Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhNgô Thị Phương Nga Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu ψ, ϕ -co suy rộng trong không gian mêtric thứ tự Luận văn Thạc sỹ Toán học Nghệ An - 20
Trang 1Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh
Ngô Thị Phương Nga
Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu
(ψ, ϕ) -co suy rộng trong không gian
mêtric thứ tự
Luận văn Thạc sỹ Toán học
Nghệ An - 2014
Trang 2Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh
Ngô Thị Phương Nga
Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu
(ψ, ϕ) -co suy rộng trong không gian
Trang 3Mục Lục
Trang
Chương I Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co
1.1 Các khái niệm cơ bản 5 1.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suy rộng
trong không gian mêtric thứ tự 11
Chương II Điểm bất động của các ánh xạ hầu (ψ, ϕ) -co
2.1 Điểm bất động của các ánh xạ hầu (ψ, ϕ) -co suy rộng
trong không gian mêtric thứ tự 18 2.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu (ψ, ϕ) -co suy
rộng trong không gian mêtric thứ tự 25
Trang 4lời nói đầu
Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọngcủa giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kỹ thuật.Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động lànguyên lí ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach
Năm 1968, Kannan đã chứng minh một định lý điểm bất động đối với ánhxạ thỏa mãn điều kiện co, mà nó không đòi hỏi tính liên tục của ánh xạ Theohướng mở rộng này, năm 2004 Berinde đã giới thiệu khái niệm các ánh xạ coyếu, mà nó cũng còn được gọi là ánh xạ hầu co và chứng minh một số định
lý điểm bất động đối với các ánh xạ hầu co trong không gian mêtric đầy đủ.Sau đó nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục nghiên cứu theo hướng này vàthu được nhiều kết quả thú vị
Trong một cách nhìn khác về hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động,người ta còn thấy rằng việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề cónhiều ứng dụng trong giải tích, nhất là lý thuyết các phương trình vi phân,phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Trên cơ sở các bàibáo Common fixed points of almost generalized contractive mappings inordered metric spaces của L Ciric, M Abbas, R Saadati, N Hussain (2011),Common fixed points of almost generalized(ψ, ϕ)-contractive mappings inordered metric spaces của W Shatanawi, A Al-Rawashdeh (2012), Weakercyclic(ψ, ϕ)-cotractive mappings with an application to integro-diffrentialequation của H K Nashine, Z Kadelburg (2013), để tập dượt nghiên cứukhoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các kếtquả về điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suy rộng trong khônggian mêtric thứ tự Qua tham khảo các tài liệu liên quan, dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS.Trần Văn Ân, chúng tôi đã thực hiện đề tài:
Trang 5" Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu(ψ, ϕ)-co suy rộng trongkhông gian mêtric thứ tự"
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu là các không gian mêtric, khônggian mêtric đầy đủ, không gian mêtric thứ tự, điểm bất động, điểm bất độngchung, điều kiện co, ánh xạ co, ánh xạf-co, cặp ánh xạ tương thích yếu, điểmtrùng nhau của hai ánh xạ, cặp ánh xạ tăng yếu, cặp ánh xạ tăng yếu ngặt,
điều kiện hầu co suy rộng, ánh xạ hầu co mạnh Ciric, ánh xạ thỏa mãn điềukiện (B), hàm thay đổi khoảng cách, ánh xạ hầu (ψ, ϕ)-co suy rộng, ánh xạhầu(ψ, ϕ)-co suy rộng đối với một ánh xạf,
Chương 1 với nhan đề Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suyrộng trong không gian metric thứ tự Trong chương này, mục 1 chúng tôi giớithiệu một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày của luận văn, gồm: Khônggian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric thứ tự, điểm bất
động, điều kiện co, ánh xạ co, cặp ánh xạ tương thích yếu, điểm trùng nhaucủa hai ánh xạ, , một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co Mục 2trình bày điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suy rộng trong khônggian mêtric thứ tự
Chương 2 với tên là Điểm bất động chung của ánh xạ hầu (ψ, ϕ)-co suyrộng trong không gian mêtric thứ tự Trong chương này, mục 1 giới thiệukhái niệm ánh xạ hầu co mạnh Ciric, ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B), ánh xạhầu (ψ, ϕ)-co suy rộng, chứng minh chi tiết một số định lý điểm bất động.Mục 2 giới thiệu khái niệm ánh xạ hầu(ψ, ϕ)-co suy rộng đối với một ánh xạ
gcho trước, cặp ánh xạ tăng yếu Chứng minh chi tiết một số định lý, hệ quả
về điểm bất động chung của cặp ánh xạ (f, g) tăng yếu, trong đó f là hầu
(ψ, ϕ)-co suy rộng đối với một ánh xạg Mục 3 trình bày một số ứng dụng, Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn tận tình chu đáo của thầy PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ sự biết
ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cám ơn Ban chủ
Trang 6nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy, cô trong tổ Giải Tíchkhoa Toán Trường Đại học Vinh, Phòng Tổ chức Trường Đại học Sài Gòn đãgiúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Nhân đây tác giảxin cám ơn các bạn học viên cao học khoá 20 Giải Tích tại Trường Đại học SàiGòn Cuối cùng cám ơn gia đình và Ba, Mẹ đã tạo điều kiện thuận lợi giúptác giả hoàn thành nhiệm vụ trong quá trình học tập.
