Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian meetric nón

Khæng gian m¶tric nân.. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ cyclic trong khæng gian m¶tric nân... LÍI NÂI †ULþ thuy¸t iºm b§t ëng l mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quan trång cõagi£i t½ch

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC VINH

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC VINH

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

LÍI NÂI †U 2

Ch÷ìng 1 Khæng gian m¶tric nân .4

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4

1.2 Nân trong khæng gian Banach 8

1.3 Khæng gian m¶tric nân 11

Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ cyclic trong khæng gian m¶tric nân 18

2.1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co cyclic 18

2.2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ cyclic co kiºu Kannan 20

K˜T LUŠN 35

T€I LI›U THAM KHƒO 36

LÍI NÂI †U

Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l  mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quan trång cõagi£i t½ch h m, nâ câ nhi·u ùng döng quan trång trong To¡n håc v  nhi·u ng nhk¾ thuªt kh¡c K¸t qu£ quan trång ¦u ti¶n ph£i kº ¸n trong lþ thuy¸t iºm b§t

ëng l  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric ¦y õ cõa Banach (1922).Ng÷íi ta ¢ mð rëng nguy¶n lþ n y cho nhi·u lo¤i ¡nh x¤ v  nhi·u lîp khænggian kh¡c nhau Mët trong nhúng h÷îng mð rëng â l  ÷a ra kh¡i ni»m ¡nh x¤

co cyclic v  nghi¶n cùu sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa nâ N«m 2003, Krik v  c¡ccëng sü [8] ¢ mð rëng nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach cho lîp ¡nh x¤ tho£ i·u ki»n

co cyclic Sau â, nhi·u nh  To¡n håc ¢ nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëngcõa ¡nh x¤ co cyclic trong khæng gian m¶tric N«m 2007, Huang Long-Guang v Zhang Xian [6] ¢ thay gi£ thi¸t h m m¶tric nhªn gi¡ trà trong tªp c¡c sè thückhæng ¥m bði nhªn gi¡ trà trong mët nân ành h÷îng trong khæng gian Banach v 

÷a ra kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân Sau â, nhi·u nh  To¡n håc ¢ nghi¶ncùu v  ¤t nhi·u k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tricnân

Mët v§n · ÷ñc °t ra mët c¡ch tü nhi¶n l  c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºmb§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ cyclic trong khæng gian m¶tric câ cán óng cho tr÷ínghñp khæng gian m¶tric nân núa hay khæng?

º tªp d÷ñt nghi¶n cùu khoa håc, º t¼m hiºu v· lþ thuy¸t iºm b§t ëngchóng tæi ti¸p cªn v§n · n y º nghi¶n cùu c¡c ¡nh x¤ kiºu cyclic v  c¡c i·uki»n º ¡nh x¤ cyclic tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân, t¼mc¡ch mð rëng mët sè k¸t qu£ v· iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ cyclic trong khænggian m¶tric cho khæng gian m¶tric nân

Vîi möc ½ch â luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y th nh hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Khæng gian m¶tric nân

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v  mët sè t½nh ch§tcõa nân v  khæng gian m¶tric nân m  chóng ÷ñc dòng trong ch÷ìng 2.

Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ cyclic trong khænggian m¶tric nân

¥y l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Trong ch÷ìng n y chóng tæi mð rëngmët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ tho£ m¢n i·u ki»n

co cyclic v  c¡c ¡nh x¤ cyclic co kiºu Kannan trong khæng gian m¶tric ¢ ÷ñctr¼nh b y trong c¡c t i li»u tham kh£o [2,5,7,8,9,10] Chóng tæi ÷a ra v  chùngminh mët sè k¸t qu£ mîi â l  Bê · 2.1.2, c¡c ành lþ 2.1.3, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.7

v  c¡c H» qu£ 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªnt¼nh, chu ¡o cõa Th¦y gi¡o, PGS.TS inh Huy Ho ng T¡c gi£ xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n Th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m

ìn Ban chõ nhi»m pháng Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n v  c£m ìn c¡cquþ Th¦y, Cæ gi¡o Tê Gi£i t½ch trong Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ nhi»tt¼nh gi£ng d¤y, gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp v  ho n th nh ·c÷ìng, luªn v«n n y Cuèi còng, t¡c gi£ xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤nb±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc kho¡ 20, chuy¶n ng nh Gi£i t½ch ¢gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤nch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡cth¦y, cæ gi¡o v  c¡c b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Ngh» An, th¡ng 5 n«m 2014

