Nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa Brouwer èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töcgiúa c¡c tªp lçi, compact trong khæng gian húu h¤n chi·u l mët k¸t qu£quan trång cõa to¡n håc.. Mët trong nhúng mð rëng nêi ti
Trang 32 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc vîi tæpæ y¸u
2.1 Mët sè k¸t qu£ v· tæpæ y¸u 202.2 C¡c ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc vîi tæpæ y¸u 262.3 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n 30K¸t luªn 34
T i li»u tham kh£o 35
Trang 4MÐ U
C¡c ành lþ iºm b§t ëng èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töc l mët l¾nhvüc quan trång cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng Kh¡c vîi c¡c ành lþ iºmb§t ëng èi vîi ¡nh x¤ co, c¡c ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶ntöc ph£i ÷ñc thi¸t lªp tr¶n nhúng khæng gian câ c§u tróc tuy¸n t½nh,
nâ ÷ñc xu§t ph¡t tø nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng cõa Brouwer, Schauder,Tikhonov,
Nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa Brouwer èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töcgiúa c¡c tªp lçi, compact trong khæng gian húu h¤n chi·u l mët k¸t qu£quan trång cõa to¡n håc Sau khi ÷ñc Brouwer chùng minh, nâ ÷ñc ùngdöng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc cõa to¡n håc nh÷ Gi£i t½ch, Ph÷ìngtr¼nh vi t½ch ph¥n V· sau nguy¶n lþ Brouwer ÷ñc mð rëng tr¶n nhi·ulîp khæng gian kh¡c nhau Mët trong nhúng mð rëng nêi ti¸ng nguy¶n
lþ Brouwer thuëc v· Tikhonov v Schauder èi vîi c¡c ¡nh x¤ li¶n töctr¶n khæng gian lçi àa ph÷ìng
C¡c v§n · nghi¶n cùu v· c¡c ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c lîp ¡nhx¤ li¶n töc tr¶n c¡c ành chu©n ho°c têng qu¡t khæng gian lçi àa ph÷ìng
v ùng döng l kh¡ thó và Tr¶n khæng gian ành chu©n, khæng gian lçi
àa ph÷ìng ngo i tæpæ sinh bði chu©n, hå c¡c nûa chu©n t÷ìng ùng th¼c§u tróc tæpæ y¸u câ vai trá r§t quan trång Mët sü tü nhi¶n l nghi¶ncùu c¡c ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c ¡nh x¤ li¶n töc èi vîi tæpæ y¸u.V§n · n y ÷ñc Agarwal v c¡c cëng sü · xu§t c¡ch ¥y hìn 20 n«m.Vîi möc ½ch t¼m hiºu v· tæpæ y¸u v mët v i k¸t qu£ ban ¦u v· ành
Trang 5lþ iºm b§t ëng cho mët sè lîp ¡nh x¤ li¶n töc èi vîi tæpæ y¸u tr¶nkhæng gian ành chu©n, khæng gian lçi àa ph÷ìng v ùng döng, chóngtæi lüa chån · t i sau cho luªn v«n cõa m¼nh l :
V· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ li¶n töc vîi tæpæ y¸u v ùngdöng
Nëi dung cõa luªn v«n nghi¶n cùu v· khæng gian lçi àa ph÷ìng, ành
lþ iºm b§t ëng Tikhonov-Schauder, tæpæ y¸u, mët sè ành lþ iºm b§t
ëng èi vîi ¡nh x¤ li¶n töc theo tæpæ y¸u C¡c nëi dung tr¶n ÷ñc tr¼nh
b y trong 2 ch֓ng:
Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· khæng gian vectìtæpæ, khæng gian lçi àa ph÷ìng v ành lþ iºm b§t ëng Tikhonov-Schauder èi vîi ¡nh x¤ li¶n töc trong khæng gian lçi àa ph÷ìng
Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu mët sè k¸t qu£ v· tæpæ y¸u, sü tçn t¤i iºm b§t
ëng cõa mët sè lîp ¡nh x¤ li¶n töc theo tæpæ y¸u v ùng döng trongchùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n nhªn gi¡ tràtrong khæng gian Banach
Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ncõa th¦y gi¡o, TS Ki·u Ph÷ìng Chi T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥usc cõa m¼nh ¸n th¦y T¡c gi£ xin ÷ñc c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trongKhoa S÷ ph¤m To¡n håc, Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y
v gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp Cuèi còng xin c£m ìngia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l c¡c b¤n trong lîp Cao håc 21Gi£i t½ch ¢ cëng t¡c, gióp ï v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp v nghi¶n cùu M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng, nh÷ng luªn v«nkhæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn
÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v b¤n b± º luªn v«n
÷ñc ho n thi»n hìn
Ngh» An, th¡ng 10 n«m 2015
Hç Xu¥n Trung
Trang 6CH×ÌNG 1KHÆNG GIAN LÇI ÀA PH×ÌNG V ÀNH LÞ IM
BT ËNG TIKHONOV-SCHAUDER
Ch÷ìng n y nghi¶n cùu mët sè ki¸n thùc cì sð v· khæng gian lçi àaph÷ìng v ành lþ iºm b§t ëng Tikhonov-Schauder èi vîi c¡c ¡nh x¤li¶n töc trong khæng gian lçi àa ph÷ìng
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Möc n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· khæng gian vectì tæpæ
v gi£i t½ch cê iºn c¦n dòng v· sau Nhúng nëi dung n y ÷ñc têng hñp
v tr½ch ra tø [1]
1.1.1 ành ngh¾a Khæng gian vectì tæpæ l mët khæng gian vectì còngvîi mët tæpæ tr¶n â sao cho c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng l li¶n töc
Tªp con U trong khæng gian vectì X ÷ñc gåi l c¥n n¸u αU ⊂ U vîimåi α ∈ K v |α| < 1; tªp U ÷ñc gåi l hót n¸u vîi måi x ∈ X tçn t¤i
δ > 0 sao cho αx ∈ U vîi måi |α| < δ
1.1.2 ành lþ Trong khæng gian vectì tæpæ luæn tçn t¤i cì sð l¥n cªn
U cõa 0 gçm c¡c tªp c¥n, hót v vîi måi U ∈ U tçn t¤i V ∈ U sao cho
V + V ⊂ U
1.1.3 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian vectì X ÷ñc gåi l lçin¸u vîi måi x, y ∈ U, vîi måi 0 6 λ 6 1, th¼ λx + (1 − λ)y ∈ U
Trang 71.1.4 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian vectì tæpæ E ÷ñc gåi
l bà ch°n n¸u vîi måi l¥n cªn V cõa 0 tçn t¤i s > 0 t÷ìng ùng sao cho
U ⊂ tV vîi måi t > s
1.1.5 ành lþ Trong méi khæng gian vectì:
1) Bao âng cõa tªp bà ch°n l tªp bà ch°n;
2) Bëi væ h÷îng cõa tªp bà ch°n l tªp bà ch°n;
3) Hñp ho°c têng húu h¤n c¡c tªp bà ch°n l tªp bà ch°n
1.1.6 ành ngh¾a Cho E l khæng gian vectì tæpæ Tªp con A ⊂ E
÷ñc gåi l ho n to n bà ch°n hay ti·n compact n¸u vîi méi l¥n cªn Ucõa 0 tçn t¤i tªp con húu h¤n B sao cho A ⊂ B + U
