BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CAO THỊ TỪ TÂM KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ... 12 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tươn
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- -
CAO THỊ TỪ TÂM
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
CAO THỊ TỪ TÂM
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
Trang 3MỤC LỤC
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.2 Nón trong không gian Banach 8
1.3 Không gian mêtric nón 12
2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian mêtric nón 19
2.1 Một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh
xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón 19
2.2 Vài mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu [4], [5] 27
+++
Trang 4LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích, nó được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm Nguyên lý
ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả quan trọng đầu
tiên trong lý thuyết điểm bất động Sau đó, người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian
Vào năm 2007, Huang Long - Zhang Xian [5] đã thay tập số thực trong định
nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái
niệm mới tổng quát hơn đó là khái niệm không gian mêtric nón Từ đó, nguyên lý
điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ đã được chứng
minh Vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ co
trong không gian mêtric nón được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả [3, 4, 5, 6]
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này Tìm
hiểu, nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric nón, các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón
Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương
Chương 1 Không gian mêtric nón
Trong chương này, trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian tôpô,
không gian mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục ; các định nghĩa, ví dụ
và một số tính chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong
chương hai
Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ tương thích
yếu trong không gian mêtric nón
Đây là nội dung chính của luận văn Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian mêtric nón Các kết quả này đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng
Trang 5với giả thiết mêtric nón nhận giá trị trong nón chuẩn tắc Chúng tôi chứng minh
các kết quả này vẫn đúng trong không gian mêtric nón mà không cần giả thiết nón
chuẩn tắc, đó là các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5 Trong mục thứ 2, chúng tôi
đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương
thích yếu đó là Định lý 2.2.1, 2.2.3, các Hệ quả 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.8 và 2.2.9
Các kết quả này là mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu tham khảo [4,
5, 6] Cuối cùng chúng tôi đưa ra Ví dụ 2.2.10 chứng tỏ kết quả của chúng tôi thực
sự tổng quát hơn một số kết quả trong [4]
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đến Thầy
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủ
nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán
- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè trong lớp Cao học 20
-Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể không tránh khỏi những
thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được
hoàn thiện hơn
Thành phố Vinh, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Trang 6CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục này trình bày một số khái niệm và các kết quả cơ bản về không gian mêtric,
quan hệ thứ tự bộ phận, điểm bất động, cặp ánh xạ tương thích yếu, cần dùng
trong luận văn
1.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho tập hợp X Họ T các tập con của X gọi là tôpô trên
X nếu thỏa mãn các điều kiện
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở
Giả sử A ⊂ X Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở
1.1.2 Định nghĩa ([3]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân
cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A
Cho không gian tôpô X, x ∈ X và U (x) là họ tất cả các lân cận của x HọB(x) ⊂ U (x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U (x) tồn tại V ∈ B(x)sao cho V ⊂ U
Trang 71.1.3 Định nghĩa ([3]) Dãy {xn} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới
x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U với mọi n ≥ n0
Khi đó, ta viết xn → x hoặc lim
n→ ∞xn = x
1.1.4 Định nghĩa ([3]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được
Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y tồntại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V
Không gian tôpô X được gọi là T2 - không gian hay không gian Hausdorff nếuhai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y saocho Ux∩ Uy = ∅
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới
một điểm duy nhất
1.1.5 Định nghĩa ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x), tồn
tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói
gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X
1.1.6 Định lý ([3]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y Khi
đó các điều kiện sau đây tương đương
1) f liên tục trên X;
2) Nếu E là tập mở trong Y thì f−1(E) mở trong X;
3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f−1(E) đóng trong X
1.1.7 Định nghĩa ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ d : X × X → R Ánh
xạ d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
Trang 8(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu
là (X, d) hay X
1.1.8 Định nghĩa ([3]) Cho X là không gian mêtric Một dãy {xn} trong X đượcgọi là dãy Cauchy nếu với mọi > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n0thì d(xn, xm) <
Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội
tụ
Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói
cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của
một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ
1.1.9 Định nghĩa ([3]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc
K = C Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E
Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn của x là
||x|| Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là khônggian định chuẩn
1.1.10 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E,
xác định một mêtric trên E
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach
Trang 91.1.11 Định lý ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn
1.1.13 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng Quan hệ hai ngôi ≤ được gọi là
thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X
1.1.14 Định nghĩa Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X
Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x
(tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A
Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu
x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương
ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x) Khi đó, ta kí hiệu x = sup A
(tương ứng x = inf A)
Trang 101.1.15 Định nghĩa ([5]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ f, g : X → X.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f x = x
Điểm x ∈ X được gọi là điểm chung của các ánh xạ f và g nếu f x = gx Khi
đó, w = f x = gx được gọi là giá trị chung của các ánh xạ f và g
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của các ánh xạ f, g nếu f x = gx =
x
Hai ánh xạ f và g được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn
tại điểm chung x ∈ X sao cho f và g giao hoán tại x, nghĩa là tồn tại x ∈ X sao
cho f x = gx và f gx = gf x Nếu f, g giao hoán tại mọi điểm chung thì chúng được
được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu
1.1.16 Mệnh đề ([5]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và f, g : X → X là cặp
ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên của X Nếu f, g có duy nhất một giá trị chung
w = f x = gx thì w cũng là điểm bất động chung duy nhất của f và g
1.2 NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không
Giả sử P là một nón trong không gian Banach E Ta xác định quan hệ thứ tự
bộ phận "≤" trên E tương ứng với P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P Ta viết
x < y nếu x ≤ y và x 6= y và viết x y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần
trong của P
1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông thường,tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón
Trang 112) Giả sử E = R2, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi đó, P thỏa mãn ba điềukiện
3) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b] Ta
đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
Trang 121.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.
Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực k > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có ||x|| ≤ k ||y|| Số thực dương k nhỏ nhất thỏa mãn điều
kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P
1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E; a, b, c ∈ E;{xn} , {yn} là các dãy trong E và α là số thực dương Khi đó,
1) Nếu a b và b c thì a c;
2) Nếu a ≤ b và b c thì a c;
3) Nếu a b, c d thì a + c b + d;
4) αintP ⊂ intP ;
5) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γx|| < δ;
6) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c1 d và c2 d;
7) Với mỗi c1, c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e c1 và e c2;
8) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
9) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;
10) Nếu 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y thì 0 ≤ x ≤ y
Chứng minh 1) Do phép cộng liên tục trong E và P + P = P nên ta có intP +
intP ⊂ intP Từ giả thiết a b và b c ta có b − a ∈ intP và c − b ∈ intP Suy
ra (b − a) + (c − b) ∈ intP + intP ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vậy a c
2) Theo giả thiết a ≤ b và b c ta có b − a ∈ P và c − b ∈ intP Suy ra
(b − a) + (c − b) ∈ P + intP hay c − a = S
x∈P(x + intP ), mà (x + intP ) mở nên
Trang 133) Ta có a b và c d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra (b − a) + (d − c) ∈
intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP Vậy a + c b + d
4) Vì phép nhân vô hướng liên tục và αP = P nên αintP ⊂ intP với mọi α > 0
5) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP , ta chọn số γ = δ
||x|| + δ Do x ∈ intP nên x 6= 0suy ra ||x|| > 0 nên 0 < γ < 1 Khi đó,
||γx|| =
δ
||x|| + δ.x
= ||x||
n → 0 nên x
n − a → −akhi n → ∞ Do đó −a ∈ P Như vậy, a ∈ P và −a ∈ P Vì P là nón nên a = 0
9) Với mỗi n = 1, 2, đặt λ = 1
n + 1 ta có 0 < λ < 1 Với a ∈ P, ta sẽ chứngminh −a ∈ P Thật vậy, do 0 < 1
n + 1 < 1 với mọi n = 1, 2, theo giả thiết ta có
Trang 1410) Ta có xn ≤ yn suy ra yn − xn ∈ P Do P đóng nên lim
n→∞(yn − xn) ∈ P Mặtkhác, lim
Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong P và xn → 0 Với mọi c ∈ intP, vì intP làtập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE(0, δ) ⊂ intP, trong đó BE(0, δ) là hình cầu
mở tâm 0, bán kính δ trong E Do đó, nếu x ∈ E mà kxk < δ thì c − x ∈ intP Với
δ > 0 xác định như trên tồn tại n0 ∈ N sao cho
kxnk < δ, ∀n > n0
Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n > n0 Do đó xn c với mọi n ≥ n0
1.3 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của không gian
mêtric nón
Ta luôn giả sử P là nón trong không gian Banach thực E sao cho intP 6= 0 và
≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E tương ứng với P
1.3.1 Định nghĩa ([4]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X → E Hàm d được
gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 0 ≤ d(x, y), ∀x; y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x; y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X
Trang 15Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và ký hiệu (X, d) hoặc X
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy, khái niệm không gian mêtric nón tổng quát
hơn khái niệm không gian mêtric, bởi vì mỗi một không gian mêtric là một không
gian mêtric nón trong trường hợp E = R, và P = {x ∈ R : x ≥ 0}
1.3.2 Ví dụ 1) Cho E = R2 và P = (x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0 Xét X = R vàánh xạ d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = (α |x − y| , β |x − y|), ∀x, y ∈ X,
trong đó α, β là các hằng số không âm cho trước
Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtric nón, do đó (X, d) là một không
(ii) Ta có d(f, g) = d(g, f ) = |f − g| , với mọi f, g ∈ E;
(iii) Ta có |f − g| = |f − h + h − g| ≤ |f − h| + |h − g| với mọi f, g, h ∈ E nên
d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ E
Vậy d là một mêtric nón trên E
1.3.3 Định nghĩa ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a ∈ X, c ∈ intP Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(x, a) c}
và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c Đặt
= = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G}
Trang 161.3.4 Mệnh đề ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và = xác định ở Định
Với U, V ∈ =, ta sẽ chứng minh U ∩ V ∈ = Thật vậy, với mọi x ∈ U ∩ V suy ra
x ∈ U và x ∈ V do đó tồn tại c1, c2 ∈ intP sao cho B(x, c1) ⊂ U và B(x, c2) ⊂ V,theo Bổ đề 1.2.4.7) c1 ∈ intP, c2 ∈ intP suy ra tồn tại c ∈ intP sao cho c c1 và
c c2 Do đó ta được B(x, c) ⊂ U ∩ V Từ đó ta có U ∩ V ∈ =
Vậy ta có = thỏa mãn 3 điều kiện trong định nghĩa tôpô nên = là một tôpô trên
X hay (X, =) là một không gian tôpô
2) Giả sử y ∈ B(x, c) Khi đó, vì d(y, x) c nên c − d(y, x) ∈ intP Đặt c0 =
c − d(y, x), ta sẽ chứng minh B(y, c0) ⊂ B(x, c) Thật vậy, với mọi z ∈ B(y, c0)