Mặc dù đã tích cực đầu tư và có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thựchiện đề tài, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mongnhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để luận văn
được hoàn thiện
Vinh, ngày 07 tháng 5 năm 2014
Ngô Thị Phương Nga
Trang 71.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Hàm d : X ì X → Rđược gọi làmột mêtric trênX nếu thỏa các điều kiện:
(1) d(x, y) ≥ 0với mọix, y ∈ X và d(x, y) = 0nếu và chỉ nếux = y.(2) d(x, y) = d(y, x)với mọix, y ∈ X
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)với mọix, y, z ∈ X
TậpX cùng với một mêtricdtrên nó được gọi là một không gian mêtric và
kí hiệu là(X, d)hay đơn giản làX Sốd (x, y) gọi là khoảng cách từ điểmx
|xi− yi| Khi đód1, d2
là các mêtric trênRn
Trang 81.1.3 Mệnh đề ([1]) Cho không gian mêtric(X, d) Khi đó với mọix, y, u, v ∈
(2) x ∈ E nếu và chỉ nếu tồn tại {xn} ⊂ E sao cho xn → x
1.1.8 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric(X, d) Dãy{xn} ⊂ X đượcgọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi
n, m ≥ n0 ta có d(xn, xm) < ε, hay {xn} là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu
lim
n,m→+∞d(xn, xm) = 0
Trang 91.1.9 Định nghĩa ([1]) Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ.
Tập con M của không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu khônggian conM với mêtric cảm sinh là không gian đầy đủ
1.1.10 Ví dụ 1) Tập hợp các số thựcRvới mêtricd (x, y) = |x − y|là khônggian mêtric đầy đủ
2) Tập hợpRngồm tất cả các bộnsố thực, với mêtricd1(x, y),d2(x, y)làcác không gian mêtric đầy đủ
1.1.11 Mệnh đề ([1]) Cho không gian mêtric (X, d), M ⊂ X Khi đó(1) NếuM đầy đủ thì M là tập đóng
(2) NếuM là tập đóng và X đầy đủ thì M đầy đủ
1.1.12 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian mêtric(X, d)và(Y, ρ) ánh xạ
f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi là ánh xạ co nếu tồn tạiα ∈ [0, 1)sao cho
ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọix, y ∈ X.
1.1.13 Định lý ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử (X, d) là không gianmêtric đầy đủ,f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó Khi đó tồn tạiduy nhất điểmx∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗
Điểmx∗ ∈ X có tính chấtf (x∗) = x∗ được gọi là điểm bất động của ánhxạf
1.1.14 Định nghĩa ([7]) Cho(X, d)là không gian mêtric ánh xạg : X → X
gọi là hầu co đối với một ánh xạf : X → X nếu tồn tại một sốδ ∈ [0; 1)vàmột sốL ≥ 0sao cho
d (g (x) , g (y)) ≤ δd (f (x) , f (y)) + Ld (f (y) , g (x)) với mọix, y ∈ X.
Trang 10Nếu chọnf = idX, trong đó idX là ánh xạ đồng nhất trên X, thìg đượcgọi là ánh xạ hầu co.
1.1.15 Định nghĩa ([7]) Giả sử f, g : X → X là các ánh xạ từ không gianmêtric(X, d)vào chính nó
Điểmy ∈ X được gọi là điểm trùng của hai ánh xạf vàg trênX nếu tồntạix ∈ X sao choy = g (x) = f (x) Khi đó điểmx ∈ X được gọi là điểmtrùng nhau của hai ánh xạf vàg
Cặp ánh xạ (f, g) được gọi là tương thích yếu nếu f vàg giao hoán vớinhau tại các điểm trùng nhau của chúng, nghĩa là f g (x) = gf (x) tại các
điểmx ∈ X màf (x) = g (x)
1.1.16 Định nghĩa ([7]) Giả sử(X, ≤)là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận vớiquan hệ thứ tự≤ Hai phần tửx, y ∈ X được gọi là so sánh được nếux ≤ y
hayy ≤ x
Nếux, y ∈ X,x ≤ y vàx 6= y, thì ta viết x < yhayy > x
1.1.17 Định nghĩa ([7]) Giả sửX 6= φ Nếu (X, d)là không gian mêtric và
Trang 11ánh xạf được gọi là không tăng (hay giảm ngặt) nếu với mọix, y ∈ X
màx < yta có f (x) > f (y)
ánh xạf được gọi là đơn điệu nếuf đơn điệu tăng, hoặc đơn điệu giảm
1.1.19 Định nghĩa ([14]) Cho(X, ≤)là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận.Hai ánh xạ f, g : X → X được gọi là tăng yếu nếu f (x) ≤ gf (x) và
và
g (x) =
( 4x + 1 nếu 0 < x < 1 3x nếu 1 ≤ x < ∞.
Với 0 < x < 1, ta có f (x) = 3x + 2 ≤ 4 (3x + 2) + 1 = gf (x) và
g (x) = 4x + 1 ≤ 12x + 5 = 3(4x + 1) + 2 = f g (x) Với1 < x < ∞ ta có
f (x) = 2x + 1 ≤ 3 (2x + 1) = gf (x)vàg (x) = 3x ≤ 2 (3x) + 1 = f g (x).Vì thếf vàg là các ánh xạ tăng yếu nhưng không là ánh xạ không giảm
1.1.21 Ví dụ ChoX = [0, ∞) ì [0; ∞) TrênX ta trang bị quan hệ thứ tựthông thường, nghĩa là(x, y) ≤ (z, w) nếu và chỉ nếux ≤ z vày ≤ w Giả
sửf, g : X → X là các ánh xạ cho bởi các công thức
f (x, y) =
( (x, y) nếu max {x, y} ≤ 1 (0, 0) nếu max {x, y} > 1,
Trang 12g (x, y) =
( ( √
x, √ y) nếu max {x, y} ≤ 1 (0, 0) nếu max {x, y} > 1.
Với max (x, y) ≤ 1, ta có f (x, y) = (x, y) ≤ √
x, √ y = gf (x, y) và
g (x, y) = √
x, √ y ≤ √ x, √
y = f g (x, y) Với max {x, y} > 1, ta có
f (x, y) = g (x, y) = (0; 0) ≤ f g (x, y) = gf (x, y) Do đóf vàg là các ánhxạ tăng yếu Tuy nhiên cả f và g đều không là ánh xạ không tăng, vì ta có
(12, 1) ≤ (1, 2)nhưngf (12, 1) = (12, 1) 6≤ (0, 0) = f (1, 2)
1.1.22 Định lý ([7]) Cho(X, ≤)là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận sao chomỗi cặp x, y ∈ X có cận trên và cận dưới Giả sử rằng d là một mêtrictrên X sao cho không gian mêtric (X, d) là đầy đủ Cho f : X → X làmột ánh xạ liên tục và đơn điệu Giả sử rằng tồn tại số δ ∈ [0, 1) sao cho
d (f (x) , f (y)) ≤ δd (x, y)với mọix, y ∈ X mà x, y so sánh được Nếu tồntại x0 ∈ X sao cho x0 ≤ f (x0), thì f có điểm bất động duy nhất p trong
X
1.1.23 Định nghĩa ([3]) Cho(X, d)là không gian mêtric ánh xạf : X → X
được gọi là thoả mãn điều kiện (B) nếu tồn tạiδ ∈ (0; 1)vàL ≥ 0sao cho
d (f (x) , f (y)) ≤ δd (x, y) + L min {d (x, f (x)) , d (x, f (y)) , d (y, f (x))} ,
với mọix, y ∈ X
1.1.24 Định nghĩa ([7]) Giả sử f, g : X → X là hai ánh xạ từ không gianmêtric (X, d) vào chính nó Hai ánh xạ f và g được gọi là thỏa mãn điềukiện hầu co suy rộng nếu tồn tại sốδ ∈ (0, 1)và một số L ≥ 0sao cho
(1)
với mọix, y ∈ X
Trang 131.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ hầu co suyrộng trong không gian mêtric thứ tự
1.2.1 Định lý ([7]) Cho (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận và giả
sử rằng tồn tại một mêtric d trên X sao cho không gian mêtric (X, d) là
đầy đủ Cho f : X → X là một ánh xạ liên tục, tăng ngặt đối với thứ tự
≤ Giả sử rằng tồn tại số δ ∈ (0, 1) và số L ≥ 0sao cho
Nếu tồn tạix0 ∈ X sao chox0 ≤ f (x0), thìf có điểm bất động trênX.Chứng minh Nếuf (x0) = x0, thì kết quả được chứng minh
Giả sử f (x0) 6= x0 Với mỗi n ≥ 0 ta đặt xn+1 = fn+1(x0) = f (xn).Khi đó {xn} là dãy trong X Vì f là ánh xạ tăng ngặt nên x1 = f (x0) <
f2(x0) = x2 < f3(x1) = x3 và tiếp tục quá trình này chúng ta có x1 <
x2 < < xn < xn+1 < Điều này chứng tỏ rằng dãy{xn} là dãy tăngngặt Chú ý rằng
M (xn, xn+1) = max {d(xn, xn+1), d(xn, f (xn)), d(xn+1, f (xn+1)),
d(x n , f (x n+1 )) + d(x n+1 , f (x n ))
2
,
Trang 14d (x n+1 , x n+2 ) = d (f (x n ) , f (x n+1 ))
≤ δM (xn, x n+1 ) + + L min {d (x n , f (x n )) , d (x n+1 , f (x n+1 )) , d (x n , f (x n+1 )) , d (x n+1 , f (x n ))}
≤ δ max {d (xn, x n+1 ) , d (x n+1 , x n+2 )} + + L min {d (x n , x n+1 ) , d (x n+1 , x n+2 ) , d (x n , x n+2 ) , d (x n+1 , x n+1 )}
Từ bất đẳng thức cuối này ta thu được
f liên tục, từ đẳng thứcf (xn) = f (fn(x0)) = fn+1(x0) = xn+1 ta suy ra
f (p) = p Vậyplà điểm bất động củaf.
Trang 151.2.2 Định lý Cho (X, ≤) là tập hợp sắp thứ tự bộ phận, giả thiết rằngtồn tại một mêtric d trên X sao cho không gian mêtric (X, d) là đầy đủ.Giả sửf : X → X là ánh xạ tăng ngặt đối với thứ tự ≤và thỏa mãn điềukiện (2) Nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 ≤ f (x0) và với dãy tăng bất kỳ
{xn} ⊂ X hội tụ về x trong X ta có xn ≤ x với mọi n ∈ N Khi đó, f cómột điểm bất động trongX
Chứng minh Giả sử rằngf (x) 6= x với mỗi x ∈ X Bằng cách lập luậntương tự như trong Định lý 1.2.1 ta thu được một dãy {xn} tăng sao cho
xn → p, khi n → ∞ Nhờ giả thiết đã có ta suy ra xn ≤ p với mọi n ∈ N
+ L min {d (xn, xn+1) , d (p, f (p)) , d (xn+1, f (p)) , d (p, xn+1)}
Lấy giới hạn khi n → ∞ ta có d (p, f (p)) ≤ δd (p, f (p)) Vì δ ∈ (0, 1),
điều này dẫn đến mâu thuẫn Vì thế tồn tạix0 ∈ X sao cho f (x0) = x0
1.2.3 Định lý ([7]) Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận, giả thiết rằngtồn tại một mêtric d trên X sao cho không gian mêtric (X, d) là đầy đủ.Giả sửf, g : X → X là hai ánh xạ tăng yếu ngặt đối với thứ tự ≤và thỏamãn điều kiện (1) với mọi phần tử x, y ∈ X mà so sánh được Nếu mộttrong hai ánh xạf và g liên tục, thì f và g có điểm bất động chung trong
X
Chứng minh Giả sử rằngx0 ∈ X là điểm tùy ý Ta sẽ xây dựng một dãy
{xn} ⊂ X sao cho x2n+1 = f (x2n) và x2n+2 = g(x2n+1) với mọi n ≥ 0.Vìf và g là các ánh xạ tăng yếu ngặt, nên ta có x1 = f (x0) < g(f (x0)) = g(x1) = x2 = g(x1) < f (g(x1)) = f (x2) = x3 Tiếp tục quá trình này tachỉ ra đượcx1 < x2 < ã ã ã < xn < xn+1 < ã ã ã Vì thế dãy{xn}là dãy tăng
Trang 16= max{d (x 2n , x 2n+1 ) , d (x 2n , x 2n+1 ) , d (x 2n+1 , x 2n+2 ) ,
d (x 2n , x 2n+2 ) + d (x 2n+1 , x 2n+1 )
2
,
d(x2n+1, f (x2n)), }
≤ δ max {d (x2n, x2n+1) , d (x2n+1, x2n+2)} + + L min {d (x2n, x2n+1) , d (x2n+1, x2n+2) , d (x2n, x2n+12, 0)}
Trang 17đó từ đẳng thức f (xn) = f (fn(x0)) = fn+1(x0), nhờ tính liên tục của f
và xn → p ta có f (p) = p Vì thế, p là điểm bất động của f Giả sử rằng
g(p) 6= p Khi đó vìp ≤ p, nên ta có
d (f (p) , g (p)) ≤ δ max
d(p, p), d (p, f (p)) , d (p, g (p)) ,d (p, g (p)) + d (p, f (p))
Vìδ ∈ (0, 1)ta gặp mâu thuẫn Vì vậy ta cũng có g(p) = p Do đóplà điểm
Trang 181.2.4 Hệ quả ([7]) Cho (X, ≤) là môt tập hợp sắp thứ tự bộ phận, giả sửtồn tại một mêtric d trên X sao cho không gian mêtric (X, d) là đầy đủ.Giả sử f, g : X → X là hai ánh xạ tăng yếu ngặt đối với thứ tự ≤ Giảthiết rằng tồn tại sốδ ∈ (0, 1) và số L ≥ 0sao cho
d (f (x) , g (y)) ≤ δd (x, y) + L min {d (x, f (x)) d (y, g (y)) , d (x, g (y)) , d (y, f (x))}
(4)
với mọi phần tử x, y ∈ X so sánh được với nhau Nếu một trong hai ánhxạf hoặc g liên tục, thìf và g có một điểm bất động chungp ∈ X
Chứng minh Vì bất đẳng thức (4) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng
1.2.6 Định lý ([7]) Cho (X, ≤) là tập hợp sắp thứ tự bộ phận, giả sử tồntại một mêtric d trên X sao cho không gian mêtric (X, d) là đầy đủ Giả
sử f, g : X → X là hai ánh xạ thoả mãn điều kiện (1), với mọi phần tử
x, y ∈ X so sánh được với nhau Nếu tập hợp các điểm bất động chung
F (f, g) 6= φ, và với dãy bất kỳ {xn} trong X mà xn → x trong X ta có
xn ≤ xvới mọi n ∈ N, thìf vàg liên tục tại p ∈ F (f, g)
Trang 19Chứng minh Cố định p ∈ F (f, g) Giả sử {xn} là dãy bất kỳ X hội tụtới p Khi đó bằng thay y bởi xn và xbởi ptrong bất đẳng thức (1), ta nhận
Vìf (p) = p, nên bất đẳng thức này tương đương với
vớin = 1, 2 Bây giờ chon → ∞, ta nhận đượcg(xn) → p = g(p) Suy ra
g liên tục tại điểm p ∈ X Tương tự, ta có thể chứng minh được rằng f liên