Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ t CO trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THÀNH TRUNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ T – CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... BỘ GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG THÀNH TRUNG

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG

CỦA CÁC ÁNH XẠ T – CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG THÀNH TRUNG

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG

CỦA CÁC ÁNH XẠ T-CO TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2014

MU C LU C

Trang

MU C LU C 1

LÍI MÐ †U 2

Ch÷ìng 1 Khæng gian m¶tric nân .4

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4

1.2 Nân trong khæng gian Banach 7

1.3 Khæng gian m¶tric nân 10

Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân 16

2.1 Mët sè k¸t qu£ ¢ câ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân .16

2.2 Mð rëng mët sè k¸t qu£ 26

K˜T LUŠN 38

T€I LI›U THAM KHƒO 39

MÐ †U

Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l  mët trong nhúng chõ · nghi¶n cùu quan trångcõa gi£i t½ch Nâ câ nhi·u ùng döng trong To¡n håc v  c¡c ng nh kÿ thuªt.K¸t qu£ quan trång ¦u ti¶n ph£i kº ¸n trong lþ thuy¸t iºm b§t ëng l nguy¶n lþ ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric ¦y õ cõa Banach Ng÷íi ta

¢ t¼m c¡ch mð rëng nguy¶n lþ n y cho nhi·u lo¤i ¡nh x¤ v  nhi·u lîp khænggian kh¡c nhau

V o n«m 2007, L G Huang v  X Zhang ¢ thay êi tªp hñp sè thüc trong

ành ngh¾a m¶tric bði mët nân ành h÷îng trong khæng gian Banach, v  ¢thu ÷ñc kh¡i ni»m mîi têng qu¡t hìn â l  kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân

Tø â, v§n · v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng v  iºm b§t ëng chung cõa c¡c

¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùucõa nhi·u t¡c gi£ N«m 2010, J R Morales v  E Rojas [8] ¢ giîi thi»u c¡ckh¡i ni»m ¡nh x¤ T-co Kannan v  T-co Chatterjea v  ÷a ra mët sè k¸t qu£v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ n y trong khæng gian m¶tric nân.Sau â, Filipovie v  c¡c cëng sü [5] ¢ ành ngh¾a ¡nh x¤ T-co Hardy-Rogerstrong khæng gian m¶tric nân v  chùng minh mët sè ành lþ v· iºm b§t ëng.Mîi ¥y, Hamidveza Rahimi v  c¡c cëng sü [9] ¢ chùng minh mët sè ành lþv· iºm b§t ëng v  iºm tu¦n ho n cho c°p ¡nh x¤ T-co trong khæng gianm¶tric nân

º tªp d÷ñt nghi¶n cùu khoa håc v  t¼m hiºu v· lþ thuy¸t iºm b§t ëng,chóng tæi ti¸p cªn h÷îng n y nh¬m nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa khæng gianm¶tric nân v  c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-cotrong khæng gian m¶tric nân T¼m c¡ch mð rëng mët sè k¸t qu£ ¢ câ trong

t i li»u [4, 6, 7, 8, 9] Tø â, chóng tæi chån · t i nghi¶n cùu l  "Sü tçn t¤i

iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân".Vîi möc ½ch â, luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Khæng gian m¶tric nân

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v  mët sè t½nh ch§tcõa nân v  khæng gian m¶tric nân m  chóng ÷ñc dòng trong ch÷ìng hai.Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng v  iºm b§t ëng chung cõac¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân

¥y l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Ch÷ìng n y tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½

dö v· c¡c ¡nh x¤ T-co v  sü tçn t¤i iºm b§t ëng v  b§t ëng chung trongkhæng gian m¶tric nân Trong Möc 2.1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v·

sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tric nân ¢

câ trong c¡c t i li»u [6, 8, 9] Trong Möc 2.2, chóng tæi ÷a ra v  chùng minhmët v i k¸t qu£ mîi v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ T-co,

â l  sü mð rëng cõa mët sè k¸t qu£ trong [4, 8, 9]