T¡c gi£

CH×ÌNG 1KHÆNG GIAN M–TRIC NÂN

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n c¦n dòng trong luªn v«n.1.1.1 ành ngh¾a ([4]) Cho tªp hñp X Hå τ c¡c tªp con cõa X ÷ñc gåi l tæpæ tr¶n X n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»n

(T1) ∅ v  X ∈ τ;

(T2) N¸u Gi ∈ τ, i ∈ I th¼ S

i∈I

Gi ∈ τ;(T3) N¸u G1, G2 ∈ τ th¼ G1

T

G2 ∈ τ.Tªp hñp X còng vîi tæpæ τ tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ v  k½ hi»u l (X, τ) hay ìn gi£n hìn l  X

C¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l  iºm cõa khæng gian tæpæ

C¡c ph¦n tû thuëc τ ÷ñc gåi l  tªp mð

Gi£ sû A ⊂ X Tªp A ÷ñc gåi l  âng n¸u X \ A l  mð

1.1.2 ành ngh¾a ([4]) Cho khæng gian tæpæ X, tªp con A cõa X ÷ñc gåi l l¥n cªn cõa iºm x ∈ X n¸u tçn t¤i tªp mð V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A

Cho khæng gian tæpæ X, x ∈ X v  U(x) l  hå t§t c£ c¡c l¥n cªn cõa x HåB(x) ⊂ U (x) ÷ñc gåi l  cì sð l¥n cªn t¤i x n¸u vîi måi U ∈ U(x) tçn t¤i

V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U

1.1.3 ành ngh¾a ([3]) D¢y {xn} trong khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  hëi tötîi iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa x tçn t¤i n0 ∈ N sao cho

xn ∈ U vîi måi n ≥ n0.Khi â, ta vi¸t xn → x ho°c lim

1.1.4 ành ngh¾a ([4]) Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  tho£ m¢n ti¶n · ¸m

÷ñc thù nh§t n¸u t¤i méi iºm x ∈ X câ mët cì sð l¥n cªn B(x) câ lüc l÷ñng

¸m ÷ñc

Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l  T2- khæng gian hay khæng gian Haus-dorff n¸uhai iºm b§t ký x, y ∈ X, x 6= y tçn t¤i c¡c l¥n cªn t÷ìng ùng Ux, Uy cõa x, ysao cho Ux∩ Uy = ∅

N¸u X l  khæng gian Hausdorff th¼ méi d¢y trong X m  hëi tö th¼ hëi tö tîimët iºm duy nh§t

1.1.5 ành ngh¾a ([4]) Gi£ sû X, Y l  hai khæng gian tæpæ v  f : X → Y ¡nhx¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa f(x), tçn t¤il¥n cªn U cõa x sao cho f(U) ⊂ V ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc tr¶n X (nâi gån

l  li¶n töc) n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm cõa X

1.1.6 ành ngh¾a ([3]) Gi£ sû X l  tªp kh¡c réng v  d : X × X −→ R H m d

÷ñc gåi l  m¶tric tr¶n X n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y ;

(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X

Tªp hñp X còng vîi mët m¶tric tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian m¶tric v  kþhi»u (X, d) hay ìn gi£n hìn l  X

1.1.7 ành ngh¾a ([3]) Cho X l  khæng gian m¶tric Mët d¢y {xn} trong X

÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N sao cho vîi måi

n, m ≥ n0 th¼ d(xn, xm) < ε

Måi d¢y hëi tö l  d¢y Cauchy

Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·uhëi tö

Tªp con A ⊂ X ÷ñc gåi l  tªp ¦y õ n¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric c£m sinh,nâi c¡ch kh¡c måi d¢y Cauchy trong A ·u hëi tö tîi iºm thuëc A

Måi tªp con ¦y õ trong khæng gian m¶tric l  tªp âng, måi tªp con ângcõa mët khæng gian m¶tric ¦y õ l  tªp ¦y õ

1.1.8 ành ngh¾a ([3]) Cho X l  khæng gian m¶tric Tªp A ⊂ X ÷ñc gåi l tªp comp«c n¸u måi d¢y {xn} trong A ·u câ mët d¢y con {xn k} hëi tö ¸n mët

iºm thuëc A

1.1.9 ành ngh¾a ([3]) ¡nh x¤ f : (X, d) → (Y, ρ) tø khæng gian m¶tric (X, d)

v o khæng gian m¶tric (Y, ρ) ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ co n¸u tçn t¤i α ∈ [0, 1] sao choρ(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) vîi måi x, y ∈ X

