015