1.1.7 ành ngh¾a Cho E l khæng gian vectì tæpæ vîi cì sð l¥n cªn Ucõa 0 D¢y suy rëng {xi}i∈I ÷ñc gåi l d¢y Cauchy n¸u vîi méi U ∈ Utçn t¤i i0 ∈ I sao cho xi− xj ∈ U vîi måi i, j > i0
Tªp con A ⊂ E ÷ñc gåi l ¦y õ n¸u måi d¢y suy rëng Cauchy l hëi tö trong A
1.1.8 ành lþ Cho E l khæng gian v²ctì tæpæ Tªp con A cõa E l compact khi v ch¿ khi A ¦y õ v ho n to n bà ch°n
1.1.9 ành ngh¾a Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng R H mk.k : E → R ÷ñc gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»nsau:
1) kxk > 0, vîi måi x ∈ E v kxk = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
2) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ R v vîi måi x ∈ E;
3) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E
Khi â (E, k.k) ÷ñc gåi l mët khæng gian ành chu©n
Khæng gian ành chu©n l khæng gian m¶tric vîi m¶tric sinh bði chu©nd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Khæng gian ành chu©n E ÷ñc gåi l khænggian Banach n¸u E ¦y õ vîi m¶tric sinh bði chu©n èi vîi tæpæ sinh
Trang 8bði m¶tric sinh bði chu©n c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n E
l li¶n töc Do â, méi khæng gian ành chu©n l mët khæng gian vectìtæpæ vîi Bn = {x ∈ E : kxk < 1
n}, n = 1, 2, l cì sð l¥n cªn gçm c¡ctªp lçi, c¥n, bà ch°n cõa E
Sau ¥y ta nhc l¤i kh¡i ni»m h m li¶n töc tuy»t èi
1.1.10 ành ngh¾a ([2]) H m f : [a, b] → R ÷ñc gåi l li¶n töc tuy»t
èi, n¸u vîi méi ε > 0 tçn t¤i δ = δ(ε) sao cho vîi b§t ký húu h¤n o¤ncon [xk, yk] cõa [a, b] thäa m¢n
1) f li¶n töc tuy»t èi;
2) f câ ¤o h m h¦u khp nìi tr¶n [a, b] v
f (x) = f (a) +
Z x a
f0(t)dt
vîi måi x ∈ [a, b]
3) Tçn t¤i h m g kh£ t½ch Lebesgue tr¶n [a, b] sao cho
f (x) = f (a) +
Z x a
g(t)dtvîi måi x ∈ [a, b]
Trang 9Cho (X, A, µ) l khæng gian ë o, trong â A l σ− ¤i sè c¡c tªphñp cõa X v µ l ë o ¦y õ σ-húu h¤n tr¶n X Kþ hi»u
Lp(X, dµ) ¯ng c§u vîi khæng gian Lq(X, dµ), trong â 1
p+
1
q = 1 Sau
¥y l kh¡i ni»m h m Lp-Caratheodory
1.1.12 ành ngh¾a ([2]) H m f : [a, b] × Rn → Rn ÷ñc gåi l LpCaratheodory n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
-1) ¡nh x¤ y 7→ f(t, y) li¶n töc vîi h¦u h¸t t ∈ [a, b];
2) ¡nh x¤ t 7→ f(t, y) o ÷ñc vîi måi y ∈ Rn;
3) Vîi måi c > 0 tçn t¤i hc ∈ Lp(I) sao cho cho |y| 6 c k²o th²o
|f (t, y)| 6 hc(t) vîi måi t ∈ [a, b]
º k¸t thóc möc n y ta nhc l¤i ành lþ iºm b§t ëng Brouwer.1.1.13 ành lþ (Brouwer) Måi ¡nh x¤ li¶n töc tø tªp con âng, bà ch°n
v lçi cõa khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u v o ch½nh nâ ·u câ ½tnh§t mët iºm b§t ëng
1.2 Khæng gian lçi àa ph÷ìng
Möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½ dö v t½nh ch§t cì b£n cõa khænggian lçi àa ph÷ìng C¡c k¸t qu£ c«n b£n ÷ñc têng hñp v tr½ch ra tø[1]
Trang 101.2.1 ành ngh¾a Khæng gian vectì tæpæ ÷ñc gåi l lçi àa ph÷ìngn¸u nâ cì sð l¥n cªn U cõa 0 gçm c¡c tªp lçi.