1.1.10 ành lþ ([3]) Gi£ sû (X, d) l  khæng gian m¶tric ¦y õ, f : X → X

l  ¡nh x¤ co tø X v o ch½nh nâ Khi â, tçn t¤i duy nh§t iºm x∗ ∈ X sao cho

1.1.12 M»nh · ([3]) N¸u E l  khæng gian ành chu©n th¼ cæng thùc

d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ E

x¡c ành mët m¶tric tr¶n E

Ta gåi m¶tric n y l  m¶tric sinh bði chu©n hay m¶tric chu©n

Mët khæng gian ành chu©n v  l  khæng gian m¶tric ¦y õ theo m¶tric sinhbði chu©n ÷ñc gåi l  khæng gian Banach

1.1.13 ành lþ ([3]) N¸u E l  khæng gian inh chu©n th¼

¡nh x¤ chu©n: x 7→ kxk, ∀x ∈ E;

ph²p cëng: (x, y) 7→ x + y, ∀(x, y) ∈ E × E;

v  ph²p nh¥n vîi væ h÷îng: (λ, x) 7→ λx, ∀(λ, x) ∈ K× E l  c¡c ¡nh x¤ li¶ntöc

1.1.14 ành lþ ([3]) Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n Khi â, vîi méi a ∈ E

(ii) Tø x ≤ y v  y ≤ x suy ra x = y vîi måi x, y ∈ X;

(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z vîi måi x, y, z ∈ X

Tªp hñp X còng vîi mët thù tü bë phªn tr¶n nâ ÷ñc gåi l  tªp s­p thù tü bëphªn v  k½ hi»u (X, ≤) ho°c X

1.1.16 ành ngh¾a ([4]) Gi£ sû ≤ l  mët quan h» hai ngæi tr¶n X v  A ⊂ X.1) Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc gåi l  cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A n¸u a ≤ x(t÷ìng ùng x ≤ a) vîi måi ph¦n tû a ∈ A

2) Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc gåi l  cªn tr¶n óng (t÷ìng ùng cªn d÷îi óng) cõa

A n¸u x công l  mët cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A v  n¸u y công l  mëtcªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A th¼ x ≤ y (t÷ìng ùng y ≤ x) Khi â, ta k½hi»u x = sup A ( t÷ìng ùng x = inf A )

1.2 Nân trong khæng gian Banach

Möc n y tr¼nh b y mët sè v§n · cì b£n v· nân trong khæng gian Banach.1.2.1 ành ngh¾a ([6]) Cho E l  khæng gian Banach tr¶n tr÷íng sè thüc R.Mët tªp con P cõa E ÷ñc gåi l  nân trong E n¸u:

(i) P l  âng, P 6= ∅, P 6= {0};

(ii) Vîi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 v  x, y ∈ P th¼ ax + by ∈ P ;

(iii) N¸u x ∈ P v  −x ∈ P th¼ x = 0

1.2.2 V½ dö 1) Trong khæng gian Banach c¡c sè thücR vîi chu©n thæng th÷íng,tªp P = {x ∈ R : x ≥ 0} l  mët nân.

2) Gi£ sû E = R2, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi â, P tho£ m¢n ba

3) Gi£ sû C[a,b] l  tªp t§t c£ c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc li¶n töc tr¶n [a, b]

Ta ¢ bi¸t C[a,b] l  khæng gian Banach vîi chu©n

1.2.3 ành ngh¾a ([6]) Cho P l  mët nân trong khæng gian Banach E.

Nân P ÷ñc gåi l  nân chu©n t­c n¸u tçn t¤i sè thüc K > 0 sao cho vîi måi

x, y ∈ E v  0 ≤ x ≤ y ta câ kxk ≤ Kkyk Sè thüc K nhä nh§t tho£ m¢n i·uki»n n y ÷ñc gåi l  h¬ng sè chu©n t­c cõa P

1.2.4 Bê · ([6]) Gi£ sû P l  mët nân trong khæng gian Banach E; a, b, c ∈E; {xn}, {yn} l  c¡c d¢y trong E v  α l  sè thüc d÷ìng Khi â,

(i) N¸u a  b v  b  c th¼ a  c;

(ii) N¸u a ≤ b v  b  c th¼ a  c;

(iii) N¸u a  b v  c  d th¼ a + c  b + d;

(iv) αintP ⊂ intP ;

(v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;

