Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng

Những kết luận mới của luận án: 1. Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh xạ ,-co trong không gian đều. 2. Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh xạ, -co trong không gian đều. Ứng dụng kết quả thu được để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. 3. Đưa ra định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều có thứ tự bộ phận. Ứng dụng kết quả thu được để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. 4. Đưa ra định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ ba cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều có thứ tự bộ phận. Ứng dụng kết quả thu được để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. 5. Thiết lập một định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương và ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. 6. Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các định lý cũng như để chỉ ra rằng các kết quả của chúng tôi là thực sự mở rộng so với các kết quả đã biết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ KHÁNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ KHÁNH HƯNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Đối tượng nghiên cứu 5

4 Phạm vi nghiên cứu 5

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 6

7 Tổng quan và cấu trúc luận án 6

7.1 Tổng quan luận án 6

7.2 Cấu trúc luận án 8

1 Không gian đều và định lý điểm bất động 10 1.1 Không gian đều 10

1.2 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu 12

1.3 Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ1)-co 23

1.4 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến 33

2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian

2.1 Điểm bất động bộ đôi trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận 40

2.3 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến 69

3 Điểm bất động trong đại số lồi địa phương và ứng dụng 823.1 Đại số lồi địa phương 823.2 Điểm bất động trong đại số lồi địa phương 843.3 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến 90

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS TrầnVăn Ân và TS Kiều Phương Chi Tôi xin cam đoan rằng các kết quảtrình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giảcho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nàokhác

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS

TS Trần Văn Ân và TS Kiều Phương Chi Trước hết, tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS

TS Trần Văn Ân và TS Kiều Phương Chi, những người đã đặt bài toán

và hướng nghiên cứu cho tác giả Các Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giảnghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc Tác giả đã học được rấtnhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầytrong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh HuyHoàng, người đã dạy bảo tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiêncứu khoa học ngay từ khi còn là sinh viên Trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu, Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợinhất để tác giả học tập và hoàn thành luận án

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đạihọc Vinh, Trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh đã quan tâmđộng viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trunghọc tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạm Toán học, TổGiải tích, Phòng đào tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác củaTrường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thànhnhiệm vụ của nghiên cứu sinh

Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh củaTrường Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, độngviên trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình củamình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọikhó khăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoànthành luận án này.

Nghệ An, năm 2015

Tác giả

CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN

C(X, R) : Không gian tất cả các hàm liên tục từ X vào R.

Φ : Họ các hàm φ α : R+ → R+, α ∈ I, đơn điệu tăng, liên tụcthỏa mãn φ α(0) = 0 và 0 < φ α (t) < t với mọi t > 0.

Φ1 : Họ các hàm φ α : R+ → R+, α ∈ I, đơn điệu không giảm

thỏa mãn φ α(0) = 0 và 0 < φ α (t) < t với mọi t > 0

Ψ : Họ các hàm ψ α : R+ → R+, α ∈ I, đơn điệu tăng, liên tụcthỏa mãn ψ α (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.

Ψ1 : Họ các hàm ψ α : R+ → R+, α ∈ I, đơn điệu không giảm

thỏa mãn ψ α(0) = 0 và với mỗi α ∈ I tồn tại ψ α ∈ Ψ1 sao cho

MỞ ĐẦU

1.1 Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được

từ năm 1911 Lúc đó, L Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liêntục từ một tập lồi compắc bất kỳ trong không gian hữu hạn chiều vàochính nó có ít nhất một điểm bất động Năm 1922, S Banach đã giớithiệu lớp ánh xạ co trong các không gian mêtric và chứng minh nguyên

lý ánh xạ co nổi tiếng: Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ

(X, d) vào chính nó có duy nhất điểm bất động Sự ra đời của Nguyên

lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó để nghiên cứu sự tồn tạinghiệm của các phương trình vi phân đánh dấu một sự phát triển mớicủa hướng nghiên lý thuyết điểm bất động Sau đó, nhiều nhà toán học

đã tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ vàkhông gian khác nhau Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977

đã được B E Rhoades tổng kết và so sánh với 25 dạng tiêu biểu ([62]).1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach ([14]) gắn liền với lớp ánh xạ co

T : X → X trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co

(B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X trong đó 0 ≤ k < 1

Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ coBanach lên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau Mở rộng đầu tiênthu được bởi E Rakotch ([59]) bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện co códạng

(R) d(T x, T y) ≤ θ¡d(x, y)¢d(x, y), với mọi x, y ∈ X, trong đó θ : R+ → [0, 1) là hàm đơn điệu giảm

Năm 1969, D W Boyd và S W Wong ([22]) đã đưa ra một dạng mởrộng hơn của kết quả trên, khi xét điều kiện co có dạng

(BW) d(T x, T y) ≤ ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ : R+ → R+

là hàm nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi

t ∈ R+

Cùng thời gian trên, F E Browder ([23]), M Furi và A Vignoli ([40])cũng xét một điều kiện co dạng tương tự Trong các bài báo của M Furi([39]), R M Bianchini và M C Grandolfi ([20]), các tác giả đã đưa rađiều kiện co dạng

(F) d(T x, T y) ≤ ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ(t) là hàm đơnđiệu tăng và thỏa mãn lim

n→∞ ϕ n (t) = 0 với mọi t > 0.Năm 1975, F Matkowski ([55]) đã làm nhẹ hơn điều kiện (F) khi xétđiều kiện co sau đây

(M) d(T x, T y) ≤ ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ(t) < t với mọi

t > 0

Năm 2001, B E Roades ([63]) khi cải tiến và mở rộng kết quả của

Y I Alber và S Guerre-Delabriere đã đưa ra điều kiện co dạng

(R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ :

R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu tăng sao cho ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi

t = 0

Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P N Dutta và

B S Choudhury ([34]) đã đưa ra điều kiện co dạng

(DC) ψ¡d(T x, T y)¢ ≤ ψ¡d(x, y)¢ − ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong

đó ψ, ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) =

0 = ϕ(t) khi và chỉ khi t = 0

Lưu ý rằng trong điều kiện co (DC), nếu ta lấyψ(t) = tvàϕ(t) = (1−k)t

với mọi t ∈ R+, thì ta thu được điều kiện co (B).