1.2.2 M»nh · Gi£ sû X l khæng gian lçi àa ph÷ìng Khi â, vîi
0 ∈ X câ cì sð l¥n cªn U tho£ m¢n:
1) U, V ∈ U th¼ câ W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;
2) αU ∈ U vîi måi α ∈ K, α 6= 0 v vîi måi U ∈ U;
1.2.5 ành ngh¾a Cho X l mët khæng gian vectì H m p x¡c ànhtr¶n X v nhªn gi¡ trà thüc ÷ñc gåi l mët nûa chu©n tr¶n X n¸u vîimåi x, y ∈ X v vîi måi λ ∈ K ta câ
N1) p(x) > 0;
N2) p(x + y) 6 p(x) + p(y);
N3) p(λx) = |λ|p(x)
Trang 11Nûa chu©n p tr¶n khæng gian vectì X l chu©n tr¶n X n¸u p(x) = 0suy ra x = 0 N¸u p l mët chu©n tr¶n X v x ∈ X th¼ sè p(x) th÷íng
Do â λx + (1 − λ)y ∈ A Vªy A l tªp lçi
Vîi méi x ∈ A vîi moi r ∈ K sao cho |r| 6 1 ta câ
p(rx) = |r|p(x) 6 |r|α < α
Suy ra rx ∈ A Vªy A c¥n
Vîi méi x ∈ X N¸u p(x) = 0 th¼ x ∈ A N¸u p(x) 6= 0 th¼ l§y δ = α
p(x).Khi â, vîi måi λ ∈K sao cho |λ| < δ ta câ
p(λx) = |λ|p(x) < α
p(x)p(x) = α.
V¼ vªy λx ∈ A Do â A hót Chùng minh t÷ìng tü ta câ k¸t luªn cho
B
1.2.7 Nhªn x²t Gi£ sû P l hå c¡c nûa chu©n tr¶n khæng gian vectì
X Khi â, k¸t hñp c¡c M»nh · 1.2.3 v M»nh · 1.2.6 ta câ: Tr¶n Xtçn t¤i mët tæpæ y¸u nh§t sao cho E khæng gian vectì tæpæ v c¡c p ∈ Pli¶n töc Hìn núa, X l khæng gian lçi àa ph÷ìng v cì sð l¥n cªn t¤i 0
l hå c¡c tªp lçi câ d¤ng
U = {x ∈ E : sup pi(x) < ε, i = 1, 2 , n},
Trang 12trong â ε > 0, pi ∈ P, n ∈ N.
1.2.8 ành ngh¾a Gi£ sû A l tªp con lçi, hót cõa khæng gian vectìtæpæ X H m thüc khæng ¥m µA : X →R+ cho bði
µA(x) = inf{t > 0 : x ∈ tA} vîi måi x ∈ X
÷ñc gåi l phi¸m h m Minkowski cõa tªp hñp A
1.2.9 ành lþ N¸u A l tªp lçi, c¥n v hót cõa khæng gian vectì tæpæ
X th¼ p := µA l nûa chu©n tr¶n X Hìn núa
ành bði mët hå c¡c nûa chu©n v ng÷ñc l¤i
1.2.11 Nhªn x²t Gi£ sû P l hå c¡c nûa chu©n sinh ra tæpæ lçi àaph÷ìng tr¶n E Khi â E l Hausdorff khi v ch¿ khi p(x) = 0 vîi måi
Trang 13Khi â, rã r ng d(x, y) x¡c ành v hìn núa d l m¶tric tr¶n E Ta chùngminh tæpæ sinh bði d tròng vîi tæpæ lçi àa ph÷ìng sinh bði {pn}.