(vi) Vîi méi c1 ∈ intP v  c2 ∈ P tçn t¤i d ∈ intP sao cho c1  d v 

c2  d;

(vii) Vîi méi c1, c2 ∈ intP tçn t¤i e ∈ intP sao cho e  c1 v  e  c2;

(viii) N¸u a ∈ P v  a ≤ x vîi måi x ∈ intP th¼ a = 0;

(ix) N¸u a ≤ λa vîi a ∈ P, 0 < λ < 1 th¼ a = 0;

(x) N¸u 0 ≤ xn ≤ yn vîi méi n ∈ N v  lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = yth¼ 0 ≤ x ≤ y

Chùng minh (i) V¼ ph²p cëng li¶n töc n¶n intP + intP ⊂ intP N¸u a  b v 

b  cth¼ b−a ∈ intP v  c−b ∈ intP Suy ra c−a = c−b+b−a ∈ intP +intP ⊂intP Vªy a  c

(iv) V¼ ph²p nh¥n væ h÷îng li¶n töc n¶n αintP ⊂ intP

(ii) º þ r¬ng intP + P = S

x∈P

(x + intP ) l  tªp mð v  P l  nân n¶n suy ra

x + intP ⊂ P Do â P + intP ⊂ intP N¸u a ≤ b v  b  c th¼ b − a ∈ P v 

c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vªy a  c

(iii) Ta câ a  b v  c  d n¶n b − a ∈ intP v  d − c ∈ intP suy ra

b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP Do â a + c  b + d

(v) Vîi méi δ > 0 v  x ∈ intP chån sè tü nhi¶n n > 1 sao cho δ

nkxk < 1 Khi

c1 ∈ mB(0, δ0), c2 ∈ mB(0, δ0) suy ra suy ra −c1 ∈ mB(0, δ0), −c2 ∈ mB(0, δ0) v 

mc1 − c1 ∈ intP, mc2 − c2 ∈ intP °t e = mc1 − c1 + mc2 − c2 Khi â, e tho£m¢n (vii)

(viii) Gi£ sû x ∈ intP Tø gi£ thi¸t suy ra a ≤ x

n vîi måi n = 1, 2, do â

n − a

⊂ P v  P âng trong E n¶n −a ∈ P Nh÷ vªy, a v 

−a ∈ P V¼ P l  nân n¶n a = 0

(ix) V¼ a ≤ λa n¶n λa − a ∈ P hay (λ − 1)a ∈ P Do 0 < λ < 1 n¶n 1 − λ > 0

Tø â suy ra −a = 1

1−λa ∈ P hay −a ∈ P Nh÷ vªy, a v  −a ∈ P V¼ P l  nânn¶n a = 0

(x) Ta câ xn ≤ yn suy ra yn− xn ∈ P Do P âng n¶n limn→∞(yn− xn) ∈ P M°tkh¡c, limn→∞xn = x, lim

n→∞yn = y n¶n limn→∞(yn − xn) = y − x Tø â suy ra y −x ∈ P ,

do â x ≤ y Ho n to n t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta chùng minh ÷ñc tø 0 ≤ xn suy

ra 0 ≤ x Vªy 0 ≤ x ≤ y

1.2.5 Bê · ([6]) Gi£ sû P l  nân trong khæng gian Banach E v  {xn} l  d¢ytrong P Khi â, n¸u xn → 0 th¼ vîi méi c ∈ intP tçn t¤i n0 ∈ N sao cho xn  cvîi måi n ≥ n0

Chùng minh Gi£ sû {xn} l  d¢y trong P v  xn → 0 Vîi måi c ∈ intP , v¼ intP

l  tªp mð n¶n tçn t¤i δ > 0 sao cho c + BE(0, δ) ⊂ intP, trong â BE(0, δ) l h¼nh c¦u mð t¥m 0, b¡n k½nh δ trong E Do â, n¸u x ∈ E m  kxk < δ th¼

c − x ∈ intP Vîi δ > 0 x¡c ành nh÷ tr¶n tçn t¤i n0 ∈ N sao cho

kxnk < δ ∀n > n0

Suy ra c − xn ∈ intP vîi måi n > n0 Do â xn  c vîi måi n ≥ n0.