Năm 2009, R K Bose và M K Roychowdhury ([21]) đã đưa ra kháiniệm ánh xạ co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiêncứu điểm bất động chung của các ánh xạ

(BR) ψ¡d(T x, Sy¢ ≤ ψ¡d(x, y)¢− ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X, trong đó

ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với t > 0

và ψ(0) = 0 = ϕ(0), hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàmđơn điệu tăng

Năm 2012, B Samet, C Vetro và P Vetro ([64]) đã giới thiệu kháiniệm ánh xạ kiểu α-ψ-co trên không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện codạng

(SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X trong đó ψ :

R+ → R+ là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn P+∞ n=1 ψ n (t) < +∞ vớimọi t > 0 và α : X × X → R+

1.3 Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướngtổng quát hóa các điều kiện co cho các ánh xạ trên không gian mêtricsắp thứ tự bộ phận Theo hướng này, năm 2006, T G Bhaskar và V.Lakshmikantham ([19]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi củacác ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một

số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận

và thỏa mãn điều kiện co

(BL) Tồn tạik ∈ [0, 1) sao cho d¡F (x, y), F (u, v)¢≤ k

Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V.Lakshmikantham và L Ciric ([51]) đã thu được một số kết quả cho lớpánh xạ F : X × X → X có tính chất g-đơn điệu trộn với g : X → X trênkhông gian mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây.(LC) d¡F (x, y), F (u, v)¢ ≤ ϕ ³d¡g(x), g(u)¢+ d¡g(y), g(v)¢

2

´

,với mọi x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g(y) ≤ g(v) và F (X × X) ⊂ g(X).Năm 2011, V Berinde và M Borcut ([18]) đưa ra khái niệm điểm bấtđộng bộ ba cho lớp các ánh xạ F : X × X × X → X và đã thu được một

số định lý điểm bất động bộ ba cho các ánh xạ có tính chất đơn điệutrộn trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co(BB) Tồn tại các hằng số j, k, l ∈ [0, 1) sao cho j + k + l < 1 thỏa mãn

d¡F (x, y, z), F (u, v, w)¢ ≤ jd(x, u)+kd(y, v)+ld(z, w), với mọi x, y, z, u, v, w ∈

sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co yếu sau đây.

(AK) Tồn tại hàm φ sao cho với mọi x ≤ u, y ≥ v, z ≤ w ta có

d¡T F (x, y, z), T F (u, v, w)¢ ≤ φ

³ max©d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w)ª´

1.4 Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực

từ những ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phươngtrình vi phân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên

lý ánh xạ co Banach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phươngtrình vi phân thường

Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứngminh sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụngthích hợp một định lý điểm bất động nào đó Đối với các bài toán biênvới miền bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric

là đủ để làm tốt công việc trên Tuy nhiên, đối với các bài toán biên vớicác miền không bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gianmêtric là không đủ để thực hiện Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷtrước, song song với việc tìm cách mở rộng lớp ánh xạ người ta đã tìmcách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn Một trong những hướng

mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểm bất động củacác ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địa phương,rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâm củanhiều toán học mà nổi bật là V G Angelov

Trong ([10]), V G Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φ α : α ∈ I}

sao cho với mỗi α ∈ I, φ α : R+ → R+ là hàm đơn điệu tăng, liên tục,

φ α(0) = 0 và 0 < φ α (t) < t với mọi t > 0 Từ đó ông đã giới thiệu kháiniệm ánh xạ Φ-co, đó là ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện

(A) d α (T x, T y) ≤ φ α¡d j(α) (x, y)¢ với mọi x, y ∈ M và với mọi α ∈ I,trong đó M ⊂ X và thu được một số kết quả về điểm bất động của lớpánh xạ này Bằng cách đưa ra khái niệm không gian có tính chất j-bịchặn, V G Angelov đã thu được một số kết quả về tính duy nhất điểmbất động của lớp ánh xạ trên

Theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động lên lớp các khônggian lồi địa phương, năm 2005, B C Dhage ([29]) thông qua nghiên

cứu nghiệm của phương trình toán tử x = AxBx trong đó A : X → X,

B : S → X là hai toán tử thỏa mãn A là D-Lipschitz, B là hoàn toànliên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S với mọi y ∈ S, với S là một tập conđóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X, sao cho thỏa mãn điều kiện co(Dh) ||T x − T y|| ≤ φ¡||x − y||¢ với mọi x, y ∈ X, trong đó φ : R+ → R+

là hàm liên tục không giảm, φ(0) = 0,

đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach

1.5 Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ

co mới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướngnghiên cứu lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mớimạnh mẽ Với những lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyếtđiểm bất động trên cho lớp các không gian có cấu trúc đều, chúng tôichọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạtrong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng” làm đề tài luận

án tiến sĩ

Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớpkhông gian với cấu trúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồntại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bịchặn

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh

xạ co suy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộđôi, điểm bất động bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian vớicấu trúc đều, một số lớp phương trình tích phân

Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gianđều và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trìnhtích phân với hàm độ lệch không bị chặn

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tíchhàm, Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lýthuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài

Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng trong không gian mêtric cho không gian với cấu trúc đều Đồng thời

đã xét được sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với

độ lệch không bị chặn, mà chúng ta không thể áp dụng các định lý điểmbất động trong không gian mêtric

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viêncao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyếtđiểm bất động và ứng dụng nói riêng

7.1 Tổng quan luận án

Trong luận án này, chúng tôi trình bày một số mở rộng các định lýđiểm bất động của một số lớp ánh xạ với các điều kiện co suy rộng trongkhông gian với cấu trúc đều, đưa ra một số ví dụ minh họa Sau đó, ápdụng các kết quả thu được để chứng minh sự tồn tại cũng như tồn tạiduy nhất nghiệm của một số lớp phương trình tích phân phi tuyến với

độ lệch không bị chặn

Trong Chương 1, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm vàcác kết quả đã biết về không gian đều cần dùng cho các trình bày vềsau Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà nó

là mở rộng khái niệm (ψ, ϕ)-co của P N Dutta và B S Choudhury trênkhông gian đều, và thu được một kết quả về sự tồn tại điểm bất độngcủa ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian đều Bằng cách đưa ra khái niệmkhông gian đều có tính chất j-đơn điệu giảm, chúng tôi thu được kết quả

về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co Tiếp theo,

mở rộng khái niệm ánh xạ α-ψ-co trên không gian mêtric cho không gian

đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ1)-co trên không gian đều

và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này Các định

lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của nhữngđịnh lý trong không gian mêtric đầy đủ Cuối cùng, ứng dụng định lý thuđược về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ1)-co trên không gian đều,chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trìnhtích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Lưu ý rằng, khi xét mộtlớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, chúng ta khôngthể áp dụng các định lý điểm bất động đã biết trong không gian mêtric.Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý1.3.11 và Định lý 1.4.3 Cụ thể, Định lý 1.2.6 chỉ ra sự tồn tại, tồn tạiduy nhất điểm bất động của một lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gianđều; Định lý 1.2.9 khẳng định sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất độngchung của hai ánh xạ co trên không gian đều; Định lý 1.3.11 đưa ra điềukiện tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ (β, Ψ1)-co.Cuối cùng, Định lý 1.4.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm trong C(R+, R)

của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn

Trong Chương 2, chúng tôi xét trên không gian đều sắp thứ tự bộphận Đầu tiên, trong mục 2.1, chúng tôi thu được các kết quả về điểmbất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự

bộ phận khi mở rộng điều kiện co (LC) của V Lakshmikantham và L.Ciric cho ánh xạ trong không gian đều Trong mục 2.2, bằng cách mởrộng điều kiện co (AK) của H Aydi và E Karapinar cho ánh xạ trongkhông gian đều, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ

ba của một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận Trongmục 2.3, bằng cách đưa vào các khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới,nghiệm bộ ba trên và dưới, áp dụng các kết quả thu được trong mục 2.1,2.2, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất của mộtvài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Kếtquả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệquả 2.2.6, Định lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6 Cụ thể, Định lý 2.1.5, Hệ quả2.1.6 kết luận sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi của mộtlớp ánh xạ; Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6 khẳng định sự tồn tại, tồn tạiduy nhất điểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ Cuối cùng, các Định

lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6 khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm trong

C(R+, R) của một vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệchkhông bị chặn

Trong Chương 3, đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơbản về đại số lồi địa phương cần dùng cho các trình bày về sau Tiếptheo, trong mục 3.2, bằng cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho cácánh xạ trên các đại số lồi địa phương và dựa vào các kết quả đã biết trongđại số Banach, không gian đều, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bấtđộng trong đại số lồi địa phương mà nó là mở rộng của kết quả thu đượcbởi B C Dhage ([29]) Cuối cùng, trong mục 3.3, áp dụng định lý thuđược chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trìnhtích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bị chặn Kết quảchính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2 Cụ thể, Định lý 3.2.5khẳng định phương trình toán tử x = AxBx trong đại số lồi địa phương

có nghiệm; Định lý 3.3.2 kết luận phương trình tích phân phi tuyến với

độ lệch không bị chặn có nghiệm trong C(R+, R)

Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minhhọa cho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý đượcđưa ra

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận áncòn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận vàKiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quanđến luận án và Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một sốlớp ánh xạ trên không gian mêtric cho không gian đều Trong phần đầucủa chương, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về không gian tôpô,không gian đều Trong mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động củaánh xạ co yếu trong không gian đều Mục 1.3 dành cho việc nghiên cứu

về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ1)-co trong không gian đều Mục 1.4,ứng dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ1)-co để xét sựtồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến

Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả trong khônggian mêtric cho không gian đều sắp thứ tự bộ phận Trong mục 2.1,chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động bộ đôi Mục 2.2, chúng tôixét sự tồn tại điểm bất động bộ ba Mục 2.3, chúng tôi ứng dụng cáckết quả thu được để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phươngtrình tích phân phi tuyến.