< ε
2 +
ε
2.Ng÷ñc l¤i, n¸u ta l§y
Trang 14Thªt vªy, gi£ sû câ x ∈ Bd(0, ε1) v i ∈ I sao cho
C¡c khæng gian lçi àa ph÷ìng kh£ m¶tric gåi l F -khæng gian, n¸u
nâ ¦y õ th¼ gåi l khæng gian Frechet
â, tçn t¤i chu©n tr¶n R∞ sao cho tæpæ sinh ra bði chu©n tròng vîi tæpæsinh ra bði {pn} X²t B(0, 1) = {x ∈R∞ : kxk < 1} Khi â, tçn t¤i
V = {x ∈ R∞ : pi(x) = |xi| < δ, i ∈ I}
Trang 15trong â I l tªp húu h¤n sao cho V ⊂ B(0, 1) L§y x0 = {x0n} ∈ R∞sao cho x0
n = 0 n¸u n ∈ I v x0
n 6= 0 vîi n /∈ I Khi â, x0 6= 0 v suy ra
kx0k = r > 0 Vîi måi sè tü nhi¶n k do c¡ch x¡c ành cõa x0 v V ta câ
kx0 ∈ V Do â kx0 ∈ B(0, 1) vîi måi k Suy ra kkx0k = kr < 1 vîi måi
k Ta nhªn ÷ñc sü m¥u thu¨n
1.2.14 V½ dö Gåi C(R) l khæng gian vectì c¡c h m thüc li¶n töc tr¶n
R Vîi méi n = 1, 2, °t
pn(f ) = sup{|f (x)| : x ∈ [−n, n]},vîi måi f ∈ C(R) Khi â, d¹ d ng kiºm tra ÷ñc pn l c¡c nûa chu©ntr¶n C(R) Do â, C(R) l khæng gian lçi àa ph÷ìng sinh bði hå c¡cnûa chu©n {pn} Hìn nûa, C(R) l khæng gian Frechet vîi kho£ng c¡ch
Sau ¥y ta nhc kh¡i ni»m bao lçi
1.2.15 ành ngh¾a Cho E l mët khæng gian vectì v A ⊂ E Bao lçicõa A l tªp lçi b² nh§t chùa A
Bao lçi cõa tªp A ÷ñc kþ hi»u l convA Rã r ng bao lçi cõa A b¬nggiao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A Hìn núa, ng÷íi ta chùng minh ÷ñc
1.2.16 M»nh · Trong khæng gian lçi àa ph÷ìng:
1) Bao lçi cõa tªp bà ch°n l bà ch°n
2) Bao lçi cõa tªp ho n to n bà ch°n l ho n to n bà ch°n
3) Bao lçi cõa tªp compact l tªp compact
Trang 16Sau ¥y ta chùng minh mët k¸t qu£ bê trñ s³ ÷ñc dòng trong ch÷ìngsau.
