Bài 2 : Dãy số - tiết 2

GV : Dương Hửu Thanh CầnGV : Dương Hữu Thanh Cần... BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ IV... BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ IV... BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ IV... BIỂU

GV : Dương Hửu Thanh Cần

GV : Dương Hữu Thanh Cần

KIỂM TRA BÀI CỦ

*

,

1

N

n n

n

* Cho dãy số với ( un )

Viết 4 số hạng đầu của dãy số trên

Giải

Ta có u1 = 2

2

3

2 =

u

4

5

4 =

u

3

4

3 =

u

4

5 , 3

4 , 2

3 , 2 :

n u

Hãy biểu diễn các số hạng của dãy số (un) trên trục số

BÀI 2 : DÃY SỐ

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ

Biểu diễn bằng đồ thị Biểu diễn bằng trục số

*

,

1

N

n n

n

) ( un

Biểu diễn hình học của dãy số với

n

u

1

u

2

u

3

u

4

u

)

(n u

1

u

2

u

3

u

4

u

0

1 45 34 23 2

,

4

5 ,

3

4 ,

2

3 ,

1 = u = u = u =

u

•

•

• •

,

4

5 ,

3

4 ,

2

3 ,

1 = u = u = u =

u

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

VD :

(un) : 4, 9, 14, 19, 24,

Cho dãy số (un) với un = 5n - 1 a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Tính un+1

Ta có

un+1= 5(n + 1) - 1 = 5n + 4 c) Chứng minh un+1 > un , với mọi n ∈N*

Xét : un+1 - un = 5n + 4 - (5n - 1)

= 5 > 0 Vậy un+1 > un , với mọi n ∈N*

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

IV DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ

GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có un+1>un với mọi n N∈ *

* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm

nếu ta có un+1<un với mọi n N∈ *

VD :

(un) : 4, 9, 14, 19, 24,

Dãy (un) với un = n -n2 là dãy số giảm Dãy (un) với un = 5n -1 là dãy số tăng

(un) : 0, -2, -6, -12,

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

IV DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ

GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có un+1>un với mọi n N∈ *

* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm

nếu ta có un+1<un với mọi n N∈ *

VD : Xét tính đơn điệu của các dãy số sau a) Dãy (un) với un = 2n +3

* Phương pháp xét tính đơn điệu của

một dãy số :

Cách 1:

0 , 1

* − >

∈

∀

⇔ n N u n+ u n

Dãy số (un) giảm ⇔ ∀n∈N* ,u n+1 −u n < 0

Dãy số (un) tăng

b) Dãy (un) với u n = n n+1

un+1= 2(n+1) + 3 = 2n + 5

Ta có : Xét : un+1- un = 2n + 5 - (2n + 3)

= 2 > 0 Vậy (un) là dãy số tăng

Ta có : 1 12

+

+

=

n

u n

Xét : u n+1 −u n

n

n n

1

2 − + +

+

= ( ) ( ) ( 1)

1

+

+

− +

=

n n

n n

n

( 1)

1 2

2 2 2

+

+ +

− +

=

n n

n n

n

n

( 1)

1

+

−

=

n

n < 0 Vậy (un) là dãy số giảm

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

IV DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ

GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có un+1>un với mọi n N∈ *

* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm

nếu ta có un+1<un với mọi n N∈ *

VD : Xét tính đơn điệu của các dãy số sau a) Dãy (un) với un = 2n +3

* Phương pháp xét tính đơn điệu của

một dãy số :

Cách 1:

0 , 1

* − >

∈

∀

⇔ n N u n+ u n

Dãy số (un) giảm ⇔ ∀n∈N* ,u n+1 −u n < 0

Dãy số (un) tăng

Cách 2: Nếu các số hạng của dãy số (un)

đều dương thì

Dãy số (un) tăng ⇔ ∀ ∈ * , + 1 > 1

n

n u

u N n

Dãy số (un) giảm ⇔ ∀ ∈ * , + 1 < 1

n

n u

u N n

un+1= 2(n+1) + 3 = 2n + 5

Ta có :

Xét :

Vậy (un) là dãy số tăng

n

n

u

u +1

3 2

5

2 +

+

=

n

n

3 2

2 1

+

+

=

n > 1

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

IV DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ

GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có un+1>un với mọi n N∈ *

* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm

nếu ta có un+1<un với mọi n N∈ *

VD :

(un) : -2, 4, -8, 16,

Dãy (un) với un = (-2)n

* Chú ý :

Không phải mọi dãy số đều tăng

hoặc giảm

Dãy số (un) trên không tăng và cũng không giảm

BÀI 2 : DÃY SỐ

*

N

n ∈

Biểu diễn hình học của dãy số (un) với un = 5n - 1 ,

)

(n

u

1

u u2 u3 u4

0

(un) : 4, 9, 14, 19, 24,

5

u

III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

DÃY SỐ

DÃY SỐ

IV DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có un+1>un với mọi n N∈ *

* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm

nếu ta có un+1<un với mọi n N∈ *

2 Dãy số bị chặn

* Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên

nếu tồn tại một số M sao cho

*

M

*

m

* Dãy số (un) được gọi là bị chặn

dưới nếu tồn tại một số m sao cho

* Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu

nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới,

tức là tồn tại các số m, M sao cho

*

M u

VD : Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn ?

b) Dãy số (un) với un = n − n2

Dãy (un) bị chặn trên vì

2

≤

a) Dãy số Phi-bô-na-xi

*

,

un ≥ ∀ ∈

c) Dãy số (un) với

n

un = 1 + 1

Ta có

2

Vậy dãy (un) bị chặn

bị chặn dưới vì

n

un = 1 + 1 ≥ 1

Vì 1 1 , n N*

n ≤ ∀ ∈ ,nên

n

un = 1 + 1 Suy ra

0

2 ≤

−

= n n

un

*

, ∀ n ∈ N và không bị chặn dưới vì khi n lớn

vô cùng thì n − n2 nhỏ vô cùng

VD : Hãy chứng minh dãy số (un) với bị chặn.

n

n

un = 2 − 1

Giải

Ta có

n

n 1

n

1

2 −

Mặt khác 2 n − 1 < 2 n

2

2 1

n

n

<

−

2

Suy ra

Vậy dãy số (un) bị chặn

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Cho dãy số (u n ) với u n = , ∀ n ∈ N *

Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.

2

2

1

n