Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu tích phân

và sự tồn tại điểm bất động của chúng trên không gian mêtric đầy đủ 62 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu 2.1.. Sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh

và sự tồn tại điểm bất động của chúng trên không gian mêtric đầy đủ 6

2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu

2.1 Định lý điểm bất động chung đối với các ánh xạ co kiểu tíchphân 172.2 Sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạhầu co kiểu tích phân 25Kết luận 33Tài liệu tham khảo 34

MỞ ĐẦU

Định lí điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên khônggian mêtric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học Sau khi đượcBanach chứng minh, định lí điểm bất động đối với các ánh xạ co trởthành một trong những vấn đề thu hút được rất nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu Cho đến nay đã có khoảng 10.000 công trình vềđịnh lý điểm bất động, được công bố trên trên các tạp chí toán học Cácđịnh lý điểm bất động được mở rộng nghiên cứu phong phú đối cho nhiềukiểu ánh xạ suy rộng, trên nhiều loại không gian khác nhau Các định lýđiểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toánhọc như: giải tích, phương trình vi tích phân

Năm 2001, Branciari (xem [2]) phát triển một ý tưởng của Boyd vàWong năm 1969 (xem [3]) đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân và

đã thu được định lý điểm bất động đối với kiểu ánh xạ co này Một sốđiểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân được Rhoadesphát triển thêm trong [8]

Nhằm nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cosuy rộng kiểu tích phân và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài sau choluận văn của mình là:

Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co suyrộng kiểu tích phân

Luận văn sẽ trình bày chi tiết, có hệ thống và xây dựng các ví dụ chocác định lý điểm bất động, điểm bất động chung đối với các ánh xạ cosuy rộng kiểu tích phân Hơn nữa, chúng tôi cũng đề xuất một số kếtquả về sự tồn tại điểm bất động, điểm bất động chung của các ánh xạhầu co kiểu tích phân Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu thamkhảo, nội dung luận văn được viết thành 2 chương:

Chương 1 Các ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại điểm bất động củachúng.

Nội dung của chương này trình bày những kiến thức cơ sở về khônggian mêtric, ánh xạ co, ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian mêtric đầy đủ.Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của cácánh xạ co kiểu tích phân

Chương này giới thiệu một số kết quả về sự tồn tại điểm bất độngchung đối với ánh xạ co kiểu tích phân và đưa ra một số kết quả về sựtồn tại điểm bất động chung của ánh xạ hầu co kiểu tích phân

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giảxin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệmkhoa Toán Tác giả xin được cảm ơn PGS TS Đinh Huy Hoàng, PGS

TS Trần Văn Ân và các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã nhiệt tìnhgiảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xincảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Caohọc 19 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu

Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 9 năm 2013

Hoàng Thị Thương

CHƯƠNG 1CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ SỰ TỒN TẠI

R được gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau

1) d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric

1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu d(xm, xn) → 0 khi

m, n → ∞

2) Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của

nó đều hội tụ trong X

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là một không gian mêtric và A ⊂ X.Đường kính của A ký hiệu là δ(A) và được xác định bởi

δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

Tập A được gọi là bị chặn nếu nó có đường kính hữu hạn

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là một không gian mêtric ánh xạ

f : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho

d f x, f y
6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho X là một không gian mêtric và f : X → X

là một ánh xạ Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a.Định lý sau là nguyên lý điểm bất động của Banach

1.1.6 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vàochính nó luôn có duy nhất một điểm bất động

1.2 ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ co suy rộng kiểu tíchphân và sự tồn tại điểm bất động của chúng trên khônggian mêtric đầy đủ

1.2.1 Định nghĩa ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khảtích Lebesgue trên mọi tập compact của [0, +∞) và

ε

R

0φ(t)dt > 0 với mọi

ε > 0 ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ co kiểu tích phân của φnếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho

ε

R

0φ(t)dt > 0 với mọi

ε > 0 Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và f : X → X là mộtánh xạ co kiểu tích phân của hàm φ Khi đó, f có duy nhất một điểm bấtđộng

