dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

HỒ CHÍ MINH LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 4601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

  

LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT

ĐỘNG CHUNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 4601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 0

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I 3

KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Bổ đề 1.1 3

1.2 Không gian mêtric 3

Định nghĩa 1.2 3

Bổ đề 1.3 3

Định nghĩa 1.4 4

Định lý 1.5 4

1.3 Không gian Banach lồi đều 6

Định nghĩa 1.6 6

Bổ đề 1.7 6

CHƯƠNG II 7

ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU 7

2.1 Các định nghĩa 7

Định nghĩa 2.1 7

Định nghĩa 2.2 7

Định nghĩa 2.3 7

Định nghĩa 2.5 8

Định nghĩa 2.6 8

2.2 Định lý 2.7 8

2.3 Định lý 2.8 10

2.4 Định lý 2.9 12

2.5 Hệ quả 2.10 14

2.6 Hệ quả 2.11 14

2.7 Định lý 2.12 15

2.8 Định lý 2.13 16

2.9 Định lý 2.14 17

2.10 Hệ quả 2.15 18

2.11 Định lý 2.16 19

CHƯƠNG III 23

LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 23

3.1 Các định nghĩa 23

Định nghĩa 3.1 23

Định nghĩa 3.2 23

Định nghĩa 3.3 23

Định nghĩa 3.4 23

Định nghĩa 3.5 24

Định nghĩa 3.6 24

3.2 Định lý 3.7 24

3.3 Định lý 3.8 24

3.4 Định lý 3.9 25

3.5 Ánh xạ loại (A) 25

3.6 Ánh xạ loại (B) 26

3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn 26

3.8 Bổ đề 3.10 27

3.9 Bổ đề 3.11 29

3.10 Định lý 3.12 36

3.11 Định nghĩa 3.13 38

3.12 Định lý 3.14 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

L ỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ HOÀN HÓA – người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh

Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học cùng toàn thể quý Thầy

Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã giảng dạy và tạo điều kiện tốt cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những điều sai sót, rất được mong sự góp của quý Thầy Cô và Bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa

L ỜI NÓI ĐẦU

Định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric đã được trình bày bởi nhiều tác giả trên các bài: A Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping, Southwest J Pure Appl Math; A Djoudi and L Nisse, Gregus type fixed points for weakly compatiple mappings, Bull Belg Math Soc Simon Stevin;

M Imdad and J Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E A Property, Acta Math Sin; …

Cách lập một dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của một họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều cũng được nghiên cứu bởi nhiều tác giả qua các bài: B E Rhoades, Fixed point iteration for certain nonlinear mapping, J Math Anal Appl; N Shahzad and A Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and Applicatoins; H K Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal;

Luận văn này là sự trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về định lý điểm bất động chung duy nhất của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric và cách lập một dãy lặp hội tụ về điểm bất động chung của

họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều

Luận văn sẽ được trình bày trong ba chương:

Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của dãy số thực, không gian mêtric, không gian Banach lồi đều và sử dụng cho việc chứng minh trong các chương sau

Chương II ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU

Xây dựng điều kiện đủ để các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric có điểm bất động chung duy nhất

Chương III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ

N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN

Cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều

CHƯƠNG I

KI ẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 B ổ đề 1.1

Cho các dãy số thực không âm { } { } { }α ∞1, β ∞1, ∞1

1.2 Không gian mêtric

Bên cạnh những kiến thức quan trọng đã được nghiên cứu trong quá trình học đại học về không gian mêtric, trong phần này sẽ nhắc lại một số định nghĩa sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn

= Do A là compact nên { }x n có dãy con hội tụ tới

a∈A (không mất tính tổng quát ta có thể xem dãy con đó chính là dãy { }x n ) Khi đó ( ) ( ), , lim ( ) ( ) ( )n, , ,

Ngoài ra trên không gian siêu mêtric ta định nghĩa:

để chỉ các ánh xạ f g X, : → X; các ký hiệu F G, để chỉ các ánh xạ đa trị F G X, : →℘fb( )X và fx= f x( ), Fx=F x( ).

Hai ánh xạ f g, được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu f g, giao hoán

và tồn tại x∈X sao cho fx=gx

Định nghĩa 2.4

Hai ánh xạ f F, được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn tại x∈X

ϕ  + →  hàm thực thỏa những điều kiện sau:

( )ϕ 1 : ϕ không tăng với các biến t4 và t5

Chứng minh f, g, F và G có điểm bất động chung Thật vây, vì các cặp

{ }f F, và { }g G, là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại

,

u v∈X sao cho fu∈Fu gv, ∈Gv, fFu⊆Ffu và gGv⊆Ggv

Trước tiên ta chứng minh fu=gv

gv=g v hay fu= gv là điểm bất động của g.

Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G Do

Đồng thời theo ( )ϕ 1 ta có: ϕ(d f g( ω ω , ' ,0,0,) d f g( ω ω , ' ,) (d f gω ω , ') ) < 0 , kết hợp với ( )ϕ 2 thì ϕ(d f g( ω ω , ' ,0,0,) d f g( ω ω , ' ,) (d f gω ω , ') ) ≥ 0 với d f( ω ω ,g ')> 0

ϕ  + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau:

( )ϕ 1 : ϕ không tăng với các biến t5 và t6

( )ϕ 2 : ϕ(t t', ,0,0, ,t t)≥ 0 , ∀ >t 0 Nếu với mọi x,y X∈ sao cho

Tiếp theo, ta chứng minh 2

f u= fu Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được:

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được 2

g v=gv hay gv là điểm bất động của g

Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G Do

Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất Đặt fu= ω và ω ' là điểm bất

động khác của f, g, F, G Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau:

Mặt khác theo điều kiện ( )ϕ 1 ta được:

ϕ  + →  là hàm thực thỏa các điều kiện sau:

( )ϕ 1 : ϕ không giảm với biến t1 ,không tăng với các biến t5 và t6

( )ϕ 2 : ϕ(t t, ,0,0, ,t t)≥ 0 , ∀ >t 0 Nếu với mọi x,y X∈ sao cho

Mặt khác theo điều kiện ( )ϕ 1 ta cũng có:

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có 2

g v=gv= fu hay fu là điểm bất động của g.

Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g Ta có:

Mặt khác theo điều kiện ( )ϕ 1 ta được:

( )ϕ 1 : ϕ không giảm với biến t1 và không tăng với các biến t5 và t6

( )ϕ 2 : ϕ(t t, ,0,0, ,t t)≥ 0 , ∀ >t 0

( )ϕ 3 :ϕ δ( (Fx Fy d fx fy d fx Fx d fy Fy d fx Fy d fy Fx, ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) )< 0, với mọi

,

x y X∈ và max{d fx fy d fx Fx d fy Fy >( , ) (, , ) (, , ) } 0 Khi đó f và F có điểm bất động chung duy nhất

Chứng minh

Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f = g và F =G

2.6 Hệ quả 2.11

Cho f X: → Xlà ánh xạ, F G X → ℘, : fb là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao cho cặp { }f F, và { }f G, tương thích yếu ngẫu nhiên ( )6

:

ϕ  + →  là hàm thực thỏa các điều kiện:

( )ϕ 1 : ϕ không giảm với biến t1, không tăng với các biến t5 và t6

( )ϕ 2 : ϕ(t t, ,0,0, ,t t)≥ 0 , ∀ >t 0

( )ϕ 3 :ϕ δ( (Fx Gy d fx fy d fx Fx d fy Gy d fx Gy d fy Fx, ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) ) < 0, với mọi x y X, ∈ và max{d fx fy d fx Fx d fy Gy >( , ) (, , ) (, , ) } 0 Khi đó f , F và G có điểm bất động chung duy nhất

Chứng minh

Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f =g.

2.7 Định lý 2.12

Cho f X: → Xlà ánh xạ, F G X → ℘, : fb là ánh xạ đa trị sao cho cặp { }f F,

và { }f G, tương thích yếu ngẫu nhiên ψ :  + →  + là hàm không tăng sao cho, với mỗi t > 0 , ψ ( )t <t và thỏa điều kiện:

Chứng minh hoàn toàn tương tự cho ánh xạ g ta cũng có 2

ffu= fu=gv=ggv=gfu fu= f u∈ fFu⊂Ffu Từ đây ta có: fu∈Ffu và

fu=gfu∈Gfu hay fu là điểm bất động của F, G

Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất Đặt fu= ω và ω ' là điểm bất động khác của f, g, F, G Khi đó ta có: d(ω ω , ')=d f( ω ω ,g ')≤ δ(Fω ω ,G ') Theo điều kiện (2.15.1) ta có:

Cho f X: → X là ánh xạ, F G X → ℘, : fb là ánh xạ đa trị sao cho cặp { }f F, và

{ }f G, tương thích yếu ngẫu nhiên Từ u v X, ∈ sao cho

với mỗi t > 0 , ψ ( )t <t và thỏa điều kiện:

x y X∈ , 0 ≤ ≤a 1 , p ≥ 1 Nếu fu gv= là điểm bất động của f và g thì fu là

điểm bất động chung của f, g, F và g Đồng thời Fu = Gv

ψ  + →  + là hàm không tăng sao cho với mỗi t > 0 , ψ ( )t < t. Các cặp { }f F,

và { }f G, tương thích yếu ngẫu nhiên thỏa điều kiện:

α + β + γ < Nếu các cặp { }f F, và { }g G, là tương thích yếu

ngẫu nhiên thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động trong

hợp với các điều kiện (2.18.1), (2.18.2) cho ta kết quả:

g v=gv= fu hay fulà điểm bất động của g.

Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F, G Ta có:

2

,

ffu= fu=gv=ggv=gfu fu= f u∈ fFu⊂Ffu Từ đây ta có:

fu∈Ffu và fu=gfu∈Gfu hay fu là điểm bất động của F, G

Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất Đặt fu= ω và giả sử ω ' là điểm

bất động thứ hai của các ánh xạ f g F G, , , sao cho ω ω ≠ ' Khi đó chúng ta có:

( , ') ( , ') ( , ')

d ω ω =d fω ωf ≤ δ Fω ωG Vì d(ω ω , ')> 0 sử dụng điều kiện (2.18.1)

và giả thiết về Φ ta được kết quả:

CHƯƠNG III

L ẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM

Định nghĩa 3.5

Ánh xạ T được gọi là liên tục Holder đều nếu tồn tại các số dương L và α

sao cho T x n − T y n ≤ L x − y α với mọi x y K n, ∈ , ≥ 1

Để chứng minh T là ánh xạ liên tục Holder đều ta cần chỉ ra sự tồn tại các

số dương L và α sao cho T x n − T y n ≤ L x − y α với mọi x y K n, ∈ , ≥ 1 Thật vậy, vì T là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho

t t t Lt và ϕ( x−y )=L x−yα Dựa vào điều kiện liên tục

Tức là T là ánh xạ thoả điều kiện loại (A)

3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn

Với T: K →K là ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ; { }( ) 1 { }( )

α + β + γ = ∈ , và K là tập con khác rỗng, đóng và lồi của

không gian định chuẩn X

1 ( )

N i i

ax sup i : 1,2, ,

n n

(1) (1) (1) (1) ( αn βn )(1 r x n) n p γn u n p

(1) (1 r x n) n p t n

( )

(3) (3) (3) (2) (3)

(3) (3) (3) (2) (3) (3) (3)

(3) (3) (3) (3) 3 (3) (2) (3) (3)

(1 ) (1 )

n

r sao cho

1 n

n r

φ −liên tục; { }x n được định nghĩa trong (1.6) với giới hạn ∞ γ( )

N i i

N i i

→∞ − = ≥ , nếu a =0 ta có điều phải chứng minh

Giả sử a ≠0 Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh lim n 0

→∞ − = Thật vậy, vì hai dãy { }x n và { }( )i

( ) ( 1) 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( 1) 2

( )

2 ( ) ( 1) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( 1) 2

(1 ) ( )

2 ( 1) ( ) ( 1)

2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

F =F T ≠ ∅, {T T1 , , , 2 T N} thỏa điều kiện (B) Khi đó { }x n hội tụ mạnh đến điểm bất động của họ {T T1 , , , 2 T N}

Suy ra T q i * =q* với mọi i= 1, 2, ,N Vì vậy q* ∈F T( )i và ( )

1

*

N i i

Cho X là không gian Banach thực lồi đều, K là tập con đóng khác rỗng của

X, họ T T1 , , , 2 T N: K →K là họ các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn Với dãy

là nửa compact Khi đó, { }x n

hội tụ mạnh tới một điểm bất động của họ ánh xạ {T T1 , 2 , ,T N}

là họ các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn và cách xây dựng

dãy { }x n nên x* −T x i * = 0 Từ đây suy ra ( )

1

*

=

∈ =N i i

TỔNG KẾT

Luận văn là sự giới thiệu về các kết quả của các định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric và cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều một cách hệ thống qua các chương như sau: Chương II trình bày các định định nghĩa về các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên, định lý 2.7, định lý 2.8, định lý 2.9, hệ quả 2.10, hệ quả 2.11, định lý 2.12, định lý 2.13, định lý 2.14, hệ quả 2.15 và định lý 2.16 về các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric; chương III trình bày các định nghĩa, định lý 3.7, định lý 3.8, định lý 3.9, bổ đề 3.10, bổ đề 3.11, định lý 3.12 định lý 3.14 về cách lập dãy hội tụ về điểm bất động chung của các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều

Vì không gian định chuẩn khi trang bị một khoảng cách d x y( ), = x y−

cũng là không gian mêtric nên các kết quả này vẫn đúng trên không gian định chuẩn Riêng việc lập một dãy hội tụ về điểm bất động của các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều chỉ đúng với không gian này, không thể áp dụng trên không gian Banach thông thường vì trên không gian Banach thường không có khái niệm lồi cho các tập

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

1 PGS.TS LÊ HOÀN HÓA, Định Lý Điểm Bất Động và Ứng Dụng Sự

Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình, đề tài nghiên cứu cấp cơ sở, mã số

CS.2008.19.02

2 GS.TS HOÀNG TỤY, Hàm Thực và Giải Tích Hàm, Đại Học Quốc Gia

Hà Nội (2005)

3 G S Saluja, Convergence to common fixed point of multi-step iteration

with errors for asymptotically quasi-nonexpansive mappings, A M

Vietnammica (2001), PP 89-103

4 H Bouhadjera and C Godet-Thobie, Common fixed point theorems for

occasionally weakly compatible maps, A M Vietnammica (2011), PP 1-17

5 H K Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of

asymptotically nonexpansive type, Nonlinear Anal 16 (1991), pp 1139-1146

6 K K Tan and H K Xu, Approximating fixed points of nonexpansive

mappings by the Ishikawa iteration process, J Math Anal Appl 178 (1993),

pp 301-308

7 M O Osilike and S C Aniagbosor, Weak and strong convergence

theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Math

and Computer Modelling 32 (2000), PP 1181-1191

8 S H Khan and W Takahhashi, Approximating common fixed points of

two asymptotically nonexpansive mappings, Sci Math Jpn 53 (2001), PP

143-148