ta có d(z, y) c0 nên d(z, y) c − d(y, x) Do đó theo Bổ đề 1.2.4.3) ta cód(z, y) + d(y, x) c Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra d(z, x) c hay z ∈ B(x, c)
Vậy B(y, c0) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ =
3) Giả sử x, y ∈ X mà x 6= y Từ 2) suy ra rằng, để chứng minh (X, =) là T2−Không gian chỉ cần chứng tỏ tồn tại c1, c2 ∈ intP sao cho B(x, c1)∩B(y, c2) = ∅ Giả
sử điều này không đúng, tức là với mọi c1, c2 ∈ intP ta có B(x, c1) ∩ B(y, c2) 6= ∅.Khi đó, với mỗi c ∈ intP ta có
B(x, c2n) ∩ B(y,
c2n) 6= ∅, n = 1, 2,
Trang 17Từ đó suy ra tồn tại dãy {zn} ⊂ X sao cho
zn ∈ B(x, c
2n) ∩ B(y,
c2n), n = 1, 2,
thiết x 6= y Vậy (X, =) là T2− không gian
4) Giả sử x ∈ X Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm được Lấy
c ∈ intP và đặt
U = nB(x, c
n) : n = 1, 2,
o
Hiển nhiên U ⊂ = Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x Khi đó, tồn tại y ∈ intP
sao cho B(x, y) ⊂ V Vì y ∈ intP nên tồn tại ε > 0 sao cho BE(y, ε) ⊂ P, ở đây
BE(y, ε) là hình cầu mở trong E với tâm y bán kính ε Lấy n ∈ N sao cho n > kck
n ∈ BE(y, ε) ⊂ P Vì BE(y, ε) là tập mở trong E nên y − c
Như vậy, U là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô =) Hiển nhiên U đếm được Vậy
(X, =) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không gian mêtric nón
được hiểu là tôpô = Như vậy, các hình cầu B(x, c) là các tập mở trong không gian
Trang 181) Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ tới x, nếu và chỉ nếu với mỗi c 0, tồn tại
nc ∈ N sao cho d (xn, x) c, với mọi n ≥ nc
2) Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy, nếu và chỉ nếu với mỗi c 0, tồn tại n0 ∈ Nsao cho d (xn, xm) c, với mọi n, m ≥ n0
1.3.7 Định lý Cho (X, d) là không gian mêtric nón, dãy {xn} ⊂ X Khi đó,
xn → x ∈ X khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao chod(x, xn) c với mọi n ≥ nc
Chứng minh Giả sử xn → x ∈ X Khi đó, với mọi c ∈ intP, vì B(x, c) là lân cậncủa x, theo Mệnh đề 1.3.4 nên tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(x, c) với mọi
n ≥ nc, tức là d(x, xn) c với mọi n ≥ nc
Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho d(x, xn) cvới mọi n ≥ nc Giả sử U là một lân cận của x Khi đó, tồn tại c0 ∈ intP sao choB(x, c0) ⊂ U Từ đó suy ra tồn tại nc0 ∈ N sao cho
xn ∈ B(x, c0) ⊂ U ∀n ≥ nc0
Như vậy xn → x
1.3.8 Định nghĩa ([6])Cho (X, d) là không gian mêtric nón Dãy {xn} ⊂ X đượcgọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(xm, xn) cvới mọi m, n > N
1.3.9 Mệnh đề ([6]) Cho (X,d) là không gian mêtric nón Khi đó, nếu {xn} làdãy hội tụ trong (X, d) thì nó là dãy Cauchy
Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong X và xn → x ∈ X Khi đó, với mọi 0 c ∈ Etồn tại N sao cho d(xn, x) c
2 với mọi n > N Từ đó, với mọi m, n > N ta có
d(xm, xn) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) c
2 +
c
2 = c.
Suy ra {xn} là dãy Cauchy
1.3.10 Mệnh đề Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón X Khi
đó, nếu {xn} có dãy con {xnk} hội tụ tới x ∈ X thì {xn} hội tụ tới x
Trang 19Chứng minh Giả sử c ∈ intP Khi đó, từ {xn} là dãy Cauchy và {xnk} hội tụ tới xsuy ra tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
1.3.11 Định nghĩa Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ
1.3.12 Định lý Giả sử (X,d), (Y,d) là hai không gian mêtric nón và f : X → Y
Khi đó, f liên tục tại a ∈ X khi và chỉ khi từ {xn} là dãy trong X, xn → a kéo theo
f (xn) → f (a)
Chứng minh Giả sử f liên tục tại a và {xn} là dãy trong X sao cho xn → a Ta cầnchứng tỏ f (xn) → f (a) Giả sử V là lân cận của f (a) trong Y Khi đó, vì f liên tụctại a nên theo Định nghĩa 1.1.5, tồn tại lân cận U của a trong X sao cho f (U ) ⊂ V
Vì xn → a nên theo Định nghĩa 1.1.3, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn ∈ U với mọi
Giả sử f không liên tục tại a Khi đó, từ Mệnh đề 1.3.4 và Định nghĩa 1.1.5 suy
ra tồn tại y0 ∈ intP sao cho với mọi c ∈ intP đều có
f (B(a, c)) 6⊂ B(f (a), y0)
Trang 20Từ đó suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, tồn tại xn ∈ B(a, c
n) sao cho f (xn) /∈B(f (a), y0) Từ xn ∈ B(a, c
n) với mọi n = 1, 2, và
c
n → 0 khi n → ∞, sửdụng Bổ đề 1.2.5 và Định lý 1.3.7 suy ra xn → a Theo giả thiết của điều kiện đủ
f (xn) → f (a) Điều này mâu thuẫn với f (xn) /∈ B(f (a), y0) với mọi n = 1, 2, Vậy f liên tục tại a
... với mêtric nón d X gọi khơng gian mêtric nón< /p>và ký hiệu (X, d) X
Từ định nghĩa ta nhận thấy, khái niệm khơng gian mêtric nón tổng qt
hơn khái niệm khơng gian mêtric, khơng gian. ..
(X, =) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ
Từ sau, không giải thích thêm tơpơ khơng gian mêtric nón
được hiểu tơpơ = Như vậy, hình cầu B(x, c) tập mở không gian