1.2.17 ành lþ Gi£ sû E l khæng gian lçi àa ph÷ìng ÷ñc x¡c ànhbði hå c¡c nûa chu©n {pα}α∈I Khi â, A ⊂ E bà ch°n khi v ch¿ khi nâ
bà ch°n vîi méi nûa chu©n pα, tùc l vîi méi α ∈ I tçn t¤i qα sao cho
pα(x) < qα < ∞vîi måi x ∈ A
Chùng minh Gi£ sû A bà ch°n Khi â, vîi méi α ∈ I ta câ
U = {x ∈ E : pα(x) < 1}
l l¥n cªn c¥n cõa 0 trong E, do â tçn t¤i n0 sao cho
A ⊂ n0Uvîi måi n > n0 Suy ra
pα(x) 6 n0vîi måi x ∈ A Hay A bà ch°n theo méi nûa chu©n
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû A bà ch°n bði hå c¡c nûa chu©n {pα}α∈I Vîi méi U
l l¥n cªn cõa 0 Khi â câ thº xem U câ d¤ng
U = {x ∈ E : pαi(x) < 1, i = 1, 2, , n}
Vîi méi i = 1, , n tçn t¤i Mi sao cho
pαi(x) 6 Mi < ∞vîi måi x ∈ A °t M = max{Mi : i = 1, 2, , n} Khi â
pαi(x) 6 Mvîi måi i = 1, 2, , n v vîi måi x ∈ A Suy ra εA ⊂ U vîi ε = 1
M Do
â A bà ch°n
Trang 171.3 ành lþ Tikhonov-Schauder
Möc n y nghi¶n cùu nhúng k¸t qu£ cõa Tikhonov v Schauder v· sü
mð rëng k¸t qu£ tr¶n èi vîi khæng gian lçi àa ph÷ìng [1]
Tr÷îc h¸t ta tr¼nh b y mët k¸t qu£ bê trñ sau:
1.3.1 ành lþ Cho E l khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff, A l mëttªp con compact cõa E v C l tªp con lçi cõa E chùa A Khi â, n¸u
U l l¥n cªn mð cõa 0 th¼ tçn t¤i mët ¡nh x¤ li¶n töc x 7→ PU(x) tø A
M°t kh¡c, vîi méi i = 1, 2, , n ta câ
06 µi(x) 6 1 vîi x ∈ E,
Trang 18vîi µi(x) = 0 n¸u x /∈ U(ai) v µi(x) > 0 n¸u x ∈ U(ai) B¥y gií, ta
°t
PU(x) =
Pn i=1µi(x)ai
Pn i=1µi(x) vîi x ∈ A
Ta th§y PU x¡c ành, bði v¼ n¸u x ∈ A th¼ x ∈ U(ai) vîi i n o â thuëc
PU(x) ∈ L ∩ C vîi x ∈ A
M°t kh¡c
µU(PU(x) − x) =
Pn i=1µi(x)(ai− x)
Pn i=1µi(x) vîi x ∈ A
v do â
µU(PU(x) − x) 6
Pn i=1µi(x)µU(ai− x)
Pn i=1µi(x) < 1 vîi x ∈ A,bði v¼ vîi måi i = 1, 2, , ho°c µi(x) = 0 v µU(ai− x) > 1 ho°c
µi(x) > 0 v µU(ai− x)U < 1
Khi â PU(x) − x ∈ U vîi x ∈ A ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh
B¥y gií, ta tr¼nh b y ành lþ Tikhonov-Schauder
Trang 191.3.2 ành lþ ([2],[1]) Cho E l khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff,
C l tªp con lçi cõa E v F : C −→ E l ¡nh x¤ li¶n töc sao cho:
F (C) ⊆ A ⊆ C,trong â A l tªp compact Khi â F câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng
Chùng minh Gi£ sû U l l¥n cªn mð, lçi, c¥n cõa 0 v PU ÷ñc x¡c ànhnh÷ trong ành lþ 1.3.1 B¥y gií ta ành ngh¾a FU bði:
công l tªp compact.Tø (1.1) v PU(A) ⊆ K? ⊆ L ∩ C suy ra
Nh÷ vªy, vîi b§t ký l¥n cªn mð U cõa 0, tçn t¤i ½t nh§t iºm x ∈
K? ⊆ C sao cho (1.2) thäa m¢n
Trang 20B¥y gií, ta gi£ sû r¬ng: x 6= F (x) vîi måi x ∈ C Do t½nh li¶n töccõa F v E l khæng gian Hausdorff n¶n s³ tçn t¤i hai l¥n cªn mð Vx v
ω ∈ Uαj(y) th¼ tçn t¤i ω ∈ Uα j vîi
câ x ∈ Vα j(y); vîi y = F (x) v tø (1.5) ta th§y r¬ng x ∈ Vα j(αj) M°tkh¡c, tø (1.3)ta câ
y = F (x) ∈ Wα (F (aj))
Trang 21Tuy nhi¶n, tø y ∈ Wα j(F (aj)) v (1.3) suy ra y /∈ Vα j(αj) i·u n y m¥uthu¨n vîi (1.5) Do â vîi b§t ký x ∈ C,tçn t¤i j ∈ {1, , n} sao cho
Ta nhªn ÷ñc ngay h» qu£ sau
1.3.3 H» qu£ ([2],[1]) Cho E l khæng gian lçi àa ph÷ìng Hausdorff,
C l tªp con lçi cõa E v F : C −→ C l ¡nh x¤ li¶n töc, compact Khi
â F câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng trong C
Ta l÷u þ r¬ng: ¡nh x¤ F : C → C l compact n¸u F (C) l tªp compactt÷ìng èi cõa C
Méi khæng gian ành chu©n l khæng gian Hausdorff lçi àa ph÷ìngn¶n ta nhªn ngay h» qu£ sau l ành lþ iºm b§t ëng Schauder nêiti¸ng Nâ câ thº chùng minh ëc lªp bði ph÷ìng ph¡p kh¡c (xem [2]).1.3.4 ành lþ ([2])Cho C l tªp con âng, lçi cõa khæng gian ànhchu©n E Khi â, måi ¡nh x¤ compact, li¶n töc F : C → C câ ½t nh§tmët iºm b§t ëng
Trang 22Möc n y nghi¶n cùu mët sè k¸t qu£ mð ¦u v· tæpæ y¸u.
2.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû X l khæng gian ành chu©n tr¶n tr÷íng K.Tªp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X gåi l khæng gianli¶n hñp X∗
2.1.2 ành ngh¾a Gi£ sû X l khæng gian vectì tæpæ tr¶n tr÷íng K,
X∗ l khæng gian li¶n hñp cõa X Khi â vîi måi f ∈ X∗
Trang 232.1.5 M»nh · ([6]) Cho E l khæng gian ành chu©n v (xn) ⊂ E.Khi â xn * x khi v ch¿ khi f(xn) → f (x) khi n → ∞, vîi måi f ∈ E∗.Chùng minh Gi£ sû xn * x Khi â, vîi méi f ∈ E∗ v ε > 0 ta câ
U = {y ∈ E : |f (y) − f (x)| < ε}
l l¥n cªn y¸u (theo tæpæ y¸u) cõa x Khi â, tçn t¤i n0 sao cho xn ∈ Uvîi måi n > n0 V¼ vªy
|f (xn) − f (x)|6 εvîi måi n > n0, tùc l f(xn) → f (x) khi n → ∞
Ng÷ñc l¤i, vîi måi f ∈ E∗ v f(xn) → f (x) khi n → ∞ Gi£ sû U l l¥n cªn y¸u cõa x Khi â, U câ d¤ng
U = {y ∈ E : |f1(y) − f1(x)k < ε1, , |fk(y) − fk(x)| < εk},
trong â εi > 0, fi ∈ E∗ vîi måi i = 1, 2, , k Tø fi(xn) → fi(x) khi
n → ∞ vîi måi i = 1, 2, , k suy ra tçn t¤i ni sao cho
|fi(xn) − fi(x)k < εivîi måi n > ni °t n0 = max{n1, , nk} Khi â, vîi måi n > n0 ta câ
|fi(xn) − fi(x)k < εivîi måi i = 1, , k Do â xn ∈ U, vîi måi n > n0, tùc l xn * x
2.1.6 M»nh · ([6])Cho E l khæng gian ành chu©n Khi â, måi d¢yhëi tö y¸u ·u bà ch°n theo chu©n
V½ dö sau cho th§y mët d¢y hëi tö y¸u câ thº khæng hëi tö
2.1.7 V½ dö Gi£ sû H l khæng gian Hilbert kh£ ly vîi cì sð trüc chu©n(en) Khi â, vîi méi a ∈ H ta câ ¯ng thùc Pascalval