Về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co và tựa hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HƯNG VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ

BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ

TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ

BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ

TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 3

Chương 1 Không gian mêtric nón 5

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.2 Nón trong không gian Banach 8

1.3 Không gian mêtric nón 13

Chương 2 Sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co và tự hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón 20

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co 20

2.2 Sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ T- tựa co và T – tựa hầu co 24

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU

Lí thuyết về điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và một số ngành khoa học khác Vì thế, chủ đề này đã và đang được nhiều nhà toán học trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả Nguyên lí ánh

xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ (1922) là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian

Trong [7], Ciric đã đưa ra khái niệm ánh xạ tựa co và chứng minh một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ này trong không gian mêtric

Trong [5], Berinde đã giới thiệu và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co trong không gian mêtric Sau đó, Moradi và Omit[10]

đã đưa ra và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T- co

Vào năm 2007, Huang Long - Quang và Zhang Xian [9] đã thay tập hợp

số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái niệm mới tổng quát hơn, đó là khái niệm không gian mêtric nón Sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về sự tồn tại của điểm bất động của các ánh xạ trong không gian mêtric nón

Trong luận văn này, đưa vào các khái niệm về ánh xạ tựa co, tựa hầu co,

T- tựa co trong không gian mêtric chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các điểm

bất động và bất động chung của các ánh xạ này trong không gian mêtric nón Với mục đích đó, luận văn của chúng tôi được trình bày hai chương

Chương 1 Trình bày về định nghĩa, ví dụ, tính chất của nón và không

gian mêtric nón mà chúng được dùng trong chương sau

Chương 2 Trình bày khái niệm ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T- tựa co, T-

tựa hầu co trong không gian mêtric nón Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu

co, T- tựa co, T- tựa hầu co trong không gian mêtric nón Đó là các Định lí

Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đại học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán – Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học khóa 20 – Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác , giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Đình Hưng

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn Các kết quả trong mục này chủ yếu được trích từ [2]

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ  các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện

Tập hợp X cùng với tôpô  trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu

là (X, ) hay đơn giản hơn là X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc  được gọi là tập mở

Giả sử A X Tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở

1.1.2.Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân

cận của điểm x X nếu tồn tại tập mở V X sao cho x V A

Cho không gian tôpô X, x X và là họ tất cả các lân cận của x Họ được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U tồn tại V sao cho V U

1.1.3 Định nghĩa Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới

x X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0 sao cho

x n U với mọi n ≥ n 0

Khi đó, ta viết x n x hoặc

x n = x

1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm

được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x X có một cơ sở lân cận có lực lượng

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X Y Ánh

xạ f được gọi là liên tục tại điểm x X với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) d(x,y) ≥ 0 với mọi x, y X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x,y) = d(y, x) với mọi x, y X;

(iii) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) với mọi x, y, z X

Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X

1.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian mêtric Một dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 sao cho với mọi n, m ≥ n 0

thì d(x n , x m ) < ε

Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều

hội tụ

Tập con A X gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A

Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ

Nhận xét rằng: Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy

1.1.8 Định nghĩa Giả sử E là không gian vectơ trên trường hoặc

Hàm p : E được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện

sau:

(i) p(x) ≥ 0, ∀x E và p(x) = 0 ⟺ x = 0;

(ii) p(⋋x) =|⋋|p(x), ∀x E, ∀⋋ ;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y E

Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x E Ta thường kí hiệu chuẩn của x

là ||x|| Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn

1.1.9 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x,y) = ||x – y||, ∀x,y E, xác định trên một mêtric trên E

Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn

Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric

sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach

1.1.10 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì

i) ánh xạ chuẩn: x ↦ ||x||, ∀x E;

ii) phép cộng: (x, y) ↦ x + y, ∀(x, y) E × E

iii) phép nhân vô hướng: (⋋, x) ↦⋋x, với mọi (⋋, x) × E là các ánh xạ liên tục

1.1.11 Định lý Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó, với mỗi a E

và mỗi ⋋ , ⋋ ≠ 0 các ánh xạ

x ↦ x + a, x ↦⋋x,∀x E

là các phép đồng phôi E lên E

1.1.12 Định nghĩa Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X

Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều

kiện sau:

(i) x ≤ x với mọi x X;

(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y X;

(iii) x ≤ y ; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z X

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự

bộ phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X

1.1.13 Định nghĩa Giả sử “ ≤ ” là một quan hệ hai ngôi trên X và A X

1) Phần tử x X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤

x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a A

2) Phần tử x X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của

A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x) Khi đó, ta kí hiệu

x = sup A (tương ứng x = inf A)

1.2 NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong mục này sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa([9]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực

Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:

(i) P là đóng, P ≠ , P ≠ {0};

(ii) Với a, b , a, b ≥ 0 và x, y P thì ax + by P;

3) Giả sử C [a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]