1.3 Khæng gian M¶tric nân

Trong möc n y, ta luæn gi£ thi¸t P l  nân trong khæng gian Banach E sao chointP 6= 0 v  ≤ l  quan h» thù tü bë phªn tr¶n E x¡c ành bði P

1.3.1 ành ngh¾a ([6]) Cho X l  tªp kh¡c réng, v  d : X × X −→ E H m d

÷ñc gåi l  m¶tric nân tr¶n X n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v  d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y ;

(ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X

Tªp hñp X còng vîi mët m¶tric nân d tr¶n nâ ÷ñc gåi l  khæng gian m¶tricnân v  kþ hi»u (X, d) hay ìn gi£n hìn l  X

Tø ành ngh¾a tr¶n ta nhªn th§y, kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric nân têngqu¡t hìn kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric, bði v¼ méi mët khæng gian m¶tric l mët khæng gian m¶tric nân trong tr÷íng hñp E = R v  P = {x ∈ R : x ≥ 0}.1.3.2 V½ dö 1) Cho E = R2 v  P = {(x, y) ∈R2 : x, y ≥ 0} X²t X =R v  ¡nhx¤ d : X × X −→ E x¡c ành bði

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|), ∀x, y ∈ X,

trong â α, β l  c¡c h¬ng sè khæng ¥m cho tr÷îc

Khi â, ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc d l  mët m¶tric nân Do â (X, d) l  mëtkhæng gian m¶tric nân

2) Gi£ sû E = C[a,b] v  P l  nân trong v½ dö (1.2.2.3) Ta x¡c ành h m

d : E × E −→ E bði

d(f, g) = |f − g| ∀f, g ∈ E,trong â |f − g|(x) = |f(x) − g(x)| vîi måi x ∈ [a, b] Khi â, d tho¢ m¢n ba i·uki»n

(i) 0 ≤ d(f, g) vîi måi f, g ∈ E v  d(f, g) = 0 khi v  ch¿ khi f(x) = g(x) vîimåi x ∈ [a, b] ngh¾a l  f = g;

(ii) Ta câ d(f, g) = d(g, f) = |f − g|, vîi måi f, g ∈ E;

(iii) Ta câ |f − g| = |f − h + h − g| ≤ |f − g| + |h − g| vîi måi f, g, h ∈ E n¶n

d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ E

Vªy d l  mët m¶tric nân tr¶n E

1.3.3 ành ngh¾a ([6]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân, a ∈ X, c ∈ intP

2) Gi£ sû y ∈ B(x, c) Khi â, v¼ d(x, y)  c n¶n c − d(x, y) ∈ intP °t

c0 = c−d(x, y), ta s³ chùng minh B(y, c0) ⊂ B(x, c) Thªt vªy, vîi måi z ∈ B(y, c0)

ta câ d(z, y)  c0 n¶n d(z, y)  c − d(x, y) Do â theo Bê · (1.2.4) ta câd(z, y)+d(y, x)  c Theo ành ngh¾a 1.3.1 ta suy ra d(z, x)  c hay z ∈ B(x, c).Vªy B(y, c0) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ =.

3) Gi£ sû x, y ∈ X m  x 6= y Tø 2) suy ra r¬ng, º chùng minh (X, =) l  T2−Khæng gian ch¿ c¦n chùng tä tçn t¤i c1, c2 ∈ intP sao cho B(x, c1) ∩ B(x, c2) = ∅.Gi£ sû i·u n y khæng óng, tùc l  vîi måi c1, c2 ∈ intP ta câ B(x, c1)∩B(x, c2) 6=

∅ Khi â, vîi méi c ∈ intP ta câ

B(x, c2n) ∩ B(x,

c2n) 6= ∅, n = 1, 2

Tø â suy ra tçn t¤i d¢y {zn} ⊂ X sao cho

zn ∈ B(x, c

2n) ∩ B(x,

c2n), n = 1, 2

4) Gi£ sû x ∈ X Ta c¦n chùng minh t¤i x câ mët cì sð l¥n cªn ¸m ÷ñc.L§y c ∈ intP v  °t

n ∈ BE(y, ε) ⊂ P V¼ BE(y, ε) l  tªp mð trong E n¶n y − c

Nh÷ vªy, U l  cì sð l¥n cªn t¤i x (èi vîi tæpæ =) Hiºn nhi¶n U ¸m ÷ñc Vªy(X, =) l  khæng gian tho¢ m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t.