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªnt¼nh v  nghi¶m kh­c cõa PGS.TS inh Huy Ho ng T¡c gi£ xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n Th¦y

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Pháng  o t¤o sau ¤i håc, Ban Chõ nhi»mKhoa S÷ Ph¤m To¡n håc - Tr÷íng ¤i håc Vinh

T¡c gi£ xin ÷ñc c£m ìn quþ Th¦y gi¡o, Cæ gi¡o Tê Gi£i t½ch trong KhoaS÷ Ph¤m To¡n håc- Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ït¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp

Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤ntrong lîp Cao håc 20 - Chuy¶n ng nh Gi£i t½ch ¢ cëng t¡c, gióp ï v  ëngvi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do cán h¤n ch¸ v· m°t ki¸n thùc v  thíigian n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât K½nh mong quþ Th¦y Cæ

v  b¤n b± âng gâp þ ki¸n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Vinh, th¡ng 6 n«m 2014

T¡c gi£

Ch֓ng 1

KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n c¦n dòng trongluªn v«n C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch d¨n tø c¡c t i li»u [1] v  [2]

Tªp hñp X còng vîi tæpæ τ tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ v  kþ hi»u

l  (X,τ) hay ìn gi£n l  X

C¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l  iºm cõa khæng gian tæpæ

C¡c ph¦n tû thuëc τ ÷ñc gåi l  tªp mð

Gi£ sû A ⊂ X, tªp A ÷ñc gåi l  âng n¸u X \ A l  mð

Gi£ sû A ⊂ X, hñp cõa hå t§t c£ c¡c tªp mð n¬m trong tªp A ÷ñc gåi l ph¦n trong cõa A; kþ hi»u l  intA

1.1.2 ành ngh¾a Cho khæng gian tæpæ X, tªp con A cõa X ÷ñc gåi l l¥n cªn cõa iºm x ∈ X n¸u tçn t¤i tªp mð V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A

Cho khæng tæpæ X, x ∈ X v  U(x) l  hå t§t c£ c¡c l¥n cªn cõa x HåB(x) ⊂ U (x) ÷ñc gåi l  cì sð lªn cªn t¤i x n¸u vîi méi U ∈ U(x) tçn t¤i

V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U

1.1.3 ành ngh¾a D¢y (xn) trong khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  hëi tötîi x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa x, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho

xn ∈ U vîi måi n > n0.Khi â ta vi¸t xn → x ho°c lim

n→∞xn = x

1.1.4 ành ngh¾a Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  thäa m¢n ti¶n · ¸m

÷ñc thù nh§t n¸u t¤i méi iºm x ∈ X câ mët cì sð l¥n cªn B(x) câ lüc l÷ñng

1.1.5 ành ngh¾a Gi£ sû X, Y l  hai khæng gian tæpæ v  f : X → Y

nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa f(x),tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho f(U) ⊂ V nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n

X, nâi gån l  li¶n töc, n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm x ∈ X

1.1.6 ành ngh¾a Gi£ sû X l  tªp kh¡c réng v  d : X x X → R H m d

÷ñc gåi l  m¶tric tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X

Tªp hñp X còng vîi mët m¶tric tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian m¶tric v 

kþ hi»u l  (X, d) hay ìn gi£n hìn l  X

1.1.7 ành ngh¾a Cho X l  khæng gian m¶tric, mët d¢y (xn) trong X

÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho vîi måi m

v  n > n0 th¼ d(xm, xn) < ε

Måi d¢y hëi tö l  d¢y Cauchy

Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·uhëi tö

Tªp con A ⊂ X ÷ñc gåi l  tªp ¦y õ n¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric c£m sinh,nâi c¡ch kh¡c måi d¢y Cauchy trong A ·u hëi tö tîi iºm thuëc A

Måi tªp con ¦y õ trong khæng gian m¶tric l  tªp âng, måi tªp con ângcõa khæng gian m¶tric ¦y õ l  tªp ¦y õ.