Ta đã biết C [a,b] là không gian Banach với chuẩn

Vậy P là một nón trên E

Cho P là một nón trong không gian Banach E Trên E, ta định nghĩa quan

hệ thứ tự “≤” xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y - x P Ta viết x

< y nếu x ≤ y và x ≠ y và viết x y nếu y – x intP, trong đó intP là phần trong P

1.2.3 Định nghĩa([9]) Cho P là một nón trong không gian Banach E

Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi

x, y E và 0 ≤ x ≤ y ta có ||x|| ≤ K||y|| Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

1.2.4 Bổ đề([9]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E ; a, b, c E;

{x n }, {y n } là các dãy số trong E và α là số thực dương Khi đó,

(i) Nếu a b và b c thì a c;

(ii) Nếu a ≤ b và b c thì a c;

(iii) Nếu a b, c d thì a + c b + d;

(iv) αintP intP;

(v) Với mỗi δ > 0 và x intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γx|| < δ;

(vi) Với mỗi c 1 intP và c 2 P tồn tại d intP sao cho c 1 d và

c 2 d;

(vii) Với mỗi c 1 , c 2 intP tồn tại e intP sao cho e c1 và e c 2 ;

(viii) Nếu a P và a ≤ x với mọi x intP thì a = 0;

(ix) Nếu a ≤ ⋋a với a P, 0 < ⋋ < 1 thì a = 0;

(x) Nếu 0 ≤ x n ≤ y n với mỗi n và

x n = x,

y n = y thì Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP intP Nếu a b

và b c thì b – a intP và c – b intP Suy ra c – a = c– b + b – a intP + intP intP Vậy a c

Nếu a ≤ b và b c thì b – a P và c – b intP

Suy ra

c – a = c – b + b – a intP + intP intP

hay c – a intP Vậy a c

(iii) Ta có a b và c d nên c – a intP và d – c intP

suy ra

b – a + d – c intP

hay

(b + d) – (a + c) intP do đó a + c b + d

(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP intP

(v) Với mỗi δ > 0 và x intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho

Khi đó, d thỏa mãn (vi)

(vii) Chọn δ’ > 0 sao cho

c1 + B(0, δ’) intP, c2 + B(0, δ’) intP, trong đó

B(0, δ’) = { x E : ||x|| < δ’}

Do tính hút của B(0, δ’) tồn tại m > 0 sao cho c 1 mB(0, δ’), c 2 mB(0, δ’)

suy ra

–c 1 mB(0, δ’), –c 2 mB(0, δ’) và mc 1 – c 1 intP, mc 2 – c 2 intP Đặt e = mc 1 – c 1 + mc 2 – c 2 Khi đó, e thỏa mãn (vii)

(viii) Giả sử x intP Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2,… do

đó với mọi n = 1, 2,… Vì ‖ ‖ ‖ ‖ 0 nên 0 Do đó Mặt khác, vì dãy

{ } P và P đóng trong E nên –a P

Như vậy, a và –a P Vì P là nón nên a = 0

(ix) Vì a ≤ ⋋a nên ⋋a – a P hay (⋋ – 1)a P Do 0 < ⋋ < 1 nên

1 – ⋋ > 0 Từ đó suy ra –a = ⋋ P hay –a P Như vậy, a và –a P Vì

B E (0, δ) là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E Do đó, nếu x E mà

||x|| < δ thì c – x intP Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n 0 sao cho

||x n || < δ, ∀n > n 0

Suy ra c – x n intP với mọi n > n 0 Do đó x n c với mọi n ≥ n0 □

1.3 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

Trong mục này, ta luôn giả thiết P là nón trong không gian Banach E sao cho intP ≠ {0} và ≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E xác định bởi P

1.3.1 Định nghĩa([10]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X E Hàm d

được gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) 0 ≤ d(x, y), ∀x;y X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z X

Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và ký hiệu (X, d) hoặc X

Từ định nghĩa trên ta nhận thấy, khái niệm của không gian mêtric nón tổng quát hơn khái niệm của không gian mêtric, bởi vì mỗi một không gian mêtric

là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = , và P = {x : x ≥ 0}

1.3.2 Ví dụ([10]) 1) Cho E = và P = { (x, y) : x, y ≥ 0} Xét X =

và ánh xạ d : X × X E xác định bởi

d(x, y) = (α |x – y|, β |x – y|), ∀x, y X, trong đó α, β là các hằng số không âm cho trước

Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtric nón, do đó (X, d) là một

không gian mêtric nón

2) Giả sử E = C [a,b] và P là nón trong ví dụ (1.2.3) Ta xác định hàm

d : E × E E bởi

d(f, g) = |f – g| ∀f, g E,

trong đó

|f – g|(x) = |f(x) – g(x)|

với mọi x [a, b] Khi đó, d thỏa mãn ba điều kiện

(i) 0 ≤ d(f, g) với mọi f, g E và d(f, g) = 0 khi và chỉ khi f(x) = g(x) , với mọi x [a, b] nghĩa là f = g