Chúng ta cần một số kết quả bổ trợ sau cho chứng minh Định lý 1.2.3

1.2.4 Bổ đề ([2]) Giả sử f được cho như trong Định lý 1.2.3 Khi đó,với mỗi x ∈ X ta có

Z d f n x,f n+1 x

0

φ(t)dt = 0, khi n → ∞ (1.2)Bây giờ, giả sử d fnx, fn+1x
không hội tụ về 0 khi n → ∞ Khi đó,

lim supn→∞

Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy, bổ đề được chứng minh

1.2.5 Bổ đề ([2]) Dãy {fnx} là Cauchy với mỗi x ∈ X

Chứng minh Giả sử {fnx} không phải là dãy Cauchy Khi đó, tồn tại

ε > 0 sao cho với mỗi k ∈ N tồn tại mk, nk mà mk > nk > k thì

d fmkx, fnkx
>ε

Ta có thể giả thiết {mk} và {nk} là cực tiểu theo nghĩa sau: Với mỗi

k ∈ N

d fmkx, fnkx
>ε

trong khi

d fhx, fnkx
< εvới mỗi h ∈ {nk+ 1, , mk− 1} Tiếp theo chúng ta mô tả các tính chấtcủa d fmkx, fnkx
và d fmk +1x, fnk +1x
Ta có

Z ε

0φ(t)dt

Vì q ∈ (0, 1) và R0εφ(t)dt > 0 nên ta nhận được sự mâu thuẫn Suy ratồn tại l ∈ N sao cho

d fmk +1x, fnk +1x
< εvới mọi k > l

Tiếp theo, ta chứng minh tồn tại δε ∈ (0, ε) và p ∈ N (p phụ thuộcvào ε) sao cho

d fmk +1x, fnk +1x
< ε − δεvới mọi k > p Giả sử ngược lại Khi đó, tồn tại dãy {ki} ⊂ N sao cho

Z ε

0φ(t)dt

Tương tự như trên ta nhận được sự mâu thuẫn

Bây giờ, với mỗi số tự nhiên k > p như trên ta có

Chứng minh của Định lý 1.2.3 Lấy x ∈ X cố định Khi đó, theo Bổ

đề 1.2.5 ta có {fnx} là dãy Cauchy Vì X là không gian mêtric đầy đủnên fnx → a khi n → ∞ Ta chỉ ra fn+1x → f a khi n → ∞ Thật vậy,từ

Ta có

0 <

Z ε

0φ(t)dt 6

Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra a là điểm bất động duy nhất Giả

sử tồn tại b ∈ X và b 6= a sao cho f b = b Khi đó,

1

n + 1− 0

1

n− 0

1

n− 1m

nếu x = 1

n và y =

1

m.

Suy ra

supx,y∈X:x6=y

d f x, f y
d(x, y) = 1.

Do đó, f không phải là ánh xạ co

Để chứng minh f thoả mãn Định lý 1.2.3 ta chỉ ra f là ánh xạ co kiểutích phân của hàm φ(t) xác định bởi

1

n + 1 − 1

m + 1

1

1 n+1 − m+11

1

n − 1m

... nghiên cứu tồn điểm bất động tồn tại? ?iểm bất động chung ánh xạ hầu co kiểu tích phân

2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ

f : X → X gọi ánh xạ hầu co tồn δ... 5] x ∈ (5, 20].Vậy, f g có điểm bất động chung nhất.

2.2 Sự tồn điểm bất động bất động chung ánh

xạ hầu co kiểu tích phân

Khái niệm ánh xạ hầu co đề xuất Berinde (xem [5,... chúng tơi trình bày định lý điểm bất động ánh

xạ co suy rộng kiểu tích phân

Cho (X, d) không gian metric ánh xạ f : X → X, ta đặt

f : X → X Giả sử tồn q ∈ (0, 1) cho với x,