1.1.8 ành ngh¾a Gi£ sû E l  khæng gian vectì tr¶n tr÷íng K = R ho°c

K = C H m p : E → R ÷ñc gåi l  chu©n tr¶n E n¸u thäa m¢n c¡c i·uki»n sau:

(i) p(x) ≥ 0, vîi måi x ∈ E v  p(x) = 0 khi v  ch¿ khi x = 0;

(ii) p(kx) = |k|p(x), vîi måi x ∈ E, vîi måi k ∈ K;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), vîi måi x, y ∈ E

Sè p(x) ÷ñc gåi l  chu©n cõa vectì x ∈ E Ta th÷íng k½ hi»u chu©n cõa x

l  k x k Khæng gian vectì E còng vîi mët chu©n x¡c ành tr¶n nâ ÷ñc gåi l khæng gian ành chu©n

1.1.9 M»nh · N¸u E l  khæng gian ành chu©n th¼ cæng thùc

d(x, y) =k x − y k, ∀x, y ∈ E,x¡c ành mët m¶tric tr¶n E

Ta gåi m¶tric n y l  m¶tric sinh bði chu©n hay m¶tric chu©n

Mët khæng gian ành chu©n v  l  khæng gian m¶tric ¦y õ theo m¶tricsinh bði chu©n ÷ñc gåi l  khæng gian Banach

1.1.10 ành lþ N¸u E l  khæng gian ành chu©n th¼

1.1.12 ành ngh¾a Cho tªp hñp X v  ≤ l  mët quan h» hai ngæi tr¶n

X Quan h» ≤ ÷ñc gåi l  quan h» thù tü bë phªn tr¶n X n¸u thäa c¡c i·uki»n sau:

(i) x ≤ x, ∀x ∈ X;

1.2 NÂN TRONG KHÆNG GIAN BANACH

Möc n y tr¼nh b y mët sè v§n · cì b£n v· nân trong khæng gian Banach

1.2.1 ành ngh¾a ([7]) Cho E l  khæng gian Banach tr¶n tr÷íng sè thüc

R Mët tªp con P cõa E ÷ñc gåi l  nân trong E n¸u:

3) Gi£ sû C[a,b] l  tªp t§t c£ c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc li¶n töc tr¶n [a, b]

Ta bi¸t C[a,b] l  khæng gian Banach vîi chu©n

kf k = sup

x∈[a,b]

|f (x)| , ∀f ∈ C[a,b]

Tr¶n C[a,b] câ quan h» thù tü bë phªn thæng th÷íng ≤ ÷ñc x¡c ành vîi

f, g ∈ C[a,b],

f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]

°t

P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f (x)} ∀x ∈ [a, b].Khi â, P thäa m¢n ba i·u ki»n:

1.2.3 ành ngh¾a Cho P l  mët nân trong khæng gian Banach E Tr¶n

E ta ành ngh¾a quan h» thù tü ” ≤ ” x¡c ành bði P nh÷ sau x ≤ y n¸u v ch¿ n¸u y − x ∈ P Ta vi¸t x < y n¸u x ≤ y v  x 6= y v  vi¸t x  y n¸u

y − x ∈ intP, trong â intP l  ph¦n trong cõa P

1.2.4 ành ngh¾a ([7]) Cho P l  mët nân trong khæng gian Banach E.Nân P ÷ñc gåi l  nân chu©n t­c n¸u tçn t¤i sè thüc K > 0 sao cho vîimåi x, y ∈ E v  0 ≤ x ≤ y ta câ kxk ≤ Kkyk Sè thüc d÷ìng K nhä nh§tthäa m¢n i·u ki»n n y ÷ñc gåi l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P

1.2.5 Bê · ([7]) Gi£ sû P l  nân trong khæng gian Banach E; a, b, c ∈ E,{xn}, {yn} l  c¡c d¢y trong E v  α l  sè thüc d÷ìng Khi â:

(i) N¸u a  b v  b  c th¼ a  c;

(ii) N¸u a ≤ b v  b  c th¼ a  c;

(iii) N¸u a  b, c  d th¼ a + c  b + d;

(iv) αintP ⊂ intP ;

(v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;

(vi) Vîi méi c1 ∈ intP v  c2 ∈ P tçn t¤i d ∈ intP sao cho c1  d v 

c2  d;