Vậy d là một mêtric nón trên E

1.3.3 Định nghĩa([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a X, c intP Đặt

Giả sử U i với mọi i I, ta sẽ chứng minh i

Vậy ta có thỏa mãn 3 điều kiện trong định nghĩa tôpô nên là một tôpô

trên X hay (X, ) là một không gian tôpô

2) Giả sử y B(x, c) Khi đó, vì d(y, x) c nên c – d(y, x) intP Đặt c’ = c – d(y, x), ta sẽ chứng minh (B(y, c’) B(x, c) Thật vậy, với mọi z B(y, c’) ta có d(z, y) c’ nên d(z, y) c – d(y, x) Do đó theo Bổ đề (1.2.4.iii) ta có d(z, y) + d(y, x) c Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra d(z, x)

c hay z B(x, c) Vậy B(y, c’) B(x, c) hay B(x, c)

3) Giả sử x, y X mà x ≠ y Từ 2) suy ra rằng, để chứng minh (X, ) là T 2 – không gian chỉ cần chứng tỏ tồn tại c 1 , c 2 intP sao cho B(x, c 1 ) ∩ B(x, c 2) =

Giả sử điều này không đúng, tức là với mọi c 1 , c 2 intP ta có B(x, c 1) ∩

B(x, c 2) = Khi đó, với mỗi c intP ta có

( ) ( )

Từ đó suy ra tồn tại dãy {z n} X sao cho

(

) ( )

Do đó ta có

d(x, y) ≤ d(x, z n ) + d(z n , y)

Vì ≤ c với mọi n = 1, 2, … nên d(x, y) c Do c là phần tử bất kì trong intP nên theo Bổ đề 1.2.4 viii ta có d(x, y) = 0, tức là x = y Điều này mâu thuẫn với giả thiết x ≠ y Vậy (X, ) là T 2– không gian

4) Giả sử x X Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm được Lấy c intP và đặt

{ ( ) }

Hiển nhiên Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x Khi đó, tồn tại y

intP sao cho B(x, y) V Vì y intP nên tồn tại ε > 0 sao cho B E (y, ε) P,

ở đây B E (y, ε) là hình cầu mở trong E với tâm y bán kinh ε Lấy n sao cho

‖ ‖ Ta có

‖ ‖ ‖ ‖ , tức là B E (y, ε) P Vì B E (y, ε) là tập mở trong E nên intP

Do đó y Từ đó suy ra

( ) B(x, y) V

Như vậy, là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô ) Hiển nhiên đếm được

Vậy (X, ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất □

Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không gian mêtric nón được hiểu là tôpô Như vậy, các hình cầu B(x, c) là các tập mở trong

không gian mêtric nón (X, d)

Từ Định lý 1.3.4 ta có hệ quả sau

1.3.5 Hệ quả([1]) Cho (X, d) là một không gian mêtric nón Nếu dãy {x n}

X hội tụ tới x và y thì x = y

1.3.6 Định lý([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, dãy {x n} X Khi đó, x n x X khi và chỉ khi với mỗi c intP tồn tại số tự nhiên n c sao cho d(x, x n) c với mọi n ≥ nc

Chứng minh Giả sử x n x X Khi đó, với mọi c intP, vì B(x, c) là lân cận của x (theo Mệnh đề 1.3.4) nên tồn tại số tự nhiên n c sao cho x n B(x, c) với mọi n ≥ n c , tức là d(x, x n) c với mọi n ≥ nc

Ngược lại, giả sử với mỗi c intP tồn tại số tự nhiên n c sao cho d(x, x n )

c với mọi n ≥ n c Giả sử U là một lân cận của x Khi đó, tồn tại c 0 intP sao cho B(x, x 0) U Từ đó suy ra tồn tại sao cho

x n B(x, x 0) U ∀n ≥

1.3.7 Định nghĩa([10]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón Dãy {x n} X

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c intP, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(x m , x n) c với mọi m, n > N

1.3.8 Mệnh đề([10]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón Khi đó, nếu

{x n } là dãy hội tụ trong (X, d) thì đó là dãy Cauchy

Chứng minh Giả sử {x n } là dãy trong X và x n x X Khi đó, với

mọi 0 c E tồn tại N sao cho d(xn , x)

với mọi n > N Từ đó, với mọi

m, n > N ta có

d(x m , x n ) ≤ d(x n , x) +d(x, x m) + = c

1.3.9 Bổ đề([1]) Giả sử {x n } là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón

X Khi đó, nếu {x n } có dãy con { } hội tụ tới x X thì {xn} tội tụ tới x

Chứng minh Giả sử c intP Khi đó, từ {x n} là dãy Cauchy và { } hội tụ

tới x suy ra tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho