Tìm hiểu và một số bài tập về số chính phương

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.. Số chính

Trang 1

Tài trợ bởi: Trung tâm giáo viên và gia sư Quốc Tuấn: 68 Trần Thái Tông-TP Huế-0989824932

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈N)

4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈N)

5 Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương

Trang 2

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có

k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Trang 3

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương

=

9

110.410

Trang 4

=

9

410.4

là số chính phương ( điều phải chứng minh)

Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈N , n ≥2 )

2

Trang 5

Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5

⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương

Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n∈N và n>1 không phải là số chính phương

Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 ⇒ n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương

Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng

minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương

Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 =

Trang 6

Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính

Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương

Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương

Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N ⋮ 2 nhưng 2N không chia hết cho 4

2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương

c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1

⇒ 2N+1 không là số chính phương

Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05

Trang 7

110

+ 1 =

9

9510.4)10

Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:

Trang 8

Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

a a 2 + a + 43

b a 2 + 81

c a 2 + 31a + 1984

Kết quả: a 2; 42; 13

Trang 9

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3

Bài 4: Tìm n ∈ N để các số sau là số chính phương:

⇒ (m + n)(m - n) ⋮ 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

⇒ Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Bài 6: Biết x ∈ N và x>2 Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)

2

Trang 10

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi

1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)

Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x∈ N và 2 < x ≤ 9 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776

Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121;

Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Nên để k2 + m2 ≡ 2 (mod3) thì k2 ≡ 1 (mod3)

m2 ≡ 1 (mod3)

⇒ m2 – k2⋮ 3 hay (2n+1) – (n+1) ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 3 (2)

Trang 11

Trang 12

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương

Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4

Số cần tìm là 7744

Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương

Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2

Trang 13

Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9

Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai chữ số của

số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b ∈N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )

Số viết theo thứ tự ngược lại ba

Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2⋮ 11

Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11

Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11

Khi đó ab - ba = 32 112 (a - b)

Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a - b = 4

• Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65

Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332

• Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại )

Vậy số phải tìm là 65

Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính

phương Tìm số chính phương ban đầu

( Kết quả: 1156 )

Trang 14

Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó

Gọi số phải tìm là ab với a,b ∈ N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9

Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔(10a+b)2 = ( a + b )3

⇒ ab là một lập phương và a+b là một số chính phương

Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau

Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n ∈ N)

Trang 15

Tài trợ bởi: Trung tõm giỏo viờn và gia sư Quốc Tuấn: 68 Trần Thỏi Tụng-TP Huế-0989824932

* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó

* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước

2 Tính chất:

* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q

* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố

p

* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p

3 Cách nhận biết một số nguyên tố:

a) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn

- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố

- Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư thì ssó đó là số nguyên

Trang 16

- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó

- Mọi hợp số đều phân tích đ−ợc ra thừa số nguyên tố

* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1

Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b) = 1

Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b, c) = 1

Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố

Trang 17

VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố

HD:

Giả sử p là số nguyên tố

- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố

- Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k ∈N*

+) Nếu p = 3k ⇒ p = 3 ⇒ p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố

+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ p + 2 ⋮ 3 và p + 2 > 3 Do đó

p + 2 là hợp số

+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⇒ p + 4 ⋮ 3 và p + 4 > 3 Do đó

p + 4 là hợp số

Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố

VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

Trang 18

II Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:

Trang 19

a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số

b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số

c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số

d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số

e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số

f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số

g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số

h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số

i) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số

j) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số

Bài 4: Chứng minh rằng:

a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2⋮ 24

b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k ∈N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k ⋮ 6

Bài 5:

a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm số dư r

b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết rằng r không là số nguyên tố

Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh rằng một số tự

nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6

Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị Chứng minh rằng d chia hết

cho 6

Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập

phương của một số tự nhiên

Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số

hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp

Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố

Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố

Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a

Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r

Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z

Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab ac l, à các số nguyên tố và b2 =cd+ ưb c

Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c ∈N*) là các số nguyên tố Chứng minh rằng 3 số p,

q, r có ít nhất hai số bằng nhau

Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:

Trang 20

Bài 18: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng

Bài 19: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố là

p = 3

Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b

Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc

6n – 1

Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là một số nguyên tố

Bài 23: Cho số tự nhiên n≥2 Gọi p1, p2, , pn là những số nguyên tố sao cho

pn ≤ n + 1 Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa một số nguyên tố nào

Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1⋮p

Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + 1⋮p

I Tỡm một chữ số tận cựng

Tớnh chất 1: a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa bậc bất kỡ thỡ chữ số tận cựng vẫn

khụng thay đổi

b) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 4, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc lẻ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 3, 7, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 1 d) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 2, 4, 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 6 e) Tớch của một số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là 5 với bất kỡ số tự nhiờn lẻ nào cũng cho ta số cú chữ số tận cựng là 5

Tớnh chất 2: Một số tự nhiờn bất kỡ, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng

thay đổi

Tớnh chất 3: a) Số cú chữ số tận cựng là 3 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 7 ; số cú chữ

số tận cựng là 7 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 3

Trang 21

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

Trang 22

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2 + 3 + 4 + … + 2004

Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có

dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy: chữ số tận cùng của tổng T là 9

Bài 4: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2; 6 ⇒ n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 ⇒ n2 + n + 1 không chia hết cho 5

Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải

được Bài sau:

Bài 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:

a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)

b) N = 20042004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”

Bài 6: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng: p8n +3.p4n − 4 chia hết cho 5

Bài 7: Tìm số dư của các phép chia:

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	357,9 KB