(vii) Vîi méi c1, c2 ∈ intP, tçn t¤i e ∈ intP sao cho e  c1 v  e  c2;

(viii) N¸u a ∈ P v  a ≤ x vîi måi x ∈ intP th¼ a = 0;

(ix) N¸u a ≤ λa vîi a ∈ P, 0 < λ < 1 th¼ a = 0;

(x) N¸u 0 ≤ xn ≤ yn vîi méi n ∈ N v  lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y th¼

0 ≤ x ≤ y

Chùng minh (i) V¼ ph²p cëng li¶n töc n¶n intP + intP ⊂ intP N¸u a  b

v  b  c th¼ b − a ∈ intP v  c − b ∈ intP Do â c − a = c − b + b − a ∈intP + intP ⊂ intP Vªy a  c

(ii) Ta câ intP +P = S

x∈P

(x + intP )l  tªp mð v  P l  nân n¶n x+intP ⊂ P

Do â intP + P ⊂ intP N¸u a ≤ b v  b  c th¼ b − a ∈ P v  c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vªy a  c.(iii) Ta câ a  b, c  d n¶n b − a ∈ intP v  d − c ∈ intP Suy ra

b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP Vªy a + c  b + d

(iv) V¼ ph²p nh¥n væ h÷îng li¶n töc n¶n αintP ⊂ intP

(v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP , chån sè tü nhi¶n n > 1 sao cho δ

nkxk < 1.Khi â vîi γ = δ

nkxk thäa 0 < γ < 1 v 

kγxk ≤ kγkkxk ≤ δ

nkxkkxk ≤ nδ < δ.(vi) Chån δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP, trong â B(0, δ) = {x ∈ E :kxk < δ} Do t½nh hót cõa B(0, δ) n¶n tçn t¤i m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ),suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) v  mc1 − c2 ∈ intP °t d = mc1 − c2 Khi â c1  d

v  mc1 − c1 ∈ intP, mc2 − c2 ∈ intP °t e = mc1 − c1 + mc2 − c2 Khi â

1 − λ > 0 Tø â suy ra −a = 1

1 − λa ∈ P hay −a ∈ P Do a v  −a ∈ P , m 

P l  nân n¶n a = 0

(x) V¼ xn ≤ yn n¶n yn − xn ∈ P Do P âng n¶n lim

n→∞(yn − xn) ∈ P M lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y n¶n lim

n→∞(yn − xn) = y − x Tø â suy ra y − x ∈ Phay x ≤ y Ho n to n t÷ìng tü, do 0 ≤ xn n¶n 0 ≤ x Vªy 0 ≤ x ≤ y

1.2.6 Bê · ([7]) Gi£ sû P l  nân trong khæng gian Banach E v  {xn}

l  d¢y trong P Khi â, n¸u xn → 0 th¼ vîi méi c ∈ intP tçn t¤i n0 ∈ N saocho xn  c vîi måi n ≥ n0

Chùng minh Gi£ sû xn l  d¢y trong P v  xn → 0 Vîi méi c ∈ intP , v¼ intP

l  tªp mð n¶n tçn t¤i δ > 0 sao cho c + BE(0, δ) ⊂ intP, trong â BE(0, δ)

l  h¼nh c¦u mð t¥m 0, b¡n k½nh δ trong E Do â n¸u x ∈ E m  kxk < δ th¼

c − x ∈ intP Vîi δ > 0 x¡c ành nh÷ tr¶n, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho

kxnk < δ, ∀n > n0.Suy ra c − xn ∈ intP, ∀n > n0 Do â xn  c, ∀n > n0

1.3 KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN

Trong möc n y ta luæn gi£ thi¸t P l  nân trong khæng gian Banach E saocho intP 6= 0 v  ≤ l  quan h» thù tü bë phªn tr¶n E x¡c ành bði P