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu định lý điểm bất động trong đại sốlồi địa phương và ứng dụng của kết quả thu được Trong mục 3.1, chúngtôi trình bày lại một số kiến thức, khái niệm về đại số lồi địa phương.Mục 3.2 dành cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất độngcủa một lớp ánh xạ trên đại số lồi địa phương Cuối cùng, trong mục 3.3,chúng tôi đã ứng dụng kết quả thu được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệmcủa phương trình tích phân phi tuyến

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo,trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE; đã được nhận đăng trong 02bài báo khác, trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE và đang gửi công

bố trong 01 bài báo Từng phần trong nội dung của luận án cũng đãđược trình bày tại

• Seminar của Tổ Giải tích; thuộc Khoa Toán Trường Đại học Vinh;

• Các Hội nghị NCS; của Trường Đại học Vinh (2010 - 2014);

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012;

• Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN ĐỀU

VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kiến thức

cơ bản về không gian đều và những kết quả sử dụng cho phần sau Tiếptheo, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ(Ψ, Π)-cotrong không gian đều Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộngcác định lý điểm bất động của lớp ánh xạα-ψ-co trong không gian mêtricđược trình bày trong ([64]) lên không gian đều Sau đó, chúng tôi ứngdụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tích phânvới độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất

Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cầndùng cho những trình bày về sau Những kiến thức này đã được trìnhbày trong các tài liệu ([2], [9], [48])

Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X Ta ký hiệu

1) U −1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U}

2) U ◦ V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } và viết U2 thay cho

U ◦ U

3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} và gọi ∆(X) là đường chéo của X

4) U[A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U}, với A ⊂ X và viết U[x]

thay cho U[{x}]

1.1.1 Định nghĩa Họ U các tập con của X × X được gọi là cái đều hay

cấu trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

Cặp (X, U) được gọi là một không gian đều.

1.1.2 Ví dụ 1) Cho (X, d) là một không gian mêtric Khi đó, họ U = {U n : n = 1, 2, }, trong đó

là cái đều trên X

2) Mỗi không gian véctơ tôpô là không gian đều

Trong thực tế, mỗi cấu trúc đều luôn được sinh ra bởi một họ các giảmêtric trên X Kết quả này đã được chứng minh bởi N Bourbaki trong([48])

1.1.3 Định lý Cấu trúc đều trên X được sinh ra bởi một họ các giả mêtric liên tục đều trên X

1.1.4 Định lý Giả sử (X, U) là không gian đều Với mỗi A ∈ U và

2) Dãy {x n } hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi với mọi α ∈ I , d α (x n , x) → 0

1.1.8 Chú ý 1) Giả sử X là không gian đều Khi đó, tôpô đều trên X

được sinh bởi một họ các giả mêtric liên tục trên X ([48])

2) Nếu E là không gian lồi địa phương với họ bão hòa các nửa chuẩn

{p α } α∈I, thì họ các giả mêtric liên kết {d α } α∈I xác định bởi d α (x, y) =

p α (x − y) với mọi x, y ∈ E Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giảmêtric liên kết trùng với tôpô xuất phát của không gian E Do đó, như

là hệ quả của các kết quả của chúng tôi sau này, ta thu được các định lýđiểm bất động trong không gian lồi địa phương

3) ([9]) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I Các phép lặp của j

được xác định theo quy nạp như sau

j0(α) = α, j k (α) = j¡j k−1 (α)¢, k = 1, 2,

Trong các trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản là X được hiểu

là một không gian đều Hausdorff với cấu trúc đều sinh bởi một họ bãohòa các giả mêtric P = {d α (x, y) : α ∈ I}, trong đó I là một tập chỉ số.Lưu ý rằng, (X, P) là Hausdorff nếu và chỉ nếu d α (x, y) = 0 với mọi α ∈ I

kéo theo x = y

Trong ([10]), khi xét họ Φ = {φ α : R+ → R+, α ∈ I} các hàm đơnđiệu tăng, liên tục, φ α(0) = 0 và thỏa mãn 0 < φ α (t) < t với mọi t > 0,

V G Angelov đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co trên M, đó là ánh xạ

T : M → X thỏa mãn điều kiện

d α (T x, T y) ≤ φ α¡d j(α) (x, y)¢,

với mọi x, y ∈ M, mọi α ∈ I, trong đó M ⊂ X và thu được kết quả sau.1.2.1 Định lý ([10], Theorem 4) Cho X là không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và T : X → X là một ánh xạ Φ-co trên X Giả sử rằng

i) Với mọi α ∈ I và t > 0 , lim

n→∞ φ α¡φ j(α) ( φ j n (α) (t) )¢ = 0 ii) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {x n }

với x n = T x n−1 , n = 1, 2, thỏa mãn d α (x m , x m+n ) ≥ d j(α) (x m , x m+n) với mọi m, n ≥ 0, mọi α ∈ I

Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong X

Để xét tính duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ này, V G Angelov

đã đưa ra khái niệm không gian có tính chất j-bị chặn và thu được kếtquả tiếp theo

1.2.2 Định nghĩa ([10]) Không gian đều (X, P) được gọi là j -bị chặn

nếu với mỗi α ∈ I và x, y ∈ X tồn tại q = q(x, y, α) sao cho

d j n (α) (x, y) ≤ q(x, y, α) < ∞, với mọi n ∈ N.

1.2.3 Định lý ([10]) Nếu thêm vào giả thiết của Định lý 1.2.1 điều kiện

X là j -bị chặn, thì điểm bất động của T là duy nhất.

Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co,tính chất j-đơn điệu giảm và chứng minh một số định lý điểm bất độngcho ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian đều Các kết quả này là mở rộngcủa các kết quả (Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3) của V G Angelov trong([9], [10])

Trước hết chúng tôi giới thiệu các lớp hàm có vai trò quan trọng trong

lý thuyết điểm bất động, đôi khi ta gọi chúng là các hàm điều khiển KýhiệuΨ = {ψ α : α ∈ I}là họ các hàm ψ α : R+ → R+ đơn điệu tăng, liên tục,

ψ α (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0, với mọi α ∈ I Ký hiệu Π = {ϕ α : α ∈ I}

là họ các hàm ϕ α : R+ → R+, α ∈ I sao cho ϕ α là liên tục, ϕ α (t) = 0 nếu

và chỉ nếu t = 0

1.2.4 Định nghĩa Cho X là không gian đều Ánh xạ T : X → X đượcgọi là (Ψ, Π) -co trên X nếu

ψ α¡d α (T x, T y)¢ ≤ ψ α¡d j(α) (x, y)¢− ϕ α¡d j(α) (x, y)¢, (1.1)với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ I, ψ α ∈ Ψ, ϕ α ∈ Π

Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X là rộng hơn lớp ánh xạ Φ-co trên

X Thật vậy, nếu T là ánh xạ Φ-co trên X thì với mọi α ∈ I và φ α ∈ Φ

ta đặt Ψ = {ψ α : R+ → R+, α ∈ I} với ψ α (t) = t với mọi t ≥ 0 và

Π = {ϕ α : R+ → R+, α ∈ I} với ϕ α (t) = t − φ α (t) với mọi t ≥ 0 Khi đó T

2) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {x n }

với x n = T x n−1 , n = 1, 2, thỏa mãn d α (x m , x m+n ) ≥ d j(α) (x m , x m+n) với mọi m, n ≥ 0, mọi α ∈ I

Khi đó, T có điểm bất động trong X

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì T có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh. Xét x0 và dãy {x n } với x n = T x n−1, n = 1, 2, thỏamãn điều kiện 2) Trước hết, ta sẽ chứng minh với mọi α ∈ I ta có

Vì ψ α là đơn điệu tăng, nên bất đẳng thức trên kéo theo d α (x n+1 , x n ) ≤

d j(α) (x n , x n−1) Nhờ điều kiện 2) ta có d j(α) (x n , x n−1 ) ≤ d α (x n , x n−1) Vì vậy

ta được

d α (x n+1 , x n ) ≤ d j(α) (x n , x n−1 ) ≤ d α (x n , x n−1 ). (1.2)

Do đó, với mọi α ∈ I, dãy {c α

n } là giảm và bị chặn dưới Do đó, tồntại giới hạn hữu hạn lim

với mọi n = 1, 2, Cho n → ∞ ta được ψ α (r α ) ≤ ψ α (r α ) − ϕ α (r α) với mọi

α ∈ I, hay ϕ α (r α ) ≤ 0 với mọi α ∈ I Nhờ tính chất của ϕ α ta suy ra

r α = 0 Do đó, với mọi α ∈ I ta có lim

n→∞ d α (x n+1 , x n) = 0.Tiếp theo, ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy Giả sử ngược lại, {x n }

không là dãy Cauchy Khi đó, tồn tại ε > 0, α0 ∈ I và các dãy con {x m(k) }

và {x n(k) } của {x n } sao cho n(k) là số nhỏ nhất thỏa mãn

n(k) > m(k) > k > 0, d α0(x m(k) , x n(k) ) ≥ ε, k = 1, 2, (1.3)Điều này kéo theo

Cho k → ∞ ta được ψ α (ε) ≤ ψ α (ε) − ϕ α (ε) Lại nhờ tính chất của hàm

ϕ α ta suy ra ε = 0 Điều này mâu thuẫn với ε > 0 Do đó, {x n } là dãyCauchy Vì X là đầy đủ dãy, nên x n → x ∈ X khi n → ∞ Bây giờ tachứng minh x là điểm bất động của T Thật vậy, vì T là (Ψ, Π)-co, vớimọi α ∈ I và với mọi n ≥ 1 ta có

Để hoàn tất chứng minh định lý, ta chứng minh nếu X có tính chất

j-đơn điệu giảm, thì điểm bất động của T là duy nhất Thật vậy, giả sử

x, y là các điểm bất động của T Khi đó, vì X có tính chất j-đơn điệugiảm và ψ α là hàm đơn điệu tăng nên với mọi α ∈ I ta có

Chú ý rằng, vì ánh xạ Φ-co trên X cũng là (Ψ, Π)-co trên X nên phầnkết luận tồn tại điểm bất động của Định lý 1.2.6 là mở rộng của Định lý1.2.1 Hơn nữa, trong Định lý 1.2.6 ta không cần giả thiết i) như trongĐịnh lý 1.2.1.

Ví dụ sau đây minh họa cho kết quả của Định lý 1.2.6

1.2.7 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª Với mỗi

n = 1, 2, ký hiệu P n : X → R là ánh xạ xác định bởi P n (x) = x n với mọi

x = {x m } ∈ X Xét I = N ∗ × R+ Với mỗi (n, r) ∈ I, ta xác định một giảmêtric d (n,r) : X × X → R bởi

d (n,r) (x, y) = r¯¯P n (x) − P n (y)¯¯, với mọi x, y ∈ X.

Khi đó, họ các giả mêtric {d (n,r) : (n, r) ∈ I} sinh ra một cấu trúc đềutrên X

Bây giờ, với mỗi (n, r) ∈ I ta xác định các hàm ψ (n,r) (t) = 2(n − 1)

Tiếp theo ta kiểm tra các giả thiết của Định lý 1.2.6

1) T là (Ψ, Π)-co trên X Thật vậy, ta có

¢

|x n − y n |

= r 2(3n − 2) 3(2n − 1) .

