Bài 2. Dãy số

b./ Cho hệ thức truy hồi , tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hay vài số hạng đứng trước nó... Củng Cố Bài HọcVề nhà các em cần nắm vững các kiến thức sau : + Khái niệm

BÀI 2: DÃY SỐ

HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM

Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác định ∀ n ∈ N*

Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),………

Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,…k….

vào u(n) = 2n +1 ta được:

I/ DÃY SỐ

1/ Định nghĩa:

là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Thay thứ tự n = 1, 2, 3,…… ta được các số hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2, u3,……

Dạng khai triển của dãy số (un) là:

u1, u2, ,un,

Trong đó:

u1 : số hạng thứ nhất

u2 : số hạng thứ hai

un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát

của dãy số (un)

* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3, m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn .

BÀI 2 : DÃY SỐ

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số mà em đã học ? Cho

ví dụ minh họa ?

1./ Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ : Cho dãy số với hãy tính :

; ;

)(u n un = 2 n2 + n , n ∈ N*

4 , 7

3 , 3

2 , 1

Dãy số hoàn toàn được xác định khi nào ?( un)

Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết công thức số hạng

BÀI 2 : DÃY SỐ

2./ Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ : số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn π = 3 , 141 592 635 589

u

u u

1 2

3./ Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Ví dụ : Dãy số phi-bô-na-xi là dãy số được xác định như sau :

vớiHãy viết mười số hạng đầu của dãy số trên ? 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

Cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi là :

a./ Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu )

b./ Cho hệ thức truy hồi , tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua

số hạng ( hay vài số hạng ) đứng trước nó

) ( un

πDãy các giá trị gần đúng thiếu của với sai số tuyệt đối π 10−n

;

1415 ,

3

; 141 , 3

; 14 , 3

; 1 ,

1 = u = u = u =

u

PHIẾU HỌC TẬPNHÓM 1-2: Cho dãy số gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1

1 Viết năm số hạng đầu của dãy số

2 Lập công thức số hạng tổng quát

NHÓM 3-4: Sáu số hạng đầu tiên của dãy số được xác định như sau:

1 Hãy lập một công thức cho số hạng tổng quát sao cho công thức này phù hợp sáu số hạng đã cho

2 Số 290 có phải là số hạng của dãy với công thức số hạng tổng quát vừa thiết lập ở phần 1

BÀI 2 : DÃY SỐ

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ

Biểu diễn bằng đồ thị Biểu diễn bằng trục số

n

un = + ∈

: ) ( un

Biểu diễn hình học của dãy số với

4 4 5

,

4

5 ,

3

4 ,

2

3 ,

Củng Cố Bài Học

Về nhà các em cần nắm vững các kiến thức sau :

+ Khái niệm dãy số

+ Cách cho dãy số : Bởi công thức tổng quát , bởi hệ thức truy hồi , bằng mô tả

+ Dãy số hữu hạn , dãy số vô hạn

3 , 4

2 , 3

1 /

+

=

3 /

.

; 2

3

1

2 /

.

1

1

n u

u

u b

n

n u

a

n n

n

IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:

* Dãy số (un) gọi là tăng nếu ∀ n ∈ N* : un < un+1

* Phương pháp xét tính tăng - giảm

của một dãy số:

a) Dãy số (un) tăng ⇔ ∀ n ∈ N* , un+1 – un > 0

b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương

thì :

Dãy số (un) tăng ⇔ ∀ n ∈ N* ,

Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.

n n

u u

+ >

VÍ DỤ  Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :

a) Dãy số (un) với un = n – 2n

b) Dãy số (un) với un = n.an (a ≥ 1)

Ta thấy un > 0 ∀∈ N* nên ta xét tỉ số

1 1

n

n + >

* Chú ý  : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảm

Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số

không tăng không giảm:

-3, 9, - 27, 81

2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN  

1/ Định nghĩa :

- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu ∃ M sao cho: ∀ n ∈ N* , un ≤ M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2

vì

1 1

- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu ∃ m sao cho: ∀ n ∈ N* , un ≥ m

n

= +

Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un)

C NG C Ủ Ố

a) Viết 5 số hạng đầu.

b) Số là số hạng thứ mấy?

c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.

Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1

Cho dãy số (un) được xác định bởi

Hãy xác định bốn số hạng đầu của dãy số

1 2

2

,( 2)3

Nêu một phương pháp xét tính tăng, giảm của một dãy số

Áp dụng: Xét tính tăng giảm của các dãy số (un) biết:

Câu 1.

Cho dãy số (un) xác định bởi: un=(2n+3)(n-1) Số hạng thứ năm của dãy số có giá trị là:

Câu 2. Cho dãy số (un) xác định bởi:

Số hạng thứ tư của dãy số có giá trị là:

1 1

Câu 3. Dãy số (un) xác định bởi: un=2n2+1 là dãy số

A Tăng

Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi:

Dãy số đã cho là dãy số :

2

n

u = n −

A Bịchặn dưới B Bị chặn

B Giảm C Không tăng, không giảm

C Bị chặn trên