1.3.1 ành ngh¾a ([7]) Cho X l  tªp kh¡c réng, d : X × X → E H m

d ÷ñc gåi l  m¶tric nân tr¶n X n¸u thäa c¡c i·u ki»n sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X (b§t ¯ng thùc tam gi¡c).Tªp hñp X còng vîi m¶tric nân d tr¶n X ÷ñc gåi l  khæng gian m¶tric nân

v  kþ hi»u (X, d) ho°c X

Tø ành ngh¾a tr¶n ta nhªn th§y kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân têngqu¡t hìn kh¡i ni»m khæng gian m¶tric, v¼ mët khæng gian m¶tric l  mët khænggian m¶tric nân trong tr÷íng hñp E = R v  P = {x ∈ R : x ≥ 0}

1.3.2 V½ dö ([7]) 1) Cho E = R2 v  P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0} X²t

X = R v  ¡nh x¤ d : X × X → E x¡c ành bði

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|), ∀x, y ∈ X,trong â α, β l  c¡c h¬ng sè khæng ¥m cho tr÷îc

Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc d l  mët m¶tric nân, do â (X, d) l  mët khænggian m¶tric nân

2) Gi£ sû E = C[a,b] v  P l  nân trong V½ dö 1.2.2.3) Ta x¡c ành h m

d : X × X → E x¡c ành bði

d(f, g) = |f − g| ∀f, g ∈ Etrong â |f − g|(x) = |f(x) − g(x)| vîi måi x ∈ [a, b] Khi â d thäa m¢n ba

i·u ki»n

(i) d(f, g) ≥ 0 ∀f, g ∈ E v  d(f, g) = 0 khi v  ch¿ khi f(x) = g(x) vîi måi

x ∈ [a, b], ngh¾a l  f = g

(ii) d(f, g) = d(g, f) = |f − g| vîi måi ∀f, g ∈ E

(iii) Ta câ |f − g| = |f − h + h − g| ≤ |f − h| + |h − g| vîi måi f, g, h ∈ En¶n

d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g) ∀f, g, h ∈ EVªy d l  mët m¶tric nân tr¶n E

1.3.3 ành ngh¾a Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, a ∈ X, c ∈ intP

°t

B(a, c) = {x ∈ X : d(x, a)  c}

v  gåi B(a, c) l  h¼nh c¦u mð t¥m a, b¡n k½nh c °t

F = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G}

1.3.4 M»nh · Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân v  F x¡c ành ð

ành ngh¾a 1.3.3 Khi â:

1) F l  mët tæpæ tr¶n X;

2) B(x, c) ∈ F vîi måi x ∈ X, c ∈ intP ;

3) (X, F) l  T2 -khæng gian;

4) (X, F) thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t

Chùng minh F = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, ∃c ∈ intP : B(x, c) ⊂ U}.

c ∈ intP sao cho c  c1 v  c  c2 Do â ta ÷ñc B(x, c) ⊂ U ∩ V Tø â ta

n¶n d(z, y)  c − d(y, x) Do â d(z, y) + d(y, x)  c, suy

ra d(z, x)  c hay z ∈ B(x, c) Vªy B(y, c0

) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ F

3) Gi£ sû x, y ∈ X m  x 6= y Tø 2) ta suy ra r¬ng º chùng minh(X, F) l  T2- khæng gian, ch¿ c¦n chùng minh tçn t¤i c1, c2 ∈ intP sao choB(x, c1)T B(y, c2) = ∅ Gi£ sû i·u n y khæng óng, tùc l  vîi måi c1, c2 ∈intP ta câ B(x, c1)T B(y, c2) 6= ∅ Khi â, vîi méi c ∈ intP ta câ

B(x, c2n)T B(y, c

2n) 6= ∅.Suy ra tçn t¤i d¢y {zn} ⊂ X sao cho

n ≤ c vîi måi n = 1, 2, n¶n d(x, y)  c Do c l  ph¦n tû b§t k¼ trongintP n¶n theo Bê · 1.2.4 (viii) ta câ d(x, y) = 0 tùc l  x = y i·u n y m¥uthu¨n vîi x 6= y Vªy (X, F) l  T2- khæng gian

4) Gi£ sû x ∈ X Ta c¦n chùng minh t¤i x câ mët cì sð l¥n cªn ¸m ÷ñc.L§y c ∈ intP v  °t

U = {B(x, c

n) : n = 1, 2, }

Hiºn nhi¶n U ⊂ F Gi£ sû V l  mët l¥n cªn b§t k¼ cõa x Khi â tçn t¤i y ∈ intPsao cho B(x, y) ⊂ V V¼ y ∈ intP n¶n tçn t¤i  > 0 sao cho BE(y, ) ⊂ P, vîi

BE(y, ) l  h¼nh c¦u mð t¥m y b¡n k½nh  L§y n ∈ N sao cho n > kck

 Ta câ

ky − (y − nc)k = kck

n < hay y − c

n ∈ BE(y, ) ⊂ P V¼ BE(y, ) l  tªp mð trong E n¶n y − c

Tø ¥y v· sau, n¸u khæng gi£i th½ch g¼ th¶m th¼ tæpæ tr¶n khæng gian m¶tricnân ÷ñc hiºu l  tæpæ F Nh÷ vªy c¡c h¼nh c¦u B(x, c) l  c¡c tªp mð trongkhæng gian m¶tric nân (X, d)

1.3.5 ành ngh¾a ([8]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, d¢y {xn} ⊂

X v  x ∈ X D¢y {xn} ÷ñc gåi l  hëi tö v· x n¸u vîi méi c ∈ intP , tçn t¤i

sè tü nhi¶n N sao cho d(xn, x)  c vîi måi n ≥ n0 K½ hi»u lim

Chùng minh Gi£ sû {xn} ⊂ X Khi â vîi måi c ∈ intP , v¼ B(x, c) l  l¥n cªncõa x n¶n tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho xn ∈ B(x, c) vîi måi n ≥ nc tùc l d(xn, x)  c vîi måi n ≥ nc

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû vîi méi c ∈ intP tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho d(xn, x)  cvîi måi n ≥ nc Gi£ sû U l  l¥n cªn cõa x Khi â, tçn t¤i c0 ∈ intP sao choB(x, c0) ⊂ U Tø â suy ra tçn t¤i nc 0 ∈ N sao cho

xn ∈ B(x, c0) ⊂ U, ∀n ≥ nc0.Nh÷ vªy xn → x ∈ X.

1.3.8 ành ngh¾a ([8]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân D¢y {xn} ⊂

X ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u vîi méi c ∈ intP , tçn t¤i sè tü nhi¶n N saocho d(xm, xn)  c vîi måi m, n > N

1.3.9 M»nh · ([8]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân Khi â, n¸u{xn} l  d¢y hëi tö trong trong (X, d) th¼ nâ l  d¢y Cauchy

Chùng minh Gi£ sû {xn} l  d¢y trong X v  xn → x ∈ X Khi â, vîi måi

0  c ∈ E, tçn t¤i N sao cho d(xn, x)  c

2 vîi måi n > N Khi â vîi måi

1.3.10 Bê · Gi£ sû {xn} l  d¢y Cauchy trong khæng gian m¶tric nân

X Khi â, n¸u {xn} câ d¢y con {xn k} hëi tö tîi x ∈ X th¼ {xn} hëi tö tîi x.Chùng minh Gi£ sû c ∈ intP Tø {xn} l  d¢y Cauchy v  {xn k} hëi tö tîi x,suy ra tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao cho

1.3.11 ành ngh¾a ([8]) Khæng gian m¶tric nân (X, d) ÷ñc gåi l  ¦y

õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·u hëi tö

1.3.12 ành lþ Gi£ sû (X, d), (Y, d) l  hai khæng gian m¶tric nân v 

f : X → Y Khi â, f li¶n töc t¤i a ∈ X khi v  ch¿ khi tø {xn} l  d¢y trong

X, xn → a, k²o theo f(xn) → f (a)