Theo hướng nghiên cứu điểm bất động chung của các ánh xạ, năm

2009, R K Bose và M K Roychowdhury đã thu được kết quả sau

1.2.8 Định lý ([21], Theorem 24) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ và các ánh xạ T, S : X → X thỏa mãn

ψ¡d(T x, Sy)¢≤ ψ¡d(x, y)¢− ϕ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X,

trong đó ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với

t > 0 và ψ(0) = 0 = ϕ(0) , hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàm đơn điệu tăng Khi đó, tồn tại duy nhất u ∈ X sao cho u = T u = Su

Mở rộng kết quả trên cho các ánh xạ trong không gian đều chúng tôithu được các kết quả sau đây

1.2.9 Định lý Cho X là không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và T, S :

X → X là các ánh xạ thỏa mãn

ψ α¡d α (T x, Sy)¢≤ ψ α¡d j(α) (x, y)¢− ϕ α¡d j(α) (x, y)¢,

với mọi x, y ∈ X , trong đó ψ α ∈ Ψ, ϕ α ∈ Π với mọi α ∈ I

Giả sử j : I → I là toàn ánh và tồn tại x0 ∈ X sao cho dãy {x n } với

x 2k+1 = T x 2k , x 2k+2 = Sx 2k+1 , k ≥ 0 thỏa mãn d α (x m+n , x m ) ≥ d j(α) (x m+n , x m)

với mọi m, n ≥ 0, α ∈ I

Khi đó, tồn tại u ∈ X sao cho u = T u = Su

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -đơn điệu giảm, thì tồn tại duy nhất

với mọi k = 0, 1, 2,

Từ đó suy ra ψ α¡d j(α) (x n , x n+1)¢ ≤ ψ α¡d j(α) (x n−1 , x n)¢ với mọi α ∈ I, n =

1, 2, Vìψ α đơn điệu tăng nên d j(α) (x n , x n+1 ) ≤ d j(α) (x n−1 , x n)với mọi α ∈

I, n = 1, 2, Điều này chứng tỏ rằng dãy©d j(α) (x n , x n+1)ªđơn điệu giảm,

bị chặn dưới bởi 0 Do đó, tồn tại r j(α) ≥ 0 sao cho lim

n→∞ d α (x n , x n+1) = 0

với mọi α ∈ I, nên ta chỉ cần chứng minh {x 2n } là dãy Cauchy Giả sửngược lại, {x 2n } không là dãy Cauchy Khi đó, tồn tại ε > 0 và α0 ∈ I saocho ta có thể chọn được n(k) > m(k) > k > 0 thỏa mãn

Điều này dẫn đến lim

k→∞ d α0(x 2m(k) , x 2n(k) ) = ε Vì j là toàn ánh nên tồn tại

α ∈ I sao cho j(α) = α0 Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có

Điều này kéo theo ε = 0, mâu thuẫn Do đó, {x n } là dãy Cauchy Vì X

là đầy đủ dãy, nên x n → u khi n → ∞ Suy ra x 2n → u, x 2n+1 → u khi

n → ∞

Tiếp theo, ta chứng minhu = T u = Su Vìx 2n+1 = T x 2n , x 2n+2 = Sx 2n+1

với mọi n ∈ N nên với mọi α ∈ I ta có

Để hoàn tất chứng minh định lý, ta chứng minh nếu X có tính chất

j-đơn điệu giảm, thì tồn tại duy nhất u ∈ X sao cho u = T u = Su Thậtvậy, nếu tồn tại v ∈ X sao cho v = T v = Sv, thì với mọi α ∈ I ta có

1.2.10 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª Với mỗi

n = 1, 2, ký hiệu P n : X → R là ánh xạ xác định bởi P n (x) = x n vớimọi x = {x m } ∈ X Xét I = N ∗ là tập chỉ số và họ các giả mêtric trên X

xác định bởi d n (x, y) = ¯¯P n (x) − P n (y)¯¯ với mọi x, y ∈ X và n ∈ I Khi đó,

{d n : n ∈ I} là họ các giả mêtric sinh ra cấu trúc đều trên X

Hơn nữa, với mọi n ∈ N ∗ và x, y ∈ X ta có d j(n) (x, y) = d n (x, y) Do

đó, tất cả các giả thiết của Định lý 1.2.9 đều thỏa mãn Dễ thấy tồn tại

u = {0, 0, } sao cho u = T u = Su và u là duy nhất

1.3 Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ1)-co

Năm 2012, trong ([64]), B Samet, C Vetro và P Vetro đã giới thiệukhái niệm ánh xạ α-ψ-co và thu được các kết quả sau đây về điểm bấtđộng của các ánh xạ α-ψ-co trên không gian mêtric

1.3.1 Định nghĩa ([64], Definition 2.1) Cho (X, d)là không gian mêtric

và ánh xạ T : X → X Ta nói T là α-ψ -co nếu tồn tại hàm α : X ×X → R+

và hàm ψ : R+ → R+ đơn điệu không giảm thỏa mãn P+∞ n=1 ψ n (t) < +∞

với mọi t > 0 sao cho

α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ¡d(x, y)¢, với mọi x, y ∈ X.

1.3.2 Định nghĩa ([64], Definition 2.2) Cho T : X → X và α : X × X →

R + Ta nói T là α-chấp nhận được nếu

x, y ∈ X, α(x, y) ≥ 1 =⇒ α(T x, T y) ≥ 1.

1.3.3 Định lý ([64], Theorem 2.1) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ và T : X → X là một ánh xạ α - ψ -co thỏa mãn các điều kiện sau i) T là α -chấp nhận được.

ii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho α(x0, T x0) ≥ 1

iii) T liên tục.

Khi đó, T có điểm bất động.

1.3.4 Định lý ([64], Theorem 2.2) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ và T : X → X là một ánh xạ α - ψ -co thỏa mãn các điều kiện sau i) T là α -chấp nhận được.

ii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho α(x0, T x0) ≥ 1

iii) Nếu {x n } là dãy trong X sao cho α(x n , x n+1 ) ≥ 1 với mọi n và

x n → x ∈ X khi n → +∞ , thì α(x n , x) ≥ 1 với mọi n ∈ N ∗

Khi đó, T có điểm bất động.

1.3.5 Định lý ([64], Theorem 2.3) Giả sử các điều kiện của Định lý

1.3.3 (tương ứng, Định lý 1.3.4) đều thỏa mãn Nếu với mọi x, y ∈ X , tồn tại z ∈ X sao cho α(x, z) ≥ 1 và α(y, z) ≥ 1 , thì T có điểm bất động duy nhất.

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (β, Ψ1)-co suyrộng và chứng minh một định lý điểm bất động cho ánh xạ (β, Ψ1)-cosuy rộng trong không gian đều mà kết quả này được xem như là những

mở rộng các kết quả trên của B Samet, C Vetro và P Vetro Chúng tôicũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả thu được

Trước hết chúng ta giới thiệu một lớp các hàm điều khiển được sửdụng trong mục này

Ký hiệu Ψ1 = {ψ α : α ∈ I} là họ các hàm thỏa mãn các tính chất(i) ψ α : R+ → R+ đơn điệu không giảm và ψ α(0) = 0

(ii) Với mỗi α ∈ I, tồn tại ψ α ∈ Ψ1 sao cho

Bây giờ chúng tôi giới thiệu các khái niệm ánh xạ (β, Ψ1)-co và ánh

xạ β-chấp nhận được Xét họ hàm β = {β α : X × X → R+, α ∈ I}

1.3.7 Định nghĩa Cho (X, P) là không gian đều với P =©d α (x, y) : α ∈

Iª và T : X → X là ánh xạ cho trước Ta nói T là ánh xạ (β, Ψ1)-co nếu

với mọi hàm β α ∈ β và ψ α ∈ Ψ1 ta có

β α (x, y).d α (T x, T y) ≤ ψ α¡d j(α) (x, y)¢, (1.11)với mọi x, y ∈ X

1.3.8 Định nghĩa Cho T : X → X Ta nói rằng ánh xạ T là β -chấp nhận được ( β-admissible) nếu với mọi x, y ∈ X và α ∈ I mà β α (x, y) ≥ 1

kéo theo β α (T x, T y) ≥ 1

1.3.9 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª và I là tậpchỉ số Ta xác định các ánh xạ T : X → X và β α = β : X × X → R+, vớimọi α ∈ I cho bởi

T x =©√3

x1, √3

x2, ª

β(x, y) =

½

1 nếu x n ≥ y n với n ∈ N ∗ nào đó,

0 nếu x n < y n với mọi n ∈ N ∗

Khi đó, β(x, y) ≥ 1 nếu x n ≥ y n với n ∈ N ∗ nào đó Điều này kéo theo3

T x =©e x1, e x2, ª,

và

β α (x, y) =

½

α nếu x n ≥ y n với n ∈ N ∗ nào đó,

0 nếu x n < y n với mọi n ∈ N ∗

Khi đó, β α (x, y) ≥ 1 nếu và chỉ nếu tồn tại n sao cho x n ≥ y n Điều nàykéo theo e x n ≥ e y n với n ∈ N ∗ nào đó Do đó, β α (T x, T y) = α ≥ 1, hay T

là β-chấp nhận được

Trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh một định lý điểm bấtđộng mới trong không gian đều, mà đây là mở rộng của các Định lý1.3.3, 1.3.4 và 1.3.5

1.3.11 Định lý Cho tập hợp X và P = ©d α (x, y) : α ∈ Iª là một họ các giả mêtric trên X sao cho (X, P) là không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy Cho T : X → X là một ánh xạ (β, Ψ1)-co thỏa mãn các điều kiện i) T là β -chấp nhận được.

ii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho với mỗi α ∈ I ta có β α (x0, T x0) ≥ 1 và

d j n (α) (x0, T x0) < q(α) < +∞ với mọi n ∈ N ∗ .

Ngoài ra, giả thiết thêm

a) T liên tục; hoặc

b) Với mọi α ∈ I , nếu {x n } là dãy trong X sao cho β α (x n , x n+1 ) ≥ 1

với mọi n và x n → x ∈ X khi n → +∞ , thì β α (x n , x) ≥ 1 với mọi n ∈ N ∗ Khi đó, T có điểm bất động.

