Về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ cyclic tựa co và co suy rộng

41.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric.. 6 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không 2.1 Một số kết quả về

TRẦN THỊ LIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA

CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TỰA CO VÀ CO SUY RỘNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

PGS TS: ĐINH HUY HOÀNG

Nghệ An - 10/2014

Mở đầu 2

1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic

trong không gian mêtric 6

2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không

2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh

xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric 132.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T - cyclic

co kiểu Hardy - Rogers 20

1

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọngcủa giải tích hàm Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kĩ thuật.Kết quả đầu tiên là phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh

xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach Người ta đã tìm cách mởrộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau.Một trong những mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic tựa co, co suyrộng và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó Năm 2003, Kirk và cáccộng sự [6] đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp các ánh xạ thỏamãn điều kiện co cyclic Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu

về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co trongkhông gian mêtric Năm 2012, P Chaipunya và các cộng sự [4] đã giới thiệukhái niệm ánh xạ cyclic tựa co và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểmbất động của loại ánh xạ này trong không gian mêtric

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất độngchúng tôi tiếp cận hướng này để nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động và bấtđộng chung các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co trong không gian mêtric.Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian mêtric

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả

cơ bản về không gian mêtric mà chúng có liên quan đến nội dung của luận văn

2

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ cyclic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric đã có trong tàiliệu tham khảo.

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric

Trong mục thứ nhất của chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạcyclic tựa co và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặpánh xạ này, đó là Định lý 2.1.2 và các hệ quả 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, trong đó

Hệ quả 2.1.3 chính là Định lý 2.4 trong tài liệu [4] Trong mục thứ hai, chúngtôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu Hardy - Rogers và đưa ramột số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T − cyclic

co kiểu Hardy - Rogers, đó là Định lý 2.2.2 và các Hệ quả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5,2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, trong đó Hệ quả 2.2.6 là kết quả chính trong [7]

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình đến Thầy

Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm KhoaToán- Trường Đại học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong KhoaToán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trongsuốt thời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạntrong lớp Cao học khóa 20 - Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ vàđộng viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức vàthời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý Thầy

Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2014Tác giả

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ

cyclic trong không gian mêtric

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh

xạ cyclic trong không gian mêtric

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric

và ánh xạ mà chúng cần dùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X và hàm d : X × X → R Hàm d được

gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau

(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x=y ;

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho X là không gian mêtric, dãy {xn} trong X được

gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0∈ N∗ sao cho với mọi m, n ≥ n0thì d(xn, xm) < ε

Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy

Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều

hội tụ

Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh

Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóngcủa một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ

1.1.3 Định lí ([1]) Giả sử Y là tập con của không gian mêtric(X , d) Khi đó,

Y đóng trong X khi và chỉ khi mọi dãy {yn} trong Y mà {yn} hội tụ tới x ∈ X thì

x∈ Y

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X , d) là một không gian mêtric Ánh xạ f : X → X

được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho

d( f x, f y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ X

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho (X , d) là một không gian mêtric và ánh xạ

f : X → X Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a.

1.1.6 Định lí ([1]) (Nguyên lý co Bannach) Mọi ánh xạ co trên không gian

mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động.

1.1.7 Định nghĩa ([4]) Giả sử f , g là hai ánh xạ từ X vào X Điểm x ∈ X được

gọi là điểm trùng nhau hay điểm chung của f và g nếu f (x) = g(x).

Nếu x là điểm chung của f và g thì điểm y = f x = gx được gọi là giá trị

chungcủa f và g

Tương tự như trên ta định nghĩa điểm chung và giá trị chung cho ba, bốn, ánh xạ

Hai ánh xạ f , g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán với nhau tại

các điểm chung, tức là nếu x ∈ X là điểm chung của f và g thì f gx = g f x

1.1.8 Bổ đề ([5]) Giả sử X là tập khác rỗng và T là ánh xạ từ X vào X Khi

đó, tồn tại tập con Y ⊂ X sao cho T (Y ) = T (X ) và T : Y → X là đơn ánh.

1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh

xạ cyclic trong không gian mêtric

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạcyclic thoả mãn các điều kiện co trong không gian mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho A1, A2, , Ap, Ap+1= A1 là các tập hợp khác rỗngcủa không gian mêtric X và ánh xạ T :

p− cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (Ai) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p

Chú ý Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p − cyclic và T có điểm bất

1.2.2 Bổ đề Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, F : X → X là ánh xạ liên tục

và tồn tại k ∈ [ 0, 1) sao cho

d(Fx, F2x) ≤ kd(x, Fx) ∀x ∈ X

thì F có điểm bất động trong X Hơn nữa, với mỗi x0∈ X, dãy {Fn(x0)} hội tụ

tới điểm bất động của F.

Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt xn = Fxn−1 với mọi n = 1, 2, Khi đó, vớimỗi n = 1, 2, ta có

d(xn, xn+1) = d(Fxn−1, F2xn−1) ≤ kd(xn−1, Fxn−1)

= kd(Fxn−2, F2xn−2) ≤ k2d(xn−2, Fxn−2)

≤ ≤ knd(x0, Fx0) = knd(x0, x1)

Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có

1 − kd(x0, x1) → 0 khi n → ∞, với mọi m = 0, 1

Từ đó suy ra {xn} là dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên xn → x ∈ X Vì F liên tụcnên xn+1= Fxn→ Fx Do đó, x = Fx

1.2.3 Định lí ([6)] Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian

mêtric đầy đủ X , và giả sử F : X → X thoả mãn các điều kiện sau

(1) F(A) ⊆ B và F(B) ⊆ A;

(2) d(Fx, Fy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y ∈ B, trong đó k ∈ (0, 1).

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B.

Chứng minh. Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra

d(Fx, F2x) ≤ kd(x, Fx)Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A ∪ B và A ∩ B đóng trong X Do X đầy đủnên A ∪ B và A ∩ B đầy đủ Theo cách chứng minh của Bổ đề 1.2.2 thì { fnx}làdãy Cauchy trong A ∪ B Do đó, fnx → z ∈ A ∪ B Từ cách xây dựng dãy { fnx}thì có một dãy con nằm trong A và một dãy con nằm trong B Vì A và B đóng

và hai dãy con này hội tụ tới z nên z ∈ A ∩ B Như vậy , A ∩ B 6= /0 và đầy đủ Từđiều kiện (2) suy ra F |(A∩B) là ánh xạ co trên A ∩ B Do đó, theo Nguyên lý ánh

xạ co Banach thì F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B

1.2.4 Hệ quả ([6]) Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian

mêtric đầy đủ X Cho f : A → B và g : B → A là hai hàm số sao cho

d( f x, gy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y∈ B

trong đó k ∈ ( 0, 1) Khi đó, tồn tại duy nhất x0∈ A ∩ B sao cho

2) sao cho với mỗi cặp (x, y) ∈ Ai× Ai+1 với

1 ≤ i ≤ p, ít nhất một trong các điều sau đây là đúng:

(1) d(T x, Ty) ≤ ad(x, y);

(2) d(T x, Ty) ≤ b[d(x, T x) + d(y, Ty)];

(3) d(T x, Ty) ≤ c[d(x, Ty) + d(y, T x)].

hội tụ đến x∗ với bất kì điểm x0 ∈

p

S

i=1

Ai; (iii) Các đẳng thức sau là đúng

d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x, T x), (1.1)và

d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x, Ty), (1.2)trong đó λ = max

có vô số số hạng trong Ai, với mọi i ∈ {1, 2, , p} Do đó, x∗ ∈

p

T

i=1

Ai 6= /0 Đểchứng minh rằng x∗ là điểm bất động của T ta sẽ sử dụng ( 1.1)

d(xn+k, xn+k+1)

≤

m−1

∑k=0

tức là T (Ai) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p, trong đó Ap+1= A1 Khi đó, nếu tồn tại α ∈ [0,1

2] sao cho

d(T x, Ty) ≤ α max{d(x, y), d(x, T x), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y, T x)}

với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và i =1, 2, , p

thì T có điểm bất động duy nhất x∗trong

Chứng minh. Lấy x0 ∈ Ai với i nào đó, mà 1 ≤ i ≤ p Đặt x1 = T x0, x2 =

T x1, , xn= T xn−1= Tnx0, Khi đó, vì T là ánh xạ cyclic nên nếu xn∈ Ai thì

xn+1∈ Ai+1, 1 ≤ i ≤ p Do đó, với mọi n = 1, 2, ta có

nên r ∈ [0, 1) Từ bất đẳng thức trên ta suy rad(xn, xn+1) ≤ rd(xn−1, xn) ≤ r2d(xn−2, xn−1)

Do đó, d(xn, xn+m) → 0 khi n → ∞ với mọi m = 0, 1, Vậy {xn} là dãy Cauchy.

Vì X đầy đủ nên xn→ x∗∈ X Mặt khác, từ cách xây dựng {xn} suy ra, với mỗi

i= 1, 2, , p đều tồn tại dãy con của {xn} nằm trong Ai, mà Ai là tập con đóngcủa X nên x∗∈ Ai Do đó x∗∈

= d(x∗, xn+1) + d(T xn, T x∗) ≤ d(x∗, xn+1)+ α max {d(x∗, x∗), d(xn, xn+1), d(x∗, T x∗), d(xn, T x∗), d(x∗, T xn+1)}

≤ d(x∗, xn+1) + α max {d(xn, x∗), d(xn, xn+1), d(x∗, T x∗), d(xn, x∗)+ d(x∗, T x∗), d(x∗, xn+1)}

suy ra d(x∗, T x∗) = 0 , tức x∗= T x∗ Vậy x∗ là điểm bấtđộng của T

Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại của điểm bất động chungcủa các ánh xạ T-cyclic tựa co và T-cyclic co kiểu Hardy - Rogers

2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của

cặp ánh xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric

Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một định lý và một số hệ quả của nó về sựtồn tại điểm bất động của cặp ánh xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtricđầy đủ

2.1.1 Định nghĩa Giả sử A1, A2, , Ap là các tập hợp con khác rỗng trongkhông gian mêtric (X , d) ; f , g và T là ba ánh xạ từ S p

i=1Ai và chính nó

1) Ánh xạ f được gọi là cylic tựa co nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại α ∈ [0,1

2)

13

sao cho

d( f x, f y) ≤ αmax{d(x, y), d(x, f x), d(x, f y), d(y, f x), d(y, f y)} (2.1)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, với mọi i=1,2, ,p; trong đó Ap+1 = A1

2) Hai ánh xạ f , g được gọi là cặp T-cyclic tựa co nếu thỏa mãn điều kiện sau

(i) f (Ai) ∪ g(Ai) ⊂ T (Ai+1) với mọi i=1,2, ,p, trong đó Ap+1= A1;

(ii) Tồn tại α ∈ [0,1

2) sao chod( f x, gy) ≤ αmax{d(T x, Ty), d(T x, f x), d(T x, gy), d(Ty, f x), d(Ty, gy)}

(2.2)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , p; trong đó Ap+1= A1

Chú ý Trong Định nghĩa 2.1.1.2) nếu lấy T x = x và gx = f x với mọi x ∈ X

thì f là ánh xạ cyclic tựa co

2.1.2 Định lí Giả sử (X , d) là không gian mêtric đầy đủ, A1, A2, , Ap là các tập con khác rỗng trong X ; f , g, T là các ánh xạ từ

p

S

i=1

Aivào chính nó, thỏa mãn điều kiện sau

(1) T đơn ánh và T (Ai) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p;

(2) f và g là cặp T-cyclic tựa co.

Khi đó, f , g và T có điểm trùng (tức là điểm chung) và có duy nhất một giá trị chung Hơn nữa nếu ( f , T ) và (g, T ) là các cặp ánh xạ tương thích yếu thì f , g

và T có duy nhất một điểm bất động chung.

Chứng minh. Lấy x0∈ Ai với i nào đó thuộc {1, 2, , p} Vì f x0∈ T (Ai+1) nêntồn tại x1∈ Ai+1 sao cho f x0= T x1 Vì gx1∈ T (Ai+2) nên tồn tại x2∈ Ai+2 saocho gx1= T x2 Do f x2∈ T (Ai+3) nên tồn tại x3∈ Ai+3sao cho f x2= T x3 Tiếptục lý luận tương tự ta xây dựng được dãy {xn} trong ∪i=1p Aithỏa mãn điều kiệnsau

(a) Nếu xn∈ Ai thì xn+1∈ Ai+1với i ∈ {1, 2, , p} trong đó Ap + 1 = A1;

(b) f x2n = T x2n+1 ,gx2n+1= T x2n+2 , ∀n = 0, 1

Vì f và g là cặp T − cyclic tựa co nên theo điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.1tồn tại α ∈ [0,1

2) sao cho(T x2n+1, T x2n+2) = d( f x2n, gx2n+1)

là dãy Cauchy Do (X , d) đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho T xn → y Từ cáchxây dựng dãy {xn} ta thấy rằng, với mỗi i ∈ {1, 2, , p}, tồn tại dãy con {T xi,n}của dãy {T xn} sao cho {T xi,n} ⊂ T (Ai) Do T xn→ y nên kết hợp với tính đóngcủa T (Ai) suy ra y ∈ T (Ai) với mọi i = 1, 2, , p Do đó y ∈

p

T

i=1

T(Ai) Mặt khác, theo giả thiết T là đơn ánh nên từ y ∈

Ai sao cho y = T x Như vậy T xn → T x

Bây giờ, ta chứng minh x là điểm chung của f , g và T Vì x ∈

p

T

i=1

T(Ai) nêntheo điều kiện (2.2) ta có

d(y, f x) ≤ d(y, T x2n+2) + d(T x2n+2, f x)

= d(y, T x2n+2) + d( f x, gx2n+1)

≤ d(y, T x2n+2) + αmax {(T x, T x2n+1)d(T x, f x), d(T x, T x2x+2),

d(T x2n+1, f x), d(T x2n+1T x2n+1)} (2.7)với mọi n=0,1, Vì T xn→ T x = y nên T x2n+1→ T x, T x2n+2 → T x Từ đó suy

ra vế phải của (2.7) dần tới αd(y, f x) Kết hợp với (2.7) ta có

p

T

i=1

Ai

Do đó theo điều kiện (2.2) ta có

Sau đây là một số hệ quả của Định lý 1.1.2

2.1.3 Hệ quả ([4] Therorem 2.4) Giả sử A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X , d) Khi đó, nếu f :

Trước khi phát biểu hệ quả tiếp theo của Định lý 2.1.2, ta cần các khái niệmsau

2.1.4 Định nghĩa ([4]) Cho X là một tập hợp khác rỗng và f , g là hai ánh xạ

từ X vào X Tập

p

S

i=1

Xi được gọi là một biểu diễn cyclic của X giữa f và g nếu

thỏa mãn các điều kiện sau

2) Xi là tập con khác rỗng của X với mọi i = 1, 2, , p;

3) f (Xi) ⊆ g(Xi+1), với mọi i = 1, 2, p; trong đó Xp+1= X1

2.1.5 Định nghĩa ([4]) Cho A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng củakhông gian mêtric (X , d), Y =

Ai là một biểu diễn cyclic của Y giữa f và T ;

2) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho

d( f x, f y) ≤ αmax{d(T x, Ty), d( f x, T x), d( f y, Ty), d( f x, Ty), d( f y, T x)},với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, với mọi i = 1, 2, , p

2.1.6 Hệ quả Cho A1, A2, , Aplà các tập con khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X , d) và Y :=

2) T đơn ánh và T (Ai) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p.

Khi đó, f và T có duy nhất một giá trị chung hơn nữa nếu thêm giả thiết ( f , T )

là cặp tương thích yếu thì f và T có duy nhất một điểm bất động chung.

Chứng minh. Trong Định lý 2.1.2, nếu lấy g = f thì ta thấy Hệ quả này là trườnghợp đặc biệt của Định lý 2.1.2 Do đó điều cần chứng minh được suy ra từ Định

lý 2.1.2

2.1.7 Nhận xét Hệ quả 2.1.6 là trường hợp đặc biệt của Định lý 3.5 trong [4]

khi T là đơn ánh

Ví dụ sau đây minh họa cho việc ứng dụng của Định lý 2.1.2

2.1.8 Ví dụ Giả sử X = {1, 2, 3, 4} và d : X2→ X là hàm được xác định bởi

Do đó, Định lý 2.1.2 áp dụng được cho f , g và T Ta cũng thấy rằng f , g và T

có điểm bất động chung duy nhất là 4