Chùng minh Gi£ sû f li¶n töc t¤i a v  xn l  d¢y trong X sao cho xn → a Gi£

sû V l  l¥n cªn cõa f(a) trong Y Khi â, v¼ f li¶n töc t¤i a n¶n theo ànhngh¾a 1.1.5, tçn t¤i l¥n cªn U cõa a trong X sao cho f(U) ⊂ V V¼ xn → a n¶ntheo ành ngh¾a 1.1.3, tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 sao cho xn ∈ U vîi måi n ≥ n0

n) vîi måi n = 1, 2, v  c

n → 0 khi n → ∞, ¡pdöng Bê · 1.2.5 v  ành lþ 1.3.6 suy ra xn → a Theo gi£ thi¸t cõa i·uki»n õ f(xn) → f (a), i·u n y m¥u thu¨n vîi f(xn) 6∈ B(f (a), y0) vîi måi

n = 1, 2, Vªy f li¶n töc t¤i a

Ch֓ng 2

SÜ TÇN T„I IšM B‡T ËNG V€

IšM B‡T ËNG CHUNG CÕA

CC NH X„ T-CO TRONG

KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN

Ch÷ìng n y tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½ dö v· c¡c ¡nh x¤ T-co v  sü tçn t¤i

iºm b§t ëng v  b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ T-co trong khæng gian m¶tricnân

2.1 MËT SÈ K˜T QUƒ ‚ C V— SÜ TÇN T„I CC IšMB‡T ËNG V€ B‡T ËNG CHUNG CÕA CC NH X„ T-CO

Möc n y tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ trong c¡c t i li»u [8 ,9] v· sü tçn t¤i

iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ T-co

2.1.1 ành ngh¾a ([8]) Cho (M, d) l  khæng gian m¶tric nân v  S, T :

M → M Khi â

(i) T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ hëi tö d¢y con n¸u vîi méi d¢y (yn) m  T (yn) hëi

tö th¼ (yn) câ d¢y con hëi tö

(ii) T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ hëi tö d¢y n¸u vîi méi d¢y (yn) m  T (yn) hëi töth¼ (yn) công hëi tö

(iii) T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ li¶n töc n¸u vîi méi d¢y (xn) m  lim

n→∞xn = x th¼lim

n→∞T xn = T x

(iv) iºm x ∈ M ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa S n¸u Sx = x.

(v) iºm x ∈ M ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng chung cõa S v  T n¸u Sx =

vîi måi x, y ∈ M

K2 - nh x¤ S ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ T co - Chatterjea, (¡nh x¤ T K2-co) n¸u

câ h¬ng sè c ∈ [0,1

2) thäad(T Sx, T Sy) ≤ c[d(T x, T Sy) + d(T y, T Sx)]

vîi måi x, y ∈ M

2.1.3 V½ dö ([8]) Cho E = (C[0,1], R), P = {ϕ ∈ E : ϕ ≥ 0} ⊂ E, M = R

v  d : M × M → E ÷ñc ành ngh¾a bði d(x, y) = |x − y|et, trong â et ∈ E.Khi â (M, d) l  khæng gian m¶tric nân Ta x²t T, S : M → M ÷ñc ànhngh¾a bði T x = x2 v  Sx = x

2 Tø âd(T Sx, T Sy) = |T Sx − T Sy|et = |x

(2) Tçn t¤i v ∈ M sao cho

lim

n→∞T Snx0 = v;

(3) N¸u T l  ¡nh x¤ hëi tö d¢y con th¼ (Snx0) câ d¢y con hëi tö;

(4) Tçn t¤i duy nh§t u ∈ M sao cho

1 − b

n

+ +

b

1 − b

m−1#

d (T x0, T Sx0)

b

Tø â suy ra (T Snx0) l  d¢y Cauchy trong M V¼ M l  khæng gian m¶tric nân

¦y õ n¶n tçn t¤i v ∈ M sao cho

lim

n→∞T Snx0 = v (2.4)B¥y gií, n¸u T l  ¡nh x¤ hëi tö d¢y con th¼ (Snx0) câ d¢y con hëi tö, ngh¾a

l  tçn t¤i u ∈ M v  (xni) sao cho

lim

i→∞Snix0 = u (2.5)V¼ T l  h m li¶n töc n¶n tø (2.5) ta ÷ñc