Tø ¥y v· sau, n¸u khæng gi£i th½ch g¼ th¶m th¼ tæpæ tr¶n khæng gian m¶tricnân ÷ñc hiºu l  tæpæ = Nh÷ vªy, c¡c h¼nh c¦u B(x, c) l  c¡c tªp mð trongkhæng gian m¶tric nân (X, d)

Tø ành lþ 1.3.4 muc 3 ta câ h» qu£ sau

1.3.5 H» qu£ ([6]) Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân N¸u d¢y {xn} ⊂ Xhëi tö tîi x v  y th¼ x = y

1.3.6 ành lþ Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân, d¢y {xn} ⊂ X Khi

â, xn → x ∈ X khi v  ch¿ khi vîi méi c ∈ intP tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao chod(x, xn)  c vîi måi n ≥ nc

Chùng minh Gi£ sû xn → x ∈ X Khi â, vîi måi c ∈ intP , v¼ B(x, c) l  l¥ncªn cõa x (M»nh · 1.3.4) n¶n tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho xn ∈ B(x, c) vîimåi n ≥ nc, tùc l  d(x, xn)  c vîi måi n ≥ nc

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû vîi méi c ∈ intP tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho d(x, xn)  cvîi måi n ≥ nc Gi£ sû U l  l¥n cªn cõa x Khi â, tçn t¤i c0 ∈ intP sao choB(x, c0) ⊂ U Tø â, suy ra tçn t¤i nc0 ∈ N sao cho

xn ∈ B(x, c0) ⊂ U ∀n ≥ nc0.Nh÷ vªy xn → x

1.3.7 ành ngh¾a ([6]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric nân D¢y {xn} ⊂ X

÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u vîi måi c ∈ intP , tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao chod(xm, xn)  c vîi måi m, n > N

1.3.8 M»nh · ([6]) Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric nân Khi â, n¸u{xn} l  d¢y hëi tö trong (X, d) th¼ nâ l  d¢y Cauchy

Chùng minh G¿a sû {xn} l  d¢y trong X v  xn → x ∈ X Khi â, vîi måi

0  c ∈ E tçn t¤i N sao cho d(xn, x)  c2 vîi måi n > N Tø â, vîi måi

Suy ra {xn} l  d¢y Cauchy.

1.3.9 Bê · ([6]) Gi£ sû {xn} l  d¢y Cauchy trong khæng gian m¶tric nân X.Khi â, n¸u {xn} câ d¢y con {xn k} hëi tö tîi x ∈ X th¼ {xn} hëi tö tîi x

Chùng minh Gi£ sû c ∈ intP Khi â, tø d¢y {xn} l  d¢y Cauchy v  {xnk} hëi

tö tîi x suy ra tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 sao cho

1.3.11 ành lþ ([6]) Gi£ sû (X, d), (Y, d) l  hai khæng gian m¶tric nân v  f :

X → Y Khi â, f li¶n töc t¤i a ∈ X khi v  ch¿ khi tø {xn} l  d¢y trong X,

xn → a k²o theo f(xn) → f (a)

Chùng minh Gi£ sû f li¶n töc t¤i a v  {xn} l  d¢y trong X sao cho xn → a Tac¦n chùng tä f(xn) → f (a) Gi£ sû V l  l¥n cªn cõa f(a) trong Y Khi â, v¼ fli¶n töc t¤i a n¶n theo ành ngh¾a 1.1.5, tçn t¤i l¥n cªn U cõa a trong X sao cho

f (U ) ⊂ V V¼ xn → a n¶n theo ành ngh¾a 1.1.3, tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 sao cho

xn ∈ U vîi måi n ≥ n0 Tø â suy ra

f (xn) ∈ f (U ) ⊂ V ∀n ≥ n0

Do â f(xn) → f (a)

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tø {xn} l  d¢y trong X, xn → a k²o theo f(xn) → f (a) Tac¦n chùng tä f li¶n töc t¤i a.

Gi£ sû f khæng li¶n töc t¤i a Khi â, tø M»nh · 1.3.4 v  ành ngh¾a 1.1.5suy ra tçn t¤i y0 ∈ intP sao cho vîi måi c ∈ intP ·u câ

f (B(a, c)) 6⊂ B(f (a), y0)

Tø â suy ra r¬ng vîi méi n = 1, 2, tçn t¤i xn ∈ B(a,nc) sao cho f(xn) /∈B(f (a), y0) Tø xn ∈ B(a,nc) vîi måi n = 1, 2, v  c

n → 0 khi n → ∞ Sû döng

Bê · 1.2.5 v  ành lþ 1.3.6 suy ra xn → a Theo gi£ thi¸t cõa i·u ki»n õ

f (xn) → f (a) i·u n y m¥u thu¨n vîi f(xn) /∈ B(f (a), y0) vîi måi n = 1, 2, Vªy f li¶n töc t¤i a