Hơn nữa, nếu X có tính chất j -bị chặn và với mọi x, y ∈ X , tồn tại

z ∈ X sao cho β α (x, z) ≥ 1 và β α (y, z) ≥ 1 với mọi α ∈ I , thì điểm bất động của T là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử x0 ∈ X sao cho điều kiện ii) được thỏa mãn Xácđịnh dãy {x n } trong X bởi x n+1 = T x n, với mọi n ∈ N Nếu x n = x n+1 với

n ∈ N nào đó thì x = x n là điểm bất động của T Bây giờ giả sử x n 6= x n+1

với mọi n ∈ N Vì T là β-chấp nhận được nên với mỗi α ∈ I ta có điềukiện β α (x0, x1) = β α (x0, T x0) ≥ 1 kéo theo β α (T x0, T x1) = β α (x1, x2) ≥ 1.Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

Bây giờ ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu T liên tục thì x n+1 = T x n → T x khi n → +∞ Nhờtính duy nhất của giới hạn ta được x = T x và x là điểm bất động của T

Trường hợp 2: X có tính chất như trong giả thiết b) Khi đó, từ (1.12)

ta có

β α (x n , x) ≥ 1, với mọi n ∈ N và α ∈ I. (1.14)

Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức tam giác, (1.11) và (1.14), ta được

Để hoàn tất chứng minh định lý, ta chứng minh nếu X có tính chất

j-bị chặn và với mọi x, y ∈ X, tồn tại z ∈ X sao cho β α (x, z) ≥ 1 và

β α (y, z) ≥ 1 với mọi α ∈ I, thì điểm bất động của T là duy nhất Thậtvậy, giả sử x và y là hai điểm bất động của T Khi đó, tồn tại z ∈ X saocho

β α (x, z) ≥ 1 và β α (y, z) ≥ 1 với mọi α ∈ I. (1.15)

Các ví dụ sau đây sẽ minh họa cho kết quả trên Lưu ý rằng, trongcác ví dụ này, ánh xạ T không phải là Φ-co nên ta không áp dụng đượckết quả của Angelov để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động củaT Ví dụ đầutiên minh họa cho trường hợp ánh xạ T liên tục có điểm bất động.1.3.12 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª và ánh

xạ P n : X → R xác định bởi P n (x) = P n¡{x m }¢ = x n với mỗi n = 1, 2,

Lấy I = N ∗ × R+ là tập chỉ số và họ các giả mêtric trên X xác định bởi

Bây giờ, với mỗi chỉ số (n, r) ∈ I ta đặt ψ (n,r) (t) = 2(n − 1)

2n − 1 t với t ≥ 0

và xét họ các hàm β (n,r) = β : X × X → R+, với mọi (n, r) ∈ I, xác địnhbởi

β(x, y) =

½

1 nếu x n , y n ≤ 1 với n ∈ N ∗ nào đó,

0 trong các trường hợp còn lại.

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra tất cả các giả thiết của Định lý 1.3.11 đềuthỏa mãn Thật vậy, xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1 Nếu tồn tại n ∈ N ∗ sao cho x n , y n ≤ 1 thì

Vậy tất cả các giả thiết để tồn tại điểm bất động của Định lý 1.3.11đều thỏa mãn Do đó, T có điểm bất động Ta thấy ©1, 1, ª là điểmbất động của T.

Ví dụ tiếp theo minh họa cho trường hợp ánh xạ T không liên tục.1.3.13 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª và ánh

xạ P n : X → R xác định bởi P n (x) = P n¡{x m }¢ = x n, với mọi n = 1, 2,

Lấy I = N ∗ là tập chỉ số và họ các giả mêtric trên X xác định bởi

d n (x, y) = ¯¯P n (x) − P n (y)¯¯ với mọi x, y ∈ X Khi đó, {d n : n ∈ I} sinh racấu trúc đều trên X Xét ánh xạ j : I → I xác định bởi j(n) = n, với mọi

nếu x n ≤ 1 với n ∈ N ∗ nào đó.

Trước hết chúng ta sẽ chứng tỏ T không là ánh xạ Φ-co Thật vậy, với

1 nếu x n , y n ≤ 1 với mọi n ∈ N ∗ ,

0 trong các trường hợp còn lại.

Tiếp theo ta sẽ kiểm tra với các hàm này thì tất cả các giả thiết đểtồn tại điểm bất động của Định lý 1.3.11 được thỏa mãn Thật vậy, với

x, y ∈ X, ta xét hai trường hợp sau.

Trường hợp 1 Nếu với mọi n ∈ N ∗ ta có x n , y n ≤ 1 thì

1.3.14 Ví dụ Cho X = R ∞ = ©x = {x n } : x n ∈ R, n = 1, 2, ª và ánh

xạ P n : X → R xác định bởi P n (x) = P n¡{x n }¢ = x n với mỗi n = 1, 2,

Lấy I = N ∗ × R+ là tập chỉ số và họ các giả mêtric trên X xác định bởi

d (n,r) (x, y) = r¯¯P n (x) − P n (y)¯¯, với x, y ∈ X và (n, r) ∈ I.

Khi đó, ©d (n,r) : (n, r) ∈ Iª sinh ra cấu trúc đều trên X

Bây giờ với mỗi (n, r) ∈ I chúng ta xét các hàm ψ (n,r) (t) = 2(n − 1)

2n − 1 t,với mọi t ≥ 0 và đặt Ψ1 = {ψ (n,r) : (n, r) ∈ I} Xét ánh xạ j : I → I xácđịnh bởi j(n, r) =

β(x, y) =

½

1 nếu x n ≤ 2 với mọi n ∈ N ∗ hoặc y n ≤ 2 với mọi n ∈ N ∗;

0 trong các trường hợp còn lại.

Ta sẽ kiểm tra các hàm này thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lý1.3.11

Trước hết, với mọi x, y ∈ X, (n, r) ∈ I ta có

¢¯

¯x n − y n¯¯

= r n − 1 n

¯

¯x n − y n¯¯.

(1.26)

Từ (1.25) và (1.26), ta có β(x, y).d (n,r) (T x, T y) ≤ ψ (n,r)¡d j(n,r) (x, y)¢ Điềunày chứng tỏ T là ánh xạ (β, Ψ1)-co