Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự

Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ QUANG HƯNG

MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM

TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ

Hy, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải

để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường THPT Vân Nội, Đông Anh, Hà Nội đã giúp đỡ,tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Ngô Quang Hưng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS TS GVCC Nguyễn Phụ

Hy, luận văn: Một hướng mở rộng định lí tồn tại điểm bất độngcủa toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thự tự làcông trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Ngô Quang Hưng

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự 4

1.1 Khái niệm nón trong không gian định chuẩn 4

1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn 9

1.3 Các phần tử thông ước 12

1.4 Một số nón đặc biệt 14

1.5 Không gian định chuẩn thực l2 18

1.5.1 Định nghĩa không gian l 2 và một số tính chất quan trọng 18

1.5.2 Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l 2 25

1.5.3 Các phần tử thông ước trong không gian l 2 35

Chương 2 Toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự 37

2.1 Khái niệm toán tử lõm 37

2.1.1 Các định nghĩa 37

2.1.2 Một số tính chất đơn giản 38

2.2 Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l2 42 2.3 Mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm 45 2.3.1 Định lí mở rộng 45

2.3.2 Áp dụng 51

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tíchhàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 19 các nhà toán họctrên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng và trởthành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tiễn đặt ra

Năm 1956, nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M.A đã nghiên cứulớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banachthực với một nón cố định Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tácdụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó mộtnón là tập con của nón còn lại

Năm 1975, GS TSKH Bkhatin I.A đã mở rộng các kết quả trên trongcông trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0)-lõm lần lượt tác dụng trongkhông gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banachthực với hai nón cố định chung nhau ít nhất một phần tử khác không.Các lớp toán tử được các nhà toán học Kranoxelxki và Bakhtin nghiêncứu đều có tính chất u0-đo được

Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớptoán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong

đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0-đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự

hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôichọn nghiên cứu đề tài: Một hướng mở rộng định lí tồn tại điểmbất động của toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắpthự tự.

Trong các bài báo, công trình của các tác giả nêu trong mục tài liệutham khảo từ [1] đến [9], khi mở rộng định lí các tác giả thường bổ sungđiều kiện đối với các toán tử, còn đề tài này mở rộng một số định

lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm theo hướng bổsung các điều kiện cho nón

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểmbất động của toán tử lõm theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, bao gồm: kháiniệm nón, quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn, phần tử u0-đođược;

- Tìm hiểu về những nón đặc biệt, nón các phần tử với tọa độ không âmtrong không gian l2;

- Tìm hiểu về khái niệm toán tử lõm, toán tử lõm tác dụng trong khônggian l2;

- Một hướng mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm bất động củatoán tử lõm và áp dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả vềtoán tử lõm, điểm bất động của toán tử lõm trong không gian Banachnửa sắp thứ tự

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nướcngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử lõm trong không gianBanach nửa sắp thứ tự

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán

tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự;

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày tổng quan về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, về toán

tử lõm tác dụng trong không gian l2, sự tồn tại điểm bất động của lớptoán tử trên, vận dụng lý thuyết tổng quan đã trình bày vào không gian

l2

Chương 1 Không gian định chuẩn nửa sắp thứ

tự

1.1 Khái niệm nón trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn thực và K

là tập hợp con khác rỗng của E Tập hợp K được gọi là một nón nếu tậphợp K thỏa mãn các điều kiện sau:

i) K là tập đóng trong không gian E;

ii) Với mọi x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;

iii) Với mọi x ∈ K và mọi α ∈ R+ ta có αx ∈ K;

iv) Với mọi x ∈ K và x 6= θ ta có −x /∈ K, ở đây θ kí hiệu là phần

tử không của không gian E

Ta có một vài tính chất đơn giản của nón K trong không gian địnhchuẩn thực E

Định lý 1.1.1 Giả sử K là một nón trong không gian E Khi đó K làmột tập hợp lồi

Chứng minh Với mọi α ∈ [0, 1], với bất kì x, y ∈ K, theo tính chất iii)

ta có αx ∈ K và (1 − α)y ∈ K Do đó, theo ii) suy ra

αx ∈ K + (1 − α)y ∈ K ∀α ∈ [0, 1]

Vậy K là tập hợp lồi.

Định lý 1.1.2 Giả sử K1, K2 là hai nón trong không gian E Khi đó,nếu K = K1 ∩ K2 chứa ít nhất một phần tử khác không, thì K cũng làmột nón trong không gian E

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện i)-iv) trong Định nghĩa 1.1.1.i) K là tập đóng trong không gian E vì giao hữu hạn các tập hợpđóng là một tập hợp đóng;

ii) Với mọi x, y ∈ K = K1 ∩ K2 ta có x, y ∈ K1 và x, y ∈ K2

K(M ) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M }

là một nón

Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng M ⊂ K(M ) nên K(M ) 6= ∅.Theo giả thiết về tập M, ta luôn tìm được hai số dương c, C (c ≤ C)sao cho

∀z ∈ M, c ≤ ||z|| ≤ C, ∀z ∈ M (1.1.1)Thật vậy, do M là tập bị chặn nên ta có được bất đẳng thức thứ haitrong (1.1.1)

Ta chứng minh bất đẳng thức c ≤ ||z||, ∀z ∈ M Ta thấy, nếuinfz∈M ||z|| = 0, thì theo tính chất của cận dưới đúng trong tập hợp

số thực R, tồn tại một dãy {zn}∞n=1 ⊂ M sao cho dãy số thực {kznk}thỏa mãn

i) Ta chứng minh K(M ) là một tập đóng

Lấy một dãy bất kỳ {zn}∞n=1 ⊂ K(M ) sao cho

lim

n→∞zn = ztrong không gian E

Hiển nhiên, nếu z = θ thì θ = 0.z1 ∈ M, ∀z1 ∈ M, nên z ∈ K(M ).Giả sử z 6= θ Theo định nghĩa giới hạn, với (ε = 1

1

2||z|| ≤ ||zn|| < 3

2||z||, ∀n ≥ n0 (1.1.3)Mặt khác, do zn ∈ K(M ), nên zn = tnzn1, tn ≥ 0, z1

n ∈ M (n = 1, 2, ).Theo (1.1.3)

1

2||z|| < ||tnzn1|| = tn||zn1|| < 3

2||z||,nên từ (1.1.1) ta nhận được

12C||z|| < tn < 3

ii) & iii) Với mọi u, v thuộc K(M ), và với bất kỳ α, β ∈ R+ Giả sử

u = t1z1, v = t2z2, với t1, t2 ∈ R+, z1, z2 ∈ M Khi đó, nếu có ít nhấtmột trong hai số t1, t2 bằng 0 hoặc một trong hai số α, β bằng 0 thì hiểnnhiên

−u0 = t02z20, với t02 > 0, z20 ∈ M Do

θ = u0 + (−u0) = t01z10 + t02z20 = ( t

0 1

t01 + t02z

0

1 + t

0 2

θ = t1

t1 + t2z1 +

t2

t1 + t2z2 ∈ M (do t1 + t2 > 0),điều này trái với giả thiết M không chứa phần tử không Vậy K(M )thỏa mãn điều kiện iv) về nón và do đó K(M ) là một nón trong E 

1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là mộtnón trong không gian E Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K.Định lý 1.2.1 Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.2.1 là mộtquan hệ sắp thứ tự trong E

Chứng minh Ta kiểm tra ba tiên đề về quan hệ thứ tự

i) Tính phản xạ:

Với mọi x ∈ K, x − x = θ ∈ K, điều này có được vì theo định nghĩacủa K ta lấy λ0 = 0 và ∀x ∈ K thì θ = λ0x ∈ K Do đó x ≤ x, ∀x ∈ K,nên tính phản xạ được thỏa mãn

ii) Tính đối xứng:

Giả sử x, y ∈ K, x ≤ y và y ≤ x khi đó x = y Thật vậy, nếu trái lại

x 6= y thì x−y 6= θ Do y −x ∈ K và x−y ∈ K nên −(x−y) = y −x ∈ K,

điều này mâu thuẫn với định nghĩa của K Như vậy tính đối xứng đượcthõa mãn.

Ta có một vài khái niệm liên quan trong không gian định chuẩn thựcnửa sắp thứ tự như sau

Định nghĩa 1.2.3 (Về dãy đơn điệu)

Dãy điểm (xn)∞n=1 ⊂ E gọi là dãy không giảm, nếu

xn ≤ xn+1, n = 1, 2, Dãy điểm (yn)∞n=1 ⊂ E gọi là dãy không tăng, nếu

yn+1 ≤ yn, n = 1, 2, Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.2.4 (Về tập bị chặn trên, bị chặn dưới bởi phần tử)Tập hợp M ⊂ E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u ∈ E, nếu

(∀x ∈ M ) x ≤ u

Tập hợp L ⊂ E gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E, nếu

(∀x ∈ L) v ≤ x

Định nghĩa 1.2.5 (Về cận trên, cận dưới đúng)

+) Phần tử x∗ gọi là cận trên đúng của tập M, nếu

Ta có một số tính chất đơn giản suy ra từ các định nghĩa trên

Định lý 1.2.2 Giả sử hai dãy bất kì (xn)∞n=1 ⊂ E, và (yn)∞n=1 ⊂ E, thỏamãn xn ≤ yn ∀n = 1, 2, 3 Khi đó, nếu limn→∞xn = x, limn→∞yn =

1.3 Các phần tử thông ước

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ

tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y,nếu ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy

Nhận xét 1.3.1 Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì phần tử ythông ước với phần tử x

Thật vậy, nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì ∃α = α(x) >

0, β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy Do đó

Vậy phần tử y thông ước với phần tử x

Định lý 1.3.1 Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thôngước với nhau

Chứng minh Giả sử hai phần tử x, y ∈ E thông ước với phần tử z ∈ E

Do đó ∃a > 0, ∃b > 0, ∃c > 0, ∃d > 0 sao cho

a.x ≤ z ≤ b.xc.y ≤ z ≤ d.y

by ≤ x ≤

d

aysuy ra

c(z)b(z)y ≤ x ≤

d(z)a(z)yĐặt

β =

d(z)a(z) > 0;

Suy ra αy ≤ x ≤ βy

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón

K ⊂ E, và H là một nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệuH(u0) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u0

Ta có tính chất của tập H(u0) qua định lý dưới đây

Định lý 1.3.2 H(u0) là tập lồi Nếu u0 ∈ K \ {θ} thì H(u0) ⊂ K \ {θ}.Chứng minh Trước tiên ta chứng tỏ H(u0) là tập lồi Thật vậy, ∀x, y ∈H(u0), ∀t ∈ [0, 1], thì x, y là hai phần tử thông ước với u0 nên ta có:

∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu0 ≤ x ≤ βu0;

∃γ = γ(y) > 0, ∃µ = µ(y) > 0 sao cho γu0 ≤ y ≤ µu0

Do 1 − t ≥ 0 nên suy ra

tαu0 ≤ tx ≤ tβu0,(1 − t)γu0 ≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)µu0.Hay

[tα + (1 − t)γ]u0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ [tβ + (1 − t)µ]u0

Điều này chứng tỏ

tx + (1 − t)y ∈ H(u0)

Vậy H(u0) là tập lồi

Hơn nữa, nếu x ∈ H(u0) thì

∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu0 ≤ x ≤ βu0

Do u0 6= θ nên x 6= θ, hơn nữa, ta cũng suy ra

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,

và H là một nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệu H(u0) là tậphợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u0

Định nghĩa 1.4.1 Nón H gọi là chuẩn tắc nếu ∃δ > 0 sao cho

∀e1, e2 ∈ H : ke1k = ke2k = 1 thì ke1 + e2k ≥ δ

Định lý 1.4.1 Nón H là chuẩn tắc khi và chỉ khi nón H thỏa mãn điềukiện ∃N > 0, ∀x, y ∈ H : y − x ∈ H để có bất đẳng thức

Chứng minh Điều kiện đủ :

Giả sử điều kiện (1.4.1) được thỏa mãn Khi đó,

(∀e1, e2 ∈ H : ke1k = ke2k = 1) ((e1 + e2) − e1 = e2 ∈ H) ,

nên

1 = ke1k ≤ N ke1 + e2k ⇔ ke1 + e2k ≥ N−1.Suy ra, H là nón chuẩn tắc

Điều kiện cần:

Giả sử H là nón chuẩn tắc, ta sẽ chỉ ra ∃N > 0, ∀x, y ∈ H\{θ} : y−x ∈ Hsao cho

kxkE ≤ N kykE.Giả sử trái lại rằng (1.4.1) không xảy ra, tức là

(∀n ∈ N∗)(∃xn, yn ∈ H\{θ} :yn− xn ∈ H) kxnk > n kynk (1.4.2)Các hệ thức trong (1.4.2) chứng tỏ

là nón chuẩn tắc thì phải thỏa mãn (1.4.2) Định nghĩa 1.4.2 (Về nón h-cực trị)

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂

E, H là một nón trong không gian E Nón H được gọi là h-cực trị, nếu:i) Mỗi dãy (xn)∞n=1 ⊂ H không giảm và bị chặn trên bởi u ∈ H luôn

kxn + ynk < 1

n2.Khi đó, chuỗi:

(x1 + y2) + (x2 + y2) + + (xn + yn) +

hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach nên chuỗi đó hội tụ trongkhông gian E

Mặt khác, dãy (zn)∞n=1 bị chặn bởi phần tử u Hơn nữa,



1.5 Không gian định chuẩn thực l2

1.5.1 Định nghĩa không gian l2 và một số tính chất quan trọngXét tập hợp

Phép cộng:

+ : l2 × l2 −→ l2(x, y) 7−→ x + yxác định bởi x + y = (xn + yn)∞n=1

Phép nhân với vô hướng:

· : R × l2 −→ l2(λ, x) 7−→ λxxác định bởi λx = (λxn)∞n=1

Dễ dàng thấy rằng tập hợp l2 cùng với hai phép toán cộng và nhânvới vô hướng ở trên lập thành một không gian tuyến tính thực

Trước hết, ta thấy l2 đóng kín với hai phép toán cộng và nhân với

vô hướng Thật vậy, ∀x = (xn)∞n=1, ∀y = (yn)∞n=1 ∈ l2 áp dụng bất đẳngthức Mincovxki ∀k ∈ N∗ ta có

∞ n=1

4) ∃ − x = (−x)∞n=1 ∈ l2 : x + (−x) = xn+ (−xn)
∞n=1 = θ; phần tử −x

là phần tử đối của phần tử x

5) (αβ)x =

(αβ)xn

∞ n=1

=

α(β)xn

∞ n=1

= α(βxn)∞n=1 = α(βx);

6)

(α + β)x =

(α + β)xn

∞ n=1

8)1.x = (1.xn)∞n=1 = (xn)∞n=1 = x, phần tử 1 là phần tử đơn vị của R.Vậy l2 là không gian vector thực hay không gian tuyến tính thực vớiphép toán cộng hai vectơ và nhân một số thực với một vectơ được địnhnghĩa như trên.

Định lý 1.5.1 Không gian vector thực l2 cùng với ánh xạ

k · k : l2 −→ R

x = (xn)∞n=1 7−→ k · k =

vuut

∞

X

n=1

x2 n

là một không gian định chuẩn thực

Hơn nữa, nếu

k

X

n=1

|yn|2 ∀k ∈ N∗

kx + yk ≤ kxk + kyk.

Vậy k.k là một chuẩn trên l2

Vậy l2 cùng với chuẩn xác định ở trên là một không gian định chuẩn

∞ n=1 hội tụ trong l2 Theođịnh nghĩa dãy cơ bản ta có

(∀ε > 0)(∃k0 ∈ N∗)(∀k ≥ k0), (∀s ∈ N∗)

ta có

kx(k+s)− x(k)k < ε

2hay

|x(k+s)n − x(k)n | < ε

2, (∀k ≥ k0, ∀s ∈ N∗, ∀n ∈ N∗) (1.5.4)Các bất đẳng thức (1.5.4) chứng tỏ với mỗi n cố định tùy ý, dãy x(k)n

∞ k=1

là dãy số cơ bản trong không gian R, nên ta có

1.5.2 Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l2

Chứng minh 1 Xét tập

K = {x = (xn)∞n=1 ∈ l2 : xn ≥ 0 (n = 1, 2, )} ⊂ l2

Ta chứng minh K là một nón trong l2 Thật vậy, ta có θ ∈ K nên K 6= ∅,hiển nhiên K ⊂ l2 Ta kiểm tra điều kiện i)-iv) trong định nghĩa của nón.i) K là tập đóng, thật vậy, giả sử x(k) = (x(k))∞n=1, (k = 1, 2, ) là mộtdãy bất kỳ trong K hội tụ tới phần tử x(0) = (x(0))∞n=1 ∈ l2, tức là

ii) Với mọi x, y ∈ K, suy ra x = (xn)∞n=1 ∈ l2, xn ≥ 0, n = 1, 2, và

y = (yn)∞n=1 ∈ l2, yn ≥ 0, n = 1, 2, Ta có

xn+ yn ≥ 0